خلاصه درس فصل ۲ ریاضی نهم؛ درسنامه و نکات مهم

مریم از محور کمک می‌گیرد و بهار همان فکر را با کسرهای مساوی می‌نویسد. اول داریم $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$ و $\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$. میان صورت‌های $2$ و $3$ عدد صحیحی نیست؛ اما این یعنی تقسیم‌بندی ما درشت است، نه اینکه هیچ کسری بین آن دو وجود ندارد!

اگر هر قسمت محور را نصف کنیم، به دوازدهم‌ها می‌رسیم: $\frac{4}{12}<\frac{5}{12}<\frac{6}{12}$. پس یک کسر میانی پیدا شد. با تقسیم‌بندی ریزتر، کسرهای بیشتری پیدا می‌کنیم؛ مثلاً $\frac{6}{18}<\frac{7}{18}<\frac{8}{18}<\frac{9}{18}$.

مثل خط‌کشی است که بین دو علامت آن، علامت‌های کوچک‌تر می‌گذاری. در روش بهار، ضرب کردن صورت و مخرج در یک عدد یکسان، همین ریزتر شدن تقسیم‌بندی را نشان می‌دهد.

مهناز نقطهٔ وسط دو کسر را روی محور پیدا می‌کند. عطیه همین کار را با میانگین گرفتن انجام می‌دهد: دو عدد را جمع می‌کند و حاصل را بر $2$ تقسیم می‌کند. برای دو عدد متفاوت $a<b$، همیشه داریم $a<\frac{a+b}{2}<b$.

برای کسرهای فعالیت، نقطهٔ میانی برابر است با $\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{2}=\frac{5}{12}$. حالا می‌توانیم میانگین این عدد را با کسر سمت چپ یا سمت راست بگیریم و عدد تازه‌ای پیدا کنیم. این کار هیچ‌وقت متوقف نمی‌شود؛ پس بین هر دو عدد گویای متفاوت، بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد.

تصور کن دو نشانه روی یک نوار گذاشته‌ای؛ وسط آن‌ها را علامت می‌زنی، بعد وسط یکی از فاصله‌های تازه را. هر بار فاصله کوچک‌تر می‌شود، ولی باز هم نقطهٔ وسط دارد.

عدد گویا عددی است که بتوان آن را به شکل نسبت دو عدد صحیح نوشت، به شرط اینکه مخرج صفر نباشد. نمایش نمادین این مجموعه چنین است: $\mathbb{Q}=\left\{\frac{a}{b}\mid a,b\in\mathbb{Z},\ b\ne0\right\}$. مثلاً عددهای صحیح هم گویا هستند، چون می‌توانیم آن‌ها را با مخرج $1$ بنویسیم؛ مانند $-3=\frac{-3}{1}$.

عددهای گویا را می‌توان روی محور نشان داد، ولی نمی‌توان آن‌ها را مثل عددهای طبیعی، به ترتیب از کوچک به بزرگ و عضو‌به‌عضو فهرست کرد؛ بعد از هر عدد گویا، «گویای بعدی» نداریم، چون همیشه عدد دیگری میان دو عدد پیدا می‌شود. برای معرفی کامل مجموعه، شرط نمادین بالا روشن‌تر از نوشتن چند عضو و سه‌نقطه است.

حواست باشد صفر می‌تواند صورت کسر باشد، اما نمی‌تواند مخرج آن باشد؛ تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

حالا که می‌توانیم کسر میانی پیدا کنیم، چطور چند کسر را مرتب کنیم؟ نمایش تقریبی روی محور، مثل روش شاهد، برای یک نگاه کلی خوب است؛ اما وقتی عددها نزدیک‌اند، ممکن است جای دقیقشان روشن نباشد. روش مرتضی، یعنی هم‌مخرج کردن، مقایسه‌ای دقیق به ما می‌دهد.

برای کسرهای فعالیت، مخرج مشترک $360$ مناسب است: $\frac{5}{9}=\frac{200}{360}$، $\frac{3}{5}=\frac{216}{360}$، $\frac{5}{6}=\frac{300}{360}$ و $\frac{7}{8}=\frac{315}{360}$. وقتی مخرج‌ها یکسان و مثبت‌اند، ترتیب صورت‌ها همان ترتیب کسرهاست.

روش مجید استفاده از نمایش اعشاری است. این روش هم مفید است، ولی اگر فقط چند رقم اعشار را نگه داریم، ممکن است دو عدد متفاوت یکسان به نظر برسند. مثل اندازه‌گیری با خط‌کش کم‌دقت، نمایش تقریبی همیشه برای تصمیم دقیق کافی نیست.

