خلاصه درس فصل ۸ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

یک خیابان صاف را تصور کن که دوچرخه‌سواری در آن رفت‌وبرگشت می‌کند. مسیر صاف خیابان، راستا را نشان می‌دهد؛ اما دوچرخه‌سوار می‌تواند در همان راستا به دو جهت مخالف حرکت کند. پس راستا و جهت یک چیز نیستند.

خط‌های موازی را هم‌راستا می‌نامیم. اگر روی هرکدام پیکان بگذاریم، می‌توانیم جهتشان را مقایسه کنیم: دو پیکان هم‌راستا یا هم‌جهت هستند یا جهت‌هایشان عکس یکدیگر است. برای نمونه، شرق و غرب دو جهت مخالف در یک راستا هستند. شمال و جنوب هم دو جهت مخالف در راستایی دیگرند. هنگام مقایسه، اول راستا را بررسی کن و بعد به نوک پیکان‌ها نگاه کن.

برای نشان دادن حرکت یا نیرو، یک پاره‌خط می‌کشیم و در انتهای آن نوک پیکان می‌گذاریم. این شکل بردار نام دارد. بردار سه ویژگی مهم را نشان می‌دهد: راستا، جهت و اندازه. اندازهٔ بردار همان طول پاره‌خط است؛ نوک پیکان هم جهت را مشخص می‌کند.

در نماد $\overrightarrow{OA}$، نقطهٔ $O$ ابتدا و نقطهٔ $A$ انتهای بردار است؛ یعنی پیکان از $O$ به $A$ می‌رود. برای نمایش کشیدن یک جعبه، پیکان را در راستای طناب و رو به سمت کشیدن رسم می‌کنیم. روی محور اعداد هم می‌توان بردار رسم کرد: ابتدا و انتها را مشخص می‌کنیم و فاصلهٔ میان آن‌ها، اندازهٔ بردار است؛ نه عدد نوشته‌شده کنار انتهای آن.

حالا دو نفر را در نظر بگیر که طنابی را از دو طرف می‌کشند و طناب ساکن است. برای نشان دادن کشش‌های دو طرف، دو بردار در راستای طناب رسم می‌کنیم. طول پیکان‌ها را برابر می‌گیریم، اما نوک آن‌ها به دو سوی مخالف است.

این دو بردار قرینهٔ یکدیگر هستند. برای تشخیص قرینه بودن، هر سه ویژگی را بررسی کن: راستا یکسان باشد، اندازه‌ها برابر باشند و جهت‌ها عکس هم باشند. فقط مخالف بودن جهت کافی نیست؛ مثلاً دو پیکان افقی با طول‌های متفاوت، قرینهٔ هم نیستند. هنگام رسم بردار قرینه نیز طول و راستا را نگه دار و جهت پیکان را برعکس کن.

ممکن است دو پیکان در دو جای متفاوت صفحه رسم شده باشند، اما یک حرکت یکسان را نشان دهند. اگر راستا، جهت و اندازهٔ آن‌ها یکسان باشد، آن‌ها را بردارهای مساوی می‌نامیم. پس لازم نیست ابتدای دو بردار روی یک نقطه باشد.

برای مقایسه، سه پرسش را به‌ترتیب بپرس: آیا هم‌راستا هستند؟ آیا طولشان برابر است؟ آیا نوک پیکان‌ها به یک سو اشاره می‌کند؟ فقط وقتی پاسخ هر سه پرسش مثبت باشد، بردارها مساوی‌اند. مثلاً دو پیکان افقیِ هم‌طول رو به راست، حتی در دو جای صفحه، مساوی‌اند. تفاوت مهم با بردارهای قرینه در جهت است: مساوی‌ها هم‌جهت‌اند، ولی قرینه‌ها جهت عکس دارند.

بردار را با پیکان نشان می‌دهیم. برای مقایسهٔ دو بردار، سه چیز را بررسی کن: راستا، اندازه و جهت. راستا می‌تواند افقی، عمودی یا مایل باشد؛ اندازه را طول پیکان نشان می‌دهد و جهت را نوک آن مشخص می‌کند.

