خلاصه درس فصل ۳ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن می‌خواهی برای چند تشک مربعی با اندازه‌های متفاوت، دوردوزی تهیه کنی. لازم نیست برای هر اندازه یک قانون تازه بسازی: محیط همیشه چهار برابر ضلع است. اگر اندازۀ ضلع را با $a$ نشان دهیم، محیط می‌شود $P=4a$.

حرف $a$ نام یک عدد مشخص و همیشگی نیست؛ می‌تواند اندازۀ ضلع هرکدام از تشک‌ها باشد. به چنین حرفی متغیر می‌گوییم. نوشتن $4a$ هم یعنی $4\times a$، نه جمع عدد چهار با $a$.

وقتی یک موقعیت واقعی، مثل اندازۀ دور تشک یا هزینۀ کرایۀ اتوبوس، را با عددها، حروف و عمل‌های ریاضی بیان می‌کنیم، داریم برای آن مدل ریاضی می‌سازیم.

در یک الگوی عددی، دو چیز را از هم جدا کن: شمارۀ جمله و مقدار جمله. در الگوی $2,4,6,8,\ldots$، شمارۀ جمله‌ها $1,2,3,4,\ldots$ است، اما مقدار هر جمله دو برابر شمارۀ آن است. پس جملۀ $n$ام برابر با $2n$ می‌شود.

برای چوب‌کبریت‌های $3,5,7,\ldots$ هم هر بار دو چوب اضافه می‌شود؛ ولی قانون $2n$ کافی نیست، چون جملۀ اول را درست نمی‌دهد. اینجا مقدار هر جمله یکی بیشتر از دو برابر شماره‌اش است: $2n+1$.

قانون پیشنهادی‌ات را با چند جملۀ آغازین امتحان کن. فقط دانستن مقدار افزایش کافی نیست؛ باید ببینی الگو از چه عددی شروع شده است. این روش کمک می‌کند مستقیم سراغ یک جملۀ دور بروی.

حروف فقط برای شکل‌ها نیستند؛ می‌توانند کار یک دستگاه عددساز را هم توضیح دهند. دستگاهی را تصور کن که به هر ورودی، هفت واحد اضافه می‌کند. اگر ورودی $a$ باشد، خروجی $a+7$ است. دستگاهی که ورودی را چهار برابر می‌کند، برای ورودی $b$، خروجی $4b$ دارد.

همین توانایی حروف، نوشتن قانون‌های آشنای حساب را هم آسان می‌کند. تساوی $a+b=b+a$ می‌گوید جابه‌جاکردن دو عدد در جمع، حاصل را عوض نمی‌کند. همچنین $a+0=a$ یعنی افزودن صفر تغییری در عدد نمی‌دهد و $1\times a=a$ یعنی یک برابر هر عدد، خود آن عدد است.

پس یک نوشتۀ کوتاه با حروف می‌تواند قانونی را بیان کند که برای عددهای گوناگون درست است.

برای نوشتن عبارت یک مسئلۀ روزمره، اول مشخص کن چه چیزی ثابت است و چه چیزی تکرار می‌شود. در چاپ کارت، قیمت پایه فقط یک‌بار پرداخت می‌شود؛ اما هزینۀ هر کارت به تعداد کارت‌ها تکرار می‌شود. بنابراین هزینۀ چاپ $n$ کارت، برابر با $3000+1000n$ تومان است.

ترتیب کارها را هم باید درست نگه داریم. «اول سه برابر کن، بعد دو واحد اضافه کن» با «اول دو واحد اضافه کن، بعد سه برابر کن» فرق دارد. برای ورودی $x$، اولی $3x+2$ و دومی $3(x+2)$ است.

پرانتز نشان می‌دهد که در حالت دوم، تمام مقدار $x+2$ باید سه برابر شود. پیش از نوشتن عبارت، عملیات مسئله را به زبان خودت و به‌ترتیب بگو.