برای نوشتن نمایش اعشاری یک کسر، صورت را بر مخرج تقسیم می‌کنیم. گاهی تقسیم تمام می‌شود؛ مثل $\frac{3}{8}=0.375$. این نمایش مختوم است. گاهی رقم یا گروهی از رقم‌ها تا بی‌نهایت تکرار می‌شود؛ مثل $\frac{1}{3}=0.\overline{3}$ و $\frac{7}{6}=1.1\overline{6}$. خط بالای رقم‌ها فقط بخش تکرارشونده را مشخص می‌کند.

برای تشخیص مختوم بودن، لازم نیست همیشه تقسیم طولانی انجام دهیم. اول کسر را کاملاً ساده می‌کنیم؛ اگر مخرج فقط عامل‌های اوّل $2$ یا $5$ داشته باشد، نمایش اعشاری مختوم است. اگر عامل اوّل دیگری باقی بماند، نمایش اعشاری متناوب خواهد بود.

مثلاً مخرج ساده‌شدهٔ $\frac{3}{20}$ برابر $20=2^2\times5$ است، پس نمایش آن مختوم است. نکتهٔ مهم، بررسی مخرج پس از ساده کردن است، نه پیش از آن.

وقتی ماشین‌حساب برای $\sqrt{2}$ چند رقم اعشار نشان می‌دهد، فقط یک تقریب از آن را می‌بینی، نه تمام عدد را. نمایشگر جا و دقت محدودی دارد و ممکن است رقم آخر را گرد کند؛ پس تفاوت رقم آخرِ دو نمایشگر لزوماً نشانهٔ اشتباه یکی از آن‌ها نیست.

عددهای گویا را می‌توان به شکل کسرِ دو عدد صحیح با مخرج ناصفر نوشت. اعشار آن‌ها یا پایان می‌یابد یا از جایی به بعد، یک رقم یا یک دسته رقم مرتب تکرار می‌شود. اما اعشار عدد گنگ نه پایان دارد و نه دورهٔ تکرار.

حواست باشد: بی‌پایان بودن اعشار به‌تنهایی نشانهٔ گنگ بودن نیست. همچنین با دیدن چند رقمِ بدون تکرار روی نمایشگر نمی‌توان گنگ بودن را اثبات کرد؛ گنگ بودن $\sqrt{2}$ را فعلاً به‌عنوان یک نتیجهٔ شناخته‌شده می‌پذیریم.

دیدن علامت رادیکال کافی نیست که بگوییم یک عدد گنگ است. برای عدد طبیعیِ $n$، اگر $n$ مربع کامل باشد، ریشهٔ دوم آن صحیح است؛ اگر مربع کامل نباشد، $\sqrt{n}$ گنگ است. برای عددهای اعشاری زیر رادیکال هم باید مقدار ریشه را بررسی کنیم و نباید این قاعده را بدون توجه به شرط «طبیعی بودن» به کار ببریم.

برای پیدا کردن جای تقریبی ریشهٔ دوم روی محور، به مربع‌های کاملِ کوچک‌تر و بزرگ‌تر از عدد زیر رادیکال نگاه کن. ریشهٔ آن عدد، بین ریشه‌های این دو مربع قرار می‌گیرد. این کار مثل پیدا کردن یک نشانی بین دو پلاک آشناست.

عدد گنگ جای دقیق هم دارد. کتاب برای نمایش $\sqrt{10}$ از وتر یک مثلث قائم‌الزاویه با ضلع‌های $3$ و $1$ و انتقال طول وتر به محور با پرگار استفاده می‌کند؛ پس گنگ بودن به معنی نداشتن جای دقیق نیست.

حالا دو خانوادهٔ عددی را کنار هم بگذار: عددهای گویا با نماد $Q$ و عددهای گنگ با نماد $Q'$. این دو خانواده عضو مشترک ندارند؛ یعنی $Q\cap Q'=\varnothing$. اجتماع آن‌ها مجموعهٔ عددهای حقیقی است: $\mathbb{R}=Q\cup Q'$.

عددهای طبیعی، صحیح و گویا همگی حقیقی‌اند. رابطهٔ مهم آن‌ها $\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq Q\subseteq\mathbb{R}$ است. گنگ‌ها نیز در مجموعهٔ حقیقی‌اند، اما در مجموعهٔ گویا نیستند. پس «حقیقی» بودن، به معنی «گویا» بودن نیست.

هر نقطهٔ محور یک عدد حقیقی را نمایش می‌دهد و هر عدد حقیقی یک جای مشخص روی محور دارد. اگر فقط نقطه‌های گویا را رنگ کنیم، نقطه‌های گنگ باقی می‌مانند؛ حتی اگر بین هر دو عدد، بی‌نهایت عدد گویا وجود داشته باشد. بنابراین یک فاصلهٔ پیوسته روی محور را نمی‌توان فقط با عددهای گویا نمایش داد.