مثلاً دو پیکان افقیِ هم‌طول را تصور کن که هر دو به راست اشاره دارند. این دو بردار مساوی‌اند، حتی اگر یکی بالای صفحه و دیگری پایین صفحه باشد. پس لازم نیست نقطهٔ شروعشان یکی باشد. اما اگر نوک یکی به چپ باشد، دیگر مساوی نیستند. همچنین دو پیکان هم‌طول، یکی افقی و دیگری عمودی، مساوی نیستند؛ چون راستایشان فرق دارد.

فرض کن از خانه تا نانوایی در یک مسیر مستقیم می‌روی و همان مسیر را برمی‌گردی. بردار رفت و بردار برگشت روی یک راستا هستند و طول یکسانی دارند؛ اما نوک آن‌ها در دو جهت مخالف است. چنین بردارهایی را قرینهٔ یکدیگر می‌نامیم.

برای رسم قرینهٔ یک بردار، طول و راستای آن را نگه دار و جهتش را برعکس کن. پس تفاوت بردارهای مساوی و قرینه فقط در جهت آن‌هاست. در رفت‌وبرگشت کامل، دوباره به نقطهٔ آغاز می‌رسی؛ بنابراین جابه‌جایی نهایی صفر است. حواست باشد این به معنی راه‌نرفتن نیست: مسیری را طی کرده‌ای، ولی جای نهایی‌ات نسبت به شروع تغییر نکرده است.

وقتی چند حرکت پیاپی انجام می‌دهی، بردار جابه‌جایی نهایی را از نقطهٔ شروع به نقطهٔ پایان رسم کن؛ لازم نیست پیکان، پیچ‌وخم مسیر را دنبال کند. برای یافتن نقطهٔ پایان روی کاغذ شطرنجی، هر حرکت را از پایان حرکت قبلی ادامه بده.

حرکت‌های هم‌اندازه در جهت‌های قرینه، اثر یکدیگر را در جابه‌جایی نهایی خنثی می‌کنند. همچنین اگر یک بار به شمال و بعد به شرق بروی، با جابه‌جاکردن ترتیب همین دو حرکت، به همان نقطه می‌رسی. برای برگشتن به آغاز هم باید اثر همهٔ حرکت‌ها را برعکس کنی؛ یعنی بخش شرقی را به غرب و بخش شمالی را به جنوب برگردانی.

برای دادن نشانیِ یک نقطه روی صفحه، دو محور عمود بر هم داریم: محور افقی، محور طول‌ها یا $x$ و محور عمودی، محور عرض‌ها یا $y$ است. محل برخوردشان مبدأ نام دارد و مختصاتش $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ است.

مختصات را به شکل $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ می‌نویسیم: عدد بالا طول و عدد پایین عرض است. از مبدأ، اول جابه‌جایی افقی را پیدا کن و بعد جابه‌جایی عمودی را. راست و بالا مثبت‌اند؛ چپ و پایین منفی‌اند.

مثل پیدا کردن یک خانه روی نقشهٔ شطرنجی، ترتیب نشانی مهم است. در $\begin{bmatrix}0\\4.5\end{bmatrix}$ جابه‌جایی افقی نداریم؛ پس نقطه روی محور عرض‌هاست. مختصات هم می‌تواند صحیح باشد و هم اعشاری.

دو محور، صفحه را به چهار ناحیه تقسیم می‌کنند. شماره‌گذاری از بالا و راست شروع می‌شود و پادساعت‌گرد ادامه دارد: اول بالا و راست، دوم بالا و چپ، سوم پایین و چپ، چهارم پایین و راست.

برای تشخیص ناحیه لازم نیست نقطه را با دقت رسم کنی؛ علامت‌ها کافی‌اند. در ناحیهٔ اول هر دو مؤلفه مثبت‌اند؛ در دوم طول منفی و عرض مثبت است؛ در سوم هر دو منفی‌اند؛ در چهارم طول مثبت و عرض منفی است.