نوشته‌هایی مثل $2n+1$ و $4a$ را عبارت جبری می‌نامیم. در این عبارت‌ها، حروف نقش عددها را دارند و عمل‌های حساب روی آن‌ها انجام می‌شود. برای نمونه، محیط مربع را می‌توان $a+a+a+a$ نوشت؛ چون چهار بار همان اندازۀ ضلع تکرار شده، شکل کوتاه آن $4a$ است.

در نوشتن عبارت‌های جبری، معمولاً علامت ضرب میان عدد و حرف یا میان دو حرف را حذف می‌کنیم: $ab$ یعنی $a\times b$. این کار کمک می‌کند علامت ضرب با حرف انگلیسی $x$ اشتباه نشود.

دقت کن که $ab$ با $a+b$ یکی نیست: اولی حاصل‌ضرب دو مقدار است و دومی مجموع آن‌ها. مثلاً مساحت مستطیلی با طول $a$ و عرض $b$ با $ab$ بیان می‌شود.

گاهی مقدار یک عدد را نمی‌دانیم، اما می‌توانیم درباره‌اش حرف بزنیم؛ مثلاً طول ضلع یک مربع یا قیمت یک میوه. به جای آن مقدار، حرفی مثل $a$ می‌گذاریم که متغیر نام دارد. ترکیب عددها، متغیرها و عمل‌ها یک عبارت جبری می‌سازد.

برای محیط مربع، طول چهار ضلع یکسان را جمع می‌کنیم: $a+a+a+a=4a$. نوشتن $4a$ یعنی $4\times a$، نه اینکه دو نماد را مثل رقم‌های یک عدد کنار هم بخوانیم. به همین شکل، $xy$ یعنی حاصل‌ضرب $x$ و $y$.

عبارت جبری زبان کوتاه رابطه‌هاست. «هشت واحد بیشتر از یک عدد» را می‌توان $x+8$ نوشت. هنگام ترجمه، اول مشخص کن حرف نمایندهٔ چیست؛ بعد عملی را که جمله توصیف می‌کند بنویس.

در عبارت $3a+2b$، بخش‌های $3a$ و $2b$ را جمله می‌نامیم. در عبارت $3a-2b$، علامت منفی هم همراه جملهٔ دوم است؛ پس جملهٔ دوم $-2b$ است. عددی که در متغیر ضرب شده، ضریب آن است؛ مثلاً ضریب $3a$ برابر $3$ است و $a$ همان $1a$ است.

جمله‌هایی که بخش حرفی یکسان دارند، متشابه هستند. برای نمونه، $a$ و $3a$ متشابه‌اند، اما $a$ و $b$ نیستند. مثل خرید میوه: تعداد سیب‌ها را می‌توان یک‌جا شمرد، ولی نباید تعداد سیب و گلابی را تعداد سیب نامید!

برای ساده کردن، ضریب جمله‌های متشابه را جمع یا تفریق می‌کنیم و بخش حرفی را نگه می‌داریم. عددهای بدون متغیر هم با یکدیگر ترکیب می‌شوند. هنگام جابه‌جا کردن جمله‌ها، علامت هر جمله را همراهش ببر.

دو مستطیل هم‌ارتفاع را تصور کن که کنار هم قرار گرفته‌اند. اگر ارتفاع آن‌ها $a$ و عرض‌هایشان $2$ و $3$ باشد، می‌توان مساحت کل را از جمع مساحت دو قسمت یا از ضرب ارتفاع در عرض کل پیدا کرد. پس $a(2+3)=2a+3a$.

این رابطه نمونه‌ای از خاصیت توزیع‌پذیری است: عامل بیرون پرانتز باید در تک‌تک جمله‌های داخل آن ضرب شود، نه فقط جملهٔ اول. این قاعده برای تفریق هم برقرار است؛ یعنی $k(a-b)=ka-kb$.

اگر فقط علامت منفی پشت پرانتز باشد، آن را ضرب در $-1$ در نظر بگیر. در نتیجه علامت همهٔ جمله‌های داخل پرانتز عوض می‌شود. برای ساده کردن یک عبارت، ابتدا پرانتزها را با دقت باز کن و بعد سراغ جمله‌های متشابه برو.

