خلاصه درس فصل ۹ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن قرار است برای کلاس لباس ورزشی بخرید. حدس زدن سلیقهٔ بچه‌ها کافی نیست؛ باید از آن‌ها اطلاعات بگیرید. پاسخ‌هایی که جمع می‌کنید، داده‌های آماری هستند و آمار کمک می‌کند آن‌ها را مرتب و بررسی کنید.

روش پرسیدن را با هدف خود هماهنگ کن. پرسش آزاد دربارهٔ رنگ دلخواه، سلیقه‌های متنوع‌تری را نشان می‌دهد، اما مرتب کردن پاسخ‌هایش کار بیشتری دارد. انتخاب از میان چند رنگ مشخص، مقایسه را ساده‌تر می‌کند، ولی ممکن است رنگ محبوب بعضی افراد را کنار بگذارد. اگر فروشگاه فقط همان چند رنگ را داشته باشد، روش دوم می‌تواند مناسب باشد؛ اما نتیجه‌اش را نباید سلیقهٔ آزاد همه بدانیم.

یک فهرست بلند از نام رنگ‌ها را تصور کن؛ پیدا کردن پرطرفدارترین رنگ با نگاه کردن به آن آسان نیست. جدول داده‌ها پاسخ‌های هم‌نوع را کنار هم قرار می‌دهد تا تعداد هرکدام روشن شود.

ابتدا برای هر رنگ یک جای مشخص در جدول در نظر بگیر. سپس پاسخ‌ها را یکی‌یکی بخوان و برای هر پاسخ، یک چوب‌خط کنار همان رنگ بگذار. چوب‌خط‌ها را پنج‌تایی دسته‌بندی کن؛ یعنی خط پنجم را روی چهار خط قبلی بکش تا شمردن سریع‌تر شود. در پایان تعداد هر دسته را بنویس. برای کنترل کار، مجموع تعدادها باید با تعداد پاسخ‌ها برابر باشد؛ البته جای درست هر پاسخ را هم بررسی کن.

جدول، تعدادها را مرتب نشان می‌دهد؛ اما نمودار میله‌ای کمک می‌کند تفاوت آن‌ها را سریع‌تر ببینی. برای رنگ‌های لباس، نام رنگ‌ها را روی محور افقی و تعداد دانش‌آموزان را روی محور عمودی می‌نویسیم. ارتفاع هر میله، تعداد مربوط به همان رنگ را نشان می‌دهد.

پیش از رسم، مقیاس محور تعداد را انتخاب کن: فاصله‌های مساوی باید مقدارهای مساوی داشته باشند. مثلاً می‌توان برچسب‌ها را $0، 2، 4، 6$ و به همین ترتیب نوشت. میله‌ها را هم‌عرض و از خط صفر رسم کن. بلندترین میله بیشترین تعداد و کوتاه‌ترین میله کمترین تعداد را دارد؛ ظاهر زیبا نباید جای مقیاس درست را بگیرد.

حالا همین روش را برای بارندگی به کار ببر. در جدول، نام ماه‌ها را کنار مقدار بارندگی قرار بده و واحد را مشخص کن. در نمودار ستونی، محور افقی ماه‌ها و محور عمودی مقدار بارندگی بر حسب $\mathrm{mm}$ است. مقیاسی انتخاب کن که هم بزرگ‌ترین مقدار در نمودار جا شود و هم خواندن مقدارها دشوار نباشد.

پس از رسم، فقط به شکل میله‌ها نگاه نکن؛ از خودت بپرس «این مقدار چه معنایی دارد؟» میلهٔ بلندتر یعنی بارندگی بیشتر، نه لزوماً هوای سردتر. برای میانگین ماهانه هم مجموع بارندگی ماه‌های مورد بررسی را بر تعداد همان ماه‌ها تقسیم کن. نتیجه‌گیری باید به اطلاعاتی که واقعاً داریم محدود بماند.