برای خواندن یک مجموعهٔ شرطی، اول به نوع عضوها نگاه کن و بعد شرط آن‌ها را بخوان. در $A=\{x\in\mathbb{R}\mid 2\le x<3\}$، عضوها حقیقی‌اند و باید از $2$ کوچک‌تر نباشند و از $3$ کوچک‌تر باشند. بنابراین تمام فاصلهٔ بین این دو سر را رنگ می‌کنیم.

نقطهٔ توپر یعنی خودِ عدد سرِ بازه هم عضو مجموعه است؛ نقطهٔ توخالی یعنی عضو نیست. پس علامت‌های $\le$ و $\ge$ سرِ توپر می‌خواهند و علامت‌های $<$ و $>$ سرِ توخالی. اگر شرط فقط یک مرز داشته باشد، نمایش در جهت مناسب روی محور ادامه می‌یابد.

نکتهٔ تعیین‌کننده نوع عضوهاست: اگر در همین تعریف، $Q$ جای $\mathbb{R}$ بیاید، فقط عددهای گویا انتخاب می‌شوند. آن وقت رنگ کردن یک پاره‌خطِ کامل درست نیست، چون نقطه‌های گنگ هم در آن پاره‌خط وجود دارند.

روی محور اعداد، برای اندازه‌گرفتن فاصلهٔ یک نقطه از صفر، مهم نیست نقطه سمت راست باشد یا سمت چپ. قدر مطلقِ عدد، همین فاصله است؛ پس هیچ‌وقت منفی نمی‌شود. اگر عدد مثبت یا صفر باشد، قدر مطلقش خود آن است: برای $a\geq0$ داریم $|a|=a$. اگر عدد منفی باشد، قرینه‌اش را می‌گیریم: برای $a<0$ داریم $|a|=-a$. حواست باشد که $-a$ همیشه منفی نیست؛ وقتی $a$ منفی است، قرینه‌اش مثبت می‌شود. در یک عبارت چندعملی نیز ابتدا داخل دو خط را حساب کن، سپس قدر مطلقِ نتیجه را بگیر.

برای کار با قدر مطلق، شناختن علامت‌ها مهم است. «نامنفی» یعنی مثبت یا صفر، یعنی $a\geq0$؛ «نامثبت» یعنی منفی یا صفر، یعنی $a\leq0$. حاصل‌ضربِ دو عدد هم‌علامت مثبت و دو عدد با علامت مخالف منفی است. قدر مطلق با ضرب این رابطه را دارد: $|ab|=|a||b|$. اما برای جمع، نباید همیشه همین رفتار را انتظار داشته باشیم؛ رابطهٔ درست $|a+b|\leq|a|+|b|$ است. تصور کن روی محور چند قدم به راست و بعد چند قدم به چپ می‌روی؛ فاصلهٔ نهایی از نقطهٔ شروع، از مجموع قدم‌ها بیشتر نمی‌شود.

گاهی داخل قدر مطلق، عدد رادیکالی داریم و علامت عبارت فوراً روشن نیست. اینجا تقریب کمک می‌کند: مثلاً $\sqrt{2}\simeq1.4$، $\sqrt{3}\simeq1.7$ و $\sqrt{5}\simeq2.2$. اول با مقایسه، مثبت یا منفی بودنِ کل عبارت داخل دو خط را تشخیص بده؛ بعد طبق همان علامت، قدر مطلق را بردار. اگر عبارت منفی باشد، باید همهٔ آن را قرینه کنی، نه فقط یک جمله‌اش را. نکتهٔ مهم این است که تقریب می‌تواند فقط ابزار تشخیص علامت باشد؛ وقتی پاسخ دقیق خواسته شده، رادیکال را در جواب نگه می‌داریم و جواب را بی‌دلیل اعشاری نمی‌کنیم.

وقتی یک عدد را به توان دو می‌رسانیم، علامت اولیه‌اش دیگر مشخص نیست؛ یک عدد و قرینه‌اش مربع یکسانی دارند. از طرف دیگر، نماد ریشهٔ دوم، ریشهٔ نامنفی را نشان می‌دهد. بنابراین قانون همیشگی این است: $\sqrt{a^2}=|a|$. پس نمی‌توانیم در همهٔ حالت‌ها رادیکال و توان را حذف کنیم و خودِ $a$ را بنویسیم. اگر به‌جای $a$ یک عبارت رادیکالی باشد نیز همین قانون برقرار است: ابتدا آن عبارت را داخل قدر مطلق قرار می‌دهیم، سپس علامتش را بررسی می‌کنیم. این ترتیب، جلوی اشتباه در جواب‌های منفی را می‌گیرد.