تا وقتی مقدار متغیر مشخص نشده، یک عبارت جبری می‌تواند مقدارهای گوناگونی داشته باشد. وقتی مقدار متغیر را می‌دانیم، آن عدد را در همهٔ جاهایی که متغیر آمده قرار می‌دهیم. به این کار جای‌گذاری می‌گوییم و حاصل محاسبه، مقدار عددی عبارت است.

مثلاً در رابطهٔ محیط مربع، $P=4a$، اگر طول ضلع معلوم باشد، کافی است مقدار آن را به جای $a$ بگذاریم. در الگوها نیز اگر تعداد شکل‌ها با عبارتی بر حسب $n$ بیان شده باشد، شمارهٔ شکل را به جای $n$ می‌گذاریم.

پس از جای‌گذاری، ترتیب عملیات را رعایت کن: اول پرانتز، سپس ضرب و تقسیم، و بعد جمع و تفریق. برای جای‌گذاری عدد منفی، آن را داخل پرانتز بنویس تا علامت‌ها روشن بمانند. اگر یک متغیر چند بار تکرار شده، در همهٔ آن‌ها همان عدد را قرار بده.

یک عبارت جبری مثل یک دستور محاسبه است. حرفِ داخل آن، که متغیر نام دارد، جای عددی را نگه می‌دارد که بعداً مشخص می‌شود. وقتی مقدار متغیر معلوم شد، آن عدد را در همهٔ جاهایی که همان حرف آمده می‌نویسیم؛ به این کار جای‌گذاری می‌گوییم. سپس حاصل عبارت را حساب می‌کنیم.

مثلاً در الگوی دایره‌ها، $n$ شمارهٔ شکل است و $2n+1$ تعداد دایره‌های آن را نشان می‌دهد. در رابطهٔ $P=4a$ هم $a$ طول ضلع مربع و $P$ محیط آن است؛ برای پیدا کردن محیط، اندازهٔ ضلع را جای‌گذاری می‌کنیم. یادت باشد $2n$ یعنی $2\times n$، نه کنار هم نوشتن دو رقم. اگر عدد منفی جای‌گذاری می‌کنی، آن را داخل پرانتز بنویس تا علامتش گم نشود.

بعد از جای‌گذاری، دیگر با یک عبارت عددی روبه‌رو هستیم؛ اما نباید عملیات آن را به هر ترتیبی انجام دهیم. اول داخل پرانتزها را حساب کن و در هر بخش، ضرب و تقسیم را پیش از جمع و تفریق انجام بده. عملیات هم‌اولویت را هم از چپ به راست پیش ببر.

مثلاً در $3(t+27\div s)$، بعد از جای‌گذاری باید درون پرانتز، تقسیم را پیش از جمع انجام دهی. بودنِ جمع در سمت چپِ تقسیم، به آن اولویت نمی‌دهد! در عبارت کسری هم صورت و مخرج را مانند دو گروه جداگانه حساب کن و سپس تقسیم نهایی را انجام بده.

یک عادت کمک‌کننده این است: در هر خط فقط یک مرحلهٔ روشن انجام بده و بقیهٔ عبارت را همان‌طور بنویس. این کار به‌ویژه هنگام برخورد با علامت منفی و پرانتز، جلوی اشتباه را می‌گیرد.

برای پیدا کردن مقدار عددی، همیشه لازم نیست از همان ابتدا عددها را جای‌گذاری کنی. راه دیگر این است که اول عبارت جبری را ساده کنی و بعد مقدار متغیرها را در آن بگذاری. در ساده‌سازی، ضرب را روی جمله‌های داخل پرانتز پخش می‌کنیم و جمله‌های هم‌نوع را با هم جمع می‌کنیم. مراقب باش ضریب منفی هم باید در تک‌تک جمله‌های پرانتز ضرب شود.