فرض کن می‌خواهی بفهمی هوای یزد در طول سال چگونه گرم و سرد شده است. در جدول می‌توانی دمای هر ماه را بخوانی؛ اما برای دیدن روند تغییرها، نمودار خط شکسته کمک بیشتری می‌کند. روی محور افقی ماه‌ها و روی محور عمودی دما را مشخص کن. سپس نقطهٔ مربوط به هر ماه را بگذار و نقطه‌های ماه‌های پیاپی را به هم وصل کن.

بالا رفتن خط یعنی دما بیشتر شده و پایین آمدنش یعنی دما کمتر شده است. برای یافتن بیشترین تغییر بین دو ماه پیاپی، اختلاف مقدارهای آن دو را مقایسه کن؛ بالاترین نقطه لزوماً محل بیشترین تغییر نیست. همچنین میانگین دمای یک ماه، خلاصه‌ای از دماهای آن ماه است، نه دمای تک‌تک روزهایش.

برای بعضی مقایسه‌ها لازم نیست همهٔ رقم‌های یک عدد بزرگ را نگه داریم. مثلاً هنگام مقایسهٔ جمعیت استان‌ها، عددهای گرد‌شده خواناترند؛ البته باید بدانیم که دیگر با مقدار دقیق کار نمی‌کنیم. در فعالیت کتاب، جمعیت‌ها تا نزدیک‌ترین میلیون گرد می‌شوند.

در نمودار تصویری هر نماد نمایندهٔ تعداد مشخصی است. پیش از خواندن نمودار، حتماً راهنمای آن را بخوان؛ یک آدمک لزوماً به معنی یک نفر نیست! در فعالیت جمعیت، هر آدمک نشان‌دهندهٔ $2{,}000{,}000$ نفر است. اگر بخشی از نماد استفاده شود، همان بخش از مقدار راهنما را نشان می‌دهد. تعداد نمادها و ارزش هر نماد را باید با هم در نظر بگیری، نه فقط تعداد شکل‌ها را.

وقتی پرسش دربارهٔ سهم هر بخش از یک کل است، نمودار دایره‌ای مناسب است. تمام دایره نمایندهٔ کل داده‌هاست؛ مثلاً همهٔ کتاب‌هایی که امانت گرفته شده‌اند. هر قسمت دایره، سهم یک نوع کتاب را نشان می‌دهد و قسمت بزرگ‌تر یعنی سهم بیشتر.

برای به‌دست آوردن درصد، از رابطهٔ $\text{درصد هر بخش}=\frac{\text{تعداد آن بخش}}{\text{تعداد کل}}\times100$ استفاده می‌کنیم. برای رسم ساده‌تر، می‌توان درصدها را تقریبی کرد و به کسرهایی با مخرج $10$ تبدیل کرد. آن‌وقت دایره را به ده قسمت مساوی تقسیم می‌کنیم و سهم هر گروه را مشخص می‌کنیم. مجموع سهم‌ها باید کل دایره را بسازد؛ پس بعد از تقریب هم این موضوع را بررسی کن.

خواندن نمودار فقط پیدا کردن بزرگ‌ترین بخش نیست؛ باید بپرسی این داده‌ها چه چیزی را نشان می‌دهند و چه چیزی را نشان نمی‌دهند. اگر سهم کتاب‌های علمی از امانت‌ها بیشتر باشد، می‌توان گفت کتاب‌های علمی بیشتر امانت گرفته شده‌اند. این نتیجه می‌تواند برای خرید کتاب راهنما باشد، اما به‌تنهایی ثابت نمی‌کند که همهٔ دانش‌آموزان همین علاقه را دارند.