خودِ محورها مرز ناحیه‌ها هستند، نه بخشی از داخل آن‌ها. اگر یکی از مؤلفه‌ها صفر باشد، نقطه روی یک محور قرار می‌گیرد. پس پیش از انتخاب ناحیه، اول وجود صفر را بررسی کن؛ بعد سراغ علامت‌ها برو.

مختصات نقطه می‌گوید «کجا هستیم»، ولی مختصات بردار می‌گوید «چطور جابه‌جا شویم». برای خواندن بردار، حرکت را به دو بخش تقسیم کن: اول افقی، بعد عمودی. مؤلفهٔ اول مقدارِ علامت‌دارِ حرکت افقی و مؤلفهٔ دوم مقدارِ علامت‌دارِ حرکت عمودی است.

مثلاً بردار $\begin{bmatrix}4\\2\end{bmatrix}$ دستور می‌دهد چهار خانه به راست و دو خانه به بالا برویم. منفی بودن مؤلفهٔ اول یعنی چپ و منفی بودن مؤلفهٔ دوم یعنی پایین. این مسیرِ دو بخشی به خواندن بردار کمک می‌کند؛ خود بردار از نقطهٔ آغاز به نقطهٔ پایان کشیده می‌شود.

روی نقشهٔ جغرافیایی هم می‌توان مکان شهرها و جابه‌جایی میان آن‌ها را توصیف کرد. برای این کار باید مقیاس و جهت‌های مشخص‌شدهٔ نقشه را بخوانیم، نه اینکه فقط خانه‌ها را بدون توجه به مقیاس بشماریم.

وقتی حرکت‌ها را با دو مؤلفه می‌نویسیم، می‌توانیم روی هر جهت جداگانه فکر کنیم. برای دو حرکتِ پشت‌سرهم، مؤلفه‌های افقی را با هم و مؤلفه‌های عمودی را با هم جمع می‌کنیم؛ این کار بردارِ مستقیم از شروع تا پایان را می‌دهد.

در قرینه‌سازی هم همین نگاه کمک می‌کند. قرینه نسبت به محور طول‌ها، بالا و پایین را عوض می‌کند، اما راست و چپ را نگه می‌دارد؛ پس $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ به $\begin{bmatrix}a\\-b\end{bmatrix}$ تبدیل می‌شود. قرینه نسبت به مبدأ، هر دو جهت را برعکس می‌کند و حاصل $\begin{bmatrix}-a\\-b\end{bmatrix}$ است.

اگر بردار را قرینه می‌کنی، ابتدا و انتهای آن را هر دو قرینه کن. قرینهٔ بردار نسبت به محور طول‌ها لزوماً بردارِ خلاف جهتِ اولیه نیست؛ برای خلاف جهت شدن، هر دو مؤلفه باید علامت عوض کنند.

در انتقال، همهٔ نقطه‌های شکل با یک دستور جابه‌جا می‌شوند: هم‌راستا، هم‌جهت و هم‌اندازه. مثل وقتی که یک برچسب را بدون چرخاندن روی صفحه سُر می‌دهی؛ جای آن عوض می‌شود، اما شکل و اندازه‌اش ثابت می‌ماند.

رابطهٔ اصلی این است: $\text{مختصات ابتدا}+\text{مختصات بردار}=\text{مختصات انتها}$. جمع را مؤلفه‌به‌مؤلفه انجام می‌دهیم. اگر ابتدا $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ و بردار $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ باشد، انتها $\begin{bmatrix}x+a\\y+b\end{bmatrix}$ است. اگر ابتدا و انتها معلوم باشند، مؤلفه‌های ابتدا را از مؤلفه‌های انتها کم می‌کنیم تا بردار به دست آید.

دو بردار می‌توانند در دو جای متفاوت رسم شوند و باز هم مساوی باشند؛ کافی است مؤلفه‌های متناظرشان برابر باشد. در انتقال یک مثلث نیز بردار جابه‌جاییِ هر سه رأس یکسان است.