اگر ساده‌سازی درست باشد، این دو راه به یک پاسخ می‌رسند؛ چون فقط شکل نوشتن عبارت عوض شده است، نه مقدار آن. راه کوتاه‌تر را می‌توانی انتخاب کنی و از راه دیگر برای بررسی استفاده کنی.

در مسئله‌های روزمره، مانند هزینهٔ خرید چند نوع کتاب، ابتدا یک عبارت برای هزینه می‌نویسیم و سپس تعدادها را جای‌گذاری می‌کنیم. اگر عبارت تکرار یا جمله‌های هم‌نوع داشته باشد، ساده‌سازی می‌تواند محاسبه را آسان‌تر کند.

در مسئله‌ها همیشه همه‌چیز معلوم نیست. گاهی طول یک ضلع یا قیمت یک کالا را نمی‌دانیم و به‌جای آن حرفی مانند $x$ می‌نویسیم؛ این حرف نقش مجهول را دارد. وقتی دو عبارت را با علامت مساوی به هم مربوط کنیم و بخواهیم عدد مناسب مجهول را پیدا کنیم، با یک معادله سروکار داریم.

اما هر عددی جواب معادله نیست! جواب معادله عددی است که اگر به‌جای مجهول قرار بگیرد، مقدار دو طرف برابر شود. پس برای بررسی یک جواب پیشنهادی، آن را در همهٔ جایگاه‌های مجهول می‌گذاریم و دو طرف را جداگانه حساب می‌کنیم. دیدن حرف در یک رابطه کافی نیست؛ باید به علامت مساوی و برقرارشدن تساوی هم توجه کنیم.

یک راه پیدا کردن جواب، حدس و آزمایش است: عددی را انتخاب می‌کنیم، به‌جای مجهول می‌گذاریم و می‌بینیم تساوی برقرار می‌شود یا نه. اگر نشد، نتیجهٔ آزمایش می‌تواند به انتخاب حدس بعدی کمک کند. بهتر است حدس‌ها را منظم بنویسی تا یک عدد را چند بار بی‌دلیل امتحان نکنی.

این راه برای بعضی معادله‌های ساده سریع است، اما همیشه بهترین انتخاب نیست؛ به‌ویژه وقتی جواب کسری باشد یا عددهای بزرگ داشته باشیم. نکتهٔ مهم دیگر این است که پیدا کردن یک جواب، لزوماً به معنی پیدا کردن همهٔ جواب‌ها نیست. برای نمونه، در معادله‌ای که مجهول در خودش ضرب شده، باید به امکان جواب منفی هم فکر کنی.

برای اینکه وابسته به حدس نباشیم، از ویژگی تساوی کمک می‌گیریم. دو طرف معادله مثل دو کفهٔ متعادل‌اند: می‌توانیم به هر دو طرف عددی یکسان اضافه کنیم یا از هر دو طرف عددی یکسان کم کنیم. همچنین می‌توانیم هر دو طرف را در یک عدد ناصفر ضرب کنیم یا بر آن تقسیم کنیم.

هدف این است که مجهول تنها بماند. معمولاً اول عددی را که با جملهٔ مجهول جمع یا از آن کم شده حذف می‌کنیم؛ بعد ضریب مجهول را با تقسیم کنار می‌زنیم. اگر مجهول در هر دو طرف باشد، با کم‌کردن جملهٔ مجهول یکسان از دو طرف، آن‌ها را در یک طرف جمع می‌کنیم. تغییر علامت هنگام «بردن به طرف دیگر» میان‌بری برای همین عملیات برابر است، نه یک قانون بی‌دلیل.

برای حل یک مسئلهٔ کلامی، مستقیم سراغ حساب‌کردن نرو. اول بپرس: «چه چیزی را نمی‌دانم؟» سپس برای آن حرفی انتخاب کن و معنایش را دقیق بنویس. مثلاً اگر مجهول تعداد صفحه‌های خوانده‌شده در هر ساعت است، نباید در میانهٔ حل آن را تعداد کل صفحه‌ها در نظر بگیری.