شاید کتاب علمی بیشتری در کتابخانه موجود بوده یا معلم‌ها خواندن آن را پیشنهاد کرده باشند. دانستن موجودی هر نوع کتاب و تعداد امانت‌گیرندگان، تفسیر را بهتر می‌کند. پس اول نتیجهٔ مستقیم نمودار را بگو، بعد برای تصمیم‌گیری، اطلاعات تکمیلی بخواه. همچنین نمودار را متناسب با پرسش انتخاب کن: تغییرها، مقایسهٔ مقدارها یا سهم از کل؟

پیش از حساب کردن شانس، باید ببینیم با چه نوع اتفاقی روبه‌رو هستیم. اتفاق حتمی در همهٔ حالت‌ها رخ می‌دهد؛ مثلاً تاس معمولی هر عددی نشان بدهد، آن عدد از $7$ کوچک‌تر است. اتفاق غیرممکن هیچ راهی برای رخ دادن ندارد؛ مثل آمدن $9$ روی همین تاس. بعضی اتفاق‌ها هم ممکن‌اند، اما حتمی نیستند؛ مثل گل شدن پرتاب بسکتبال یا پشت آمدن سکه. برای تشخیص، از خودت بپرس: «آیا می‌تواند رخ بدهد؟ آیا می‌تواند رخ ندهد؟» اگر پاسخ هر دو پرسش بله باشد، اتفاق ممکن است، ولی حتمی نیست.

حالا به نتیجه‌های ممکن نگاه کنیم. یک سکهٔ سالم دو نتیجه دارد: رو و پشت. چون هیچ‌کدام بر دیگری برتری ندارد، این دو نتیجه را هم‌شانس می‌نامیم. در تاس سالم هم هر یک از عددهای $1$ تا $6$ به‌اندازهٔ بقیه شانس دارد. اما مراقب باش: فقط نام بردن چند نتیجه به معنی هم‌شانس بودن آن‌ها نیست! مثلاً اگر در کیسه‌ای مهره‌های آبی بیشتر از قرمز باشند، دو نامِ «آبی» و «قرمز» شانس یکسانی ندارند. برای شمردن درست، مهره‌های جداگانه را در نظر می‌گیریم؛ به شرط آنکه هم‌اندازه باشند، خوب مخلوط شوند و بدون نگاه کردن انتخاب کنیم.

برای بیان دقیق شانس، به‌جای واژه‌هایی مثل «زیاد» یا «کم»، از عدد استفاده می‌کنیم. ابتدا همهٔ حالت‌های ممکنِ هم‌شانس را می‌شماریم. بعد از میان آن‌ها، حالت‌هایی را جدا می‌کنیم که خواستهٔ سؤال را برآورده می‌کنند؛ این‌ها حالت‌های مطلوب هستند. مطلوب یعنی موردنظر سؤال، نه لزوماً چیزی که دوستش داریم!

$\text{احتمال} = \frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد حالت‌های ممکن}}$

پس مخرج، شمارش کل حالت‌هاست و صورت، شمارش حالت‌های موردنظر. هنگام نوشتن کسر، این دو را جابه‌جا نکن. همچنین پیش از استفاده از این روش، مطمئن شو حالت‌هایی که می‌شماری هم‌شانس‌اند.

تعداد حالت‌های مطلوب نمی‌تواند از کل حالت‌های ممکن بیشتر باشد؛ پس احتمال همیشه از $0$ تا $1$ است. اگر هیچ حالت مطلوبی نداشته باشیم، احتمال $0$ و اتفاق غیرممکن است. اگر همهٔ حالت‌ها مطلوب باشند، احتمال $1$ و اتفاق حتمی است. اتفاقِ ممکن اما غیرحتمی، احتمالی بین این دو دارد.

برای مقایسه هم به کسرها فکر کن: اگر در هر کیسه فقط یک مهرهٔ سیاه باشد، کیسه‌ای که مهره‌های کمتری دارد شانس بیشتری برای انتخاب سیاه می‌دهد. چون تعداد حالت‌های مطلوب ثابت مانده، اما تعداد کل حالت‌ها کمتر شده است. بنابراین فقط به تعداد مهره‌های سیاه نگاه نکن!

احتمال با نتیجهٔ یک آزمایش یا چند آزمایش محدود فرق دارد. احتمال رو آمدن سکهٔ سالم $\frac{1}{2}$ است، اما این به معنی آن نیست که در هر ده پرتاب، دقیقاً پنج بار رو می‌بینیم. ممکن است نتیجهٔ تو با نتیجهٔ دوستت فرق کند و هر دو هم آزمایش را درست انجام داده باشید.