بردار انتقال را مثل دستور حرکت یک مهره روی صفحهٔ شطرنجی بخوان. مؤلفهٔ بالایی می‌گوید در راستای افقی چقدر حرکت کنی و مؤلفهٔ پایینی حرکت عمودی را مشخص می‌کند. علامت مثبت یعنی راست یا بالا و علامت منفی یعنی چپ یا پایین؛ مثلاً $\begin{bmatrix}3\\-2\end{bmatrix}$ یعنی $3$ خانه راست و $2$ خانه پایین.

برای انتقال یک مثلث، همین دستور را برای تک‌تک رأس‌ها اجرا کن و سپس رأس‌های تازه را به هم وصل کن. هیچ رأسی نباید کمتر یا بیشتر حرکت کند. در نتیجه مثلث نه می‌چرخد، نه بزرگ می‌شود و نه کوچک؛ فقط جای آن عوض می‌شود.

ممکن است دو پیکان در دو جای متفاوت صفحه کشیده شده باشند، اما دستور حرکت یکسانی بدهند. برای مقایسهٔ آن‌ها، جای شروع را کنار بگذار و حرکت افقی و عمودی را بررسی کن. اگر مؤلفه‌های متناظر برابر باشند، دو بردار مساوی‌اند؛ یعنی هم‌راستا، هم‌جهت و هم‌اندازه‌اند.

مثلاً دو مهره که از جاهای مختلف هرکدام $2$ خانه راست و $1$ خانه بالا می‌روند، با بردارهای مساوی حرکت کرده‌اند؛ لازم نیست به یک نقطه برسند. پس می‌توانی یک بردار انتقال را از نقطه‌ای دیگر رسم کنی، به شرط اینکه دستور حرکتش عوض نشود. فقط برابر بودن طول پیکان‌ها کافی نیست؛ جهت هم اهمیت دارد.

برای پیداکردن جای تازهٔ یک نقطه، مختصات نقطهٔ شروع و بردار انتقال را مؤلفه‌به‌مؤلفه جمع کن: افقی با افقی و عمودی با عمودی. اگر نقطهٔ شروع $A=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$ و بردار $\vec{a}=\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ باشد، نقطهٔ پایان $B=\begin{bmatrix}x+a\\y+b\end{bmatrix}$ است.

این رابطه فقط برای پیداکردن پایان نیست. اگر ابتدا و انتها معلوم باشند، بردار از «انتها منهای ابتدا» به دست می‌آید. اگر پایان و بردار معلوم باشند، برای یافتن ابتدا بردار را از پایان کم می‌کنیم. در هر حالت، دو رابطهٔ جدا برای مؤلفه‌های افقی و عمودی داری؛ آن‌ها را با هم قاطی نکن.

فرض کن یک مهره را یک بار جابه‌جا می‌کنی و بعد، از جای تازه، دوباره حرکتش می‌دهی. برای اینکه بدانی یک حرکت مستقیمِ جایگزین چیست، کافی است حرکت‌های افقی را با هم و حرکت‌های عمودی را با هم جمع کنی. پس بردار انتقال مستقیم، جمع دو بردار انتقال پیاپی است.

اگر بردارها $\vec{a}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}$ و $\vec{b}=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\end{bmatrix}$ باشند، بردار مستقیم $\vec{a}+\vec{b}=\begin{bmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_2\end{bmatrix}$ است. این دستور برای همهٔ رأس‌های یک شکل هم کاربرد دارد. یادت باشد بردار دوم از جای تازه اجرا می‌شود، نه دوباره از نقطهٔ آغازین؛ مسیر دو مرحله‌ای و مسیر مستقیم، پایان یکسانی دارند.

برای برگشتن از پایان یک حرکت به نقطهٔ شروع، باید همان مقدار را در جهت مخالف بروی. بردار این حرکت، «قرینهٔ» بردار قبلی است. اگر در حرکت رفت به راست رفته‌ای، در برگشت به چپ می‌روی؛ بالا هم به پایین تبدیل می‌شود. بنابراین علامت هر دو مؤلفه عوض می‌شود: قرینهٔ $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ برابر $\begin{bmatrix}-a\\-b\end{bmatrix}$ است.