حالا رابطهٔ میان داده‌ها را با کلمه‌ها پیدا کن: مقدار مصرف‌شده به‌اضافهٔ مقدار باقی‌مانده، برابر مقدار اولیه است. بعد این رابطه را به زبان جبر بنویس و معادله را حل کن. در پایان، جواب را در رابطهٔ اصلی امتحان کن و با معنای مسئله بسنج. پاسخ نهایی فقط یک عدد نیست؛ باید روشن باشد که آن عدد چه چیزی را نشان می‌دهد.

جبر زبانی کوتاه برای بیان رابطه‌هاست. متغیر حرفی است که می‌تواند به جای عدد قرار بگیرد؛ مثلاً در عبارت $3x+2$، حرف $x$ متغیر است. این عبارت می‌گوید «دو واحد بیشتر از سه برابر یک عدد». عبارت جبری به‌تنهایی ادعای برابری دو مقدار را ندارد؛ برای داشتن معادله، به یک تساوی با مقدار نامعلوم نیاز داریم.

در الگوی عددی، باید رابطهٔ شمارهٔ جمله و مقدار آن را پیدا کنیم. مثلاً در الگوی $4,8,12,\ldots$، هر جمله چهار برابر شمارهٔ خود است؛ پس جملهٔ $n$ام برابر $4n$ است و شماره‌گذاری از $n=1$ شروع می‌شود.

همین زبان برای شکل‌ها هم کاربرد دارد: اگر طول مستطیل $a$ و عرض آن $b$ باشد، محیطش $2(a+b)$ و مساحتش $ab$ است. به این ترتیب، یک عبارت می‌تواند رابطه‌ای را برای اندازه‌های مختلف بیان کند.

برای ساده کردن عبارت، اول جمله‌های متشابه را بشناس. این جمله‌ها قسمت حرفی یکسان دارند؛ مانند $3x$ و $-2x$. ضریب‌های آن‌ها جمع یا کم می‌شوند، اما قسمت حرفی تغییر نمی‌کند. در مقابل، $3x$ و $3y$ متشابه نیستند؛ برابر بودن ضریب‌ها کافی نیست.

اگر عددی بیرون پرانتز باشد، باید در همهٔ جمله‌های داخل پرانتز ضرب شود: $2(x+3)=2x+6$. منفیِ پیش از پرانتز هم مانند ضریب $-1$ عمل می‌کند؛ پس باید به علامت تک‌تک جمله‌ها توجه کنی.

برای پیدا کردن مقدار عددی یک عبارت، معمولاً بهتر است ابتدا آن را ساده کنی و سپس عددها را به جای متغیرها بگذاری. هنگام جای‌گذاری عدد منفی، آن را داخل پرانتز بنویس تا علامت‌ها روشن بمانند. ساده‌سازی شکل عبارت را عوض می‌کند، نه مقدار آن را.

معادله تساوی‌ای است که مقدار نامعلومی در آن داریم. جواب معادله عددی است که اگر به جای مجهول بگذاریم، تساوی درست شود. می‌توانیم با حدس زدن و بررسی شروع کنیم؛ اما برای حل منظم، دو طرف را مانند دو کفهٔ ترازو در نظر می‌گیریم. اگر به هر دو طرف یک مقدار اضافه کنیم، از هر دو یک مقدار کم کنیم، یا هر دو را در یک عدد ناصفر ضرب یا بر آن تقسیم کنیم، برابری حفظ می‌شود.

برای حل مسئله، اول بنویس مجهول چه چیزی است. سپس رابطهٔ مقدارها را به معادله تبدیل کن، آن را حل کن و جواب را با متن مسئله بسنج. مثلاً اگر مجهول تعداد دفترهاست، جواب باید با شمارش دفترها سازگار باشد.

در پایان، جواب را در معادلهٔ اولیه جای‌گذاری کن. این بررسی کمک می‌کند اشتباه احتمالی در باز کردن پرانتز یا جابه‌جایی علامت‌ها را پیدا کنی.