برای ثبت تجربه، تعداد دفعات رخ دادن اتفاق را بر تعداد کل آزمایش‌ها تقسیم می‌کنیم. این نسبت لازم نیست دقیقاً با احتمال محاسبه‌شده برابر شود. در آزمایش کیسه هم مهره را پس از ثبت رنگ برمی‌گردانیم و دوباره مخلوط می‌کنیم تا تعداد مهره‌ها و شانس رنگ‌ها برای نوبت بعد تغییر نکند.

اگر سکه‌ای سالم را چند بار بیندازی، نمی‌توانی نتیجهٔ پرتاب بعدی را با اطمینان بگویی؛ حتی اگر چند بار پشت سر هم رو آمده باشد. برای بررسی آنچه واقعاً رخ می‌دهد، نتیجهٔ هر پرتاب را با چوب‌خط ثبت کن.

بعد از آزمایش، سهم هر نتیجه از کل آزمایش‌ها را به صورت کسر بنویس:

$\text{نسبت رو آمدن در آزمایش‌ها}=\frac{\text{تعداد رو آمدن‌ها}}{\text{تعداد کل پرتاب‌ها}}$

صورت کسر از مشاهده‌های تو می‌آید، نه از حدس قبلی. اگر دو نفر جداگانه آزمایش کنند، ممکن است کسرهای متفاوتی به دست آورند و هر دو هم درست ثبت کرده باشند. در آزمایش سکه، هر پرتاب یا رو است یا پشت؛ پس مجموع کسر مربوط به رو و کسر مربوط به پشت برابر $1$ است.

احتمال رو آمدن سکهٔ سالم $\frac{1}{2}$ است؛ اما این جمله دستورِ تقسیم مساوی نتیجه‌ها نیست! در تعداد کمی پرتاب، ممکن است تعداد رو و پشت تفاوت زیادی داشته باشد. اگر نتیجه‌های تعداد زیادی پرتاب را کنار هم بگذاریم، انتظار داریم نسبت رو آمدن به $\frac{1}{2}$ نزدیک باشد.

نزدیک بودن نسبت‌ها با برابر بودن دقیق تعدادها فرق دارد. زیاد شدن آزمایش‌ها هم تضمین نمی‌کند که نسبت در هر مرحله از قبل نزدیک‌تر شود. فقط انتظار داریم در تعداد زیاد، سهم نتیجه‌ها تقریباً با احتمالشان هماهنگ باشد.

برای تاس سالم هم همین فکر را به کار می‌بریم: شانس وجه‌ها برابر است، ولی لازم نیست در یک مجموعه پرتاب، تعداد دیده‌شدن همهٔ عددها دقیقاً یکسان باشد.

در آزمایش کیسهٔ مهره‌ها، بعد از ثبت رنگ، مهره را به کیسه برمی‌گردانیم تا ترکیب کیسه برای نوبت بعد عوض نشود. اگر مهره‌ها فقط در رنگ تفاوت داشته باشند و انتخاب تصادفی باشد، احتمال یک رنگ را از نسبت تعداد مهره‌های آن رنگ به کل مهره‌ها پیدا می‌کنیم.

برای پیش‌بینی تقریبی تعداد رخ دادن یک نتیجه، از این رابطه کمک بگیر:

$\text{تعداد مورد انتظار}=\text{تعداد آزمایش‌ها}\times\text{احتمال رخ دادن نتیجه}$

این مقدار، انتظار ما پیش از آزمایش است، نه گزارش نتیجهٔ واقعی. نتیجهٔ واقعی را باید با انجام آزمایش و شمردن پیدا کنیم. همین تفاوت در بررسی چرخنده هم مهم است: سهم یک رنگ از قسمت‌های هم‌اندازه، احتمال را مشخص می‌کند؛ اما تعداد واقعی ایستادن عقربه روی آن رنگ از آزمایش به دست می‌آید.