جمع یک بردار با قرینه‌اش، بردار صفر یعنی $\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$ می‌شود. این بردار یعنی هیچ جابه‌جایی نهایی رخ نداده است، نه اینکه حتماً روی مبدأ هستی. مثل وقتی از خانه بیرون می‌روی و از همان مسیر برمی‌گردی؛ پایان حرکت همان نقطهٔ شروع است.

بردار را با یک پاره‌خط جهت‌دار نمایش می‌دهیم: نقطهٔ شروع دارد و نوک پیکان، پایان آن را نشان می‌دهد. در نام‌گذاری $\overrightarrow{AB}$، حرکت از $A$ به $B$ است؛ پس ترتیب حرف‌ها مهم است.

برای توصیف یک بردار به راستا، جهت و اندازه توجه کن. مثلاً راستا می‌تواند افقی باشد، ولی جهت در همان راستا به چپ یا به راست باشد. دو بردار وقتی مساوی‌اند که راستا، جهت و اندازهٔ یکسان داشته باشند؛ لازم نیست از یک نقطه شروع شوند.

بردار قرینه، همان اندازه و راستا را دارد، اما جهتش برعکس است. بردار صفر هم جابه‌جایی ندارد: ابتدا و انتهایش یکی است و اندازه‌اش صفر است. این زبانِ توصیف حرکت، بعداً در علوم و فیزیک هم به کارت می‌آید.

مختصات نقطه مثل نشانی آن روی صفحه است. در نمایش $P=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$، عدد بالا مؤلفهٔ افقی و عدد پایین مؤلفهٔ عمودی است. از مبدأ شروع کن: مؤلفهٔ افقی مثبت یعنی راست و منفی یعنی چپ؛ مؤلفهٔ عمودی مثبت یعنی بالا و منفی یعنی پایین.

ناحیهٔ اول بالا و راست است و علامت‌ها در آن $(+,+)$ هستند. با حرکت پادساعت‌گرد، ناحیهٔ دوم $(-,+)$، سوم $(-,-)$ و چهارم $(+,-)$ است. نقطه‌های روی محورها در هیچ‌کدام از این چهار ناحیه نیستند.

مختصات بردار به‌جای نشانی، تغییر مکان را نشان می‌دهد. برای پیدا کردن آن، مؤلفه‌های ابتدا را از مؤلفه‌های انتها کم کن:

$\overrightarrow{AB}=\begin{bmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{bmatrix}$

یادت باشد مؤلفه‌های متناظر را از هم کم کنی: افقی از افقی و عمودی از عمودی.

در انتقال، هر نقطه به اندازه و جهت یک بردار مشخص جابه‌جا می‌شود. شکل فقط می‌لغزد؛ نه می‌چرخد و نه اندازه‌اش عوض می‌شود. تصور کن تصویری را روی صفحهٔ گوشی جابه‌جا می‌کنی، بدون اینکه آن را بچرخانی یا بزرگ کنی.

اگر نقطهٔ آغاز $A$ و بردار انتقال $\vec{v}$ معلوم باشند، مختصات آن‌ها را مؤلفه‌به‌مؤلفه جمع می‌کنیم تا نقطهٔ پایان $B$ به دست آید:

$B=A+\vec{v}$

اما اگر نقطهٔ پایان و بردار معلوم باشند و نقطهٔ آغاز را بخواهیم، باید حرکت را برگردانیم:

$A=B-\vec{v}$

پس پیش از حساب کردن، از خودت بپرس: «آغاز را می‌خواهم، پایان را یا خودِ بردار را؟» همین پرسش جلوی اشتباه رایجِ جمع کردن در همهٔ مسئله‌ها را می‌گیرد. رسم شکل برای بررسی پاسخ مفید است، ولی محاسبهٔ مختصات به رسم وابسته نیست.