فرض کن می‌خواهی بدانی دانش‌آموزان مدرسه کدام ورزش را بیشتر دوست دارند. پاسخ‌هایی که از آن‌ها می‌گیری، داده هستند و پرسیدن و ثبت کردن پاسخ‌ها، جمع‌آوری داده است. آمار به ما کمک می‌کند داده‌ها را جمع‌آوری، مرتب و بررسی کنیم تا از آن‌ها اطلاعات به دست آوریم.

اگر پرسیدن از همه دشوار باشد، می‌توانی گروهی از دانش‌آموزان را انتخاب کنی؛ این کار نمونه‌گیری است. نمونه باید تا حد امکان نمایندهٔ گروه اصلی باشد. مثلاً پرسیدن فقط از اعضای تیم فوتبال، تصویر مناسبی از علاقهٔ همهٔ مدرسه نمی‌دهد. بعد از جمع‌آوری پاسخ‌ها، باید آن‌ها را طوری مرتب کنی که مقایسه آسان شود.

داده‌های پراکنده را ابتدا در جدول سازماندهی کن؛ مثلاً نام هر ورزش را بنویس و تعداد علاقه‌مندانش را روبه‌روی آن ثبت کن. جدول کمک می‌کند چیزی از قلم نیفتد و رسم نمودار آسان‌تر شود.

برای انتخاب نمودار، از خودت بپرس: «می‌خواهم چه چیزی را نشان بدهم؟» نمودار ستونی برای مقایسهٔ تعدادها در گروه‌های مختلف، مثل علاقه‌مندان ورزش‌ها، مناسب است. نمودار خط شکسته تغییر یک مقدار را در طول زمان، مثل دمای هوا در ساعت‌های روز، روشن‌تر نشان می‌دهد. در نمودار تصویری هر شکل نمایندهٔ تعداد مشخصی است؛ پس پیش از خواندن آن، راهنمای شکل‌ها را بررسی کن. یک نمودار زیبا، اگر مناسب موضوع نباشد، پیام داده‌ها را خوب منتقل نمی‌کند.

داده‌ها فقط گذشته را توصیف نمی‌کنند؛ گاهی به پیش‌بینی رخدادهایی مثل بارندگی هم کمک می‌کنند. برای فهم چنین پیش‌بینی‌هایی باید مفهوم احتمال را بشناسیم.

یک اتفاق حتمی همیشه رخ می‌دهد، اتفاق غیرممکن رخ نمی‌دهد و اتفاق ممکن می‌تواند رخ بدهد یا ندهد. روی تاس معمولی، آمدن عددی از یک تا شش حتمی، آمدن هفت غیرممکن و آمدن عدد زوج ممکن است.

اگر نتیجه‌ها هم‌شانس باشند، یعنی فرصت رخ دادن یکسانی داشته باشند، از رابطهٔ $P(A)=\frac{\text{تعداد حالت‌های مطلوب}}{\text{تعداد کل حالت‌ها}}$ استفاده می‌کنیم. حالت مطلوب یعنی نتیجه‌ای که شرط اتفاق موردنظر را دارد، نه نتیجه‌ای که خودمان بیشتر دوستش داریم! احتمال غیرممکن $0$ و احتمال حتمی $1$ است.

حالا دو چیز را از هم جدا کن: احتمال نظری را از حالت‌های هم‌شانس به دست می‌آوریم؛ اما نسبت تجربی را پس از انجام آزمایش حساب می‌کنیم: $\frac{\text{تعداد دفعات رخ دادن اتفاق}}{\text{تعداد کل آزمایش‌ها}}$.

برای آزمایش با تاس، نتیجهٔ هر پرتاب را همان موقع ثبت کن و بعد تعداد نتیجه‌های موردنظر را بشمار. نسبت تجربی ممکن است با احتمال نظری برابر شود، اما همیشه چنین نیست. کم بودن تعداد آزمایش‌ها می‌تواند باعث تفاوت چشمگیر این دو شود.

وقتی تعداد آزمایش‌ها زیاد می‌شود، انتظار داریم نسبت تجربی به احتمال نظری نزدیک‌تر شود. این انتظار به معنی برابری دقیق یا نزدیک‌تر شدن در تک‌تک مراحل نیست؛ نتیجه‌های تصادفی همچنان نوسان دارند.