خلاصه درس فصل ۲ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

گاهی دانستن مقدار کافی نیست؛ باید بدانیم آن مقدار در کدام سمتِ یک مرجع قرار دارد. مثلاً برای بیان ارتفاع، می‌توان سطح دریا را مرجع گرفت: بالاتر از آن را مثبت و پایین‌تر از آن را منفی نشان داد.

در عدد $-4$، علامت منفی سمت را مشخص می‌کند و عدد چهار فاصله از مرجع را نشان می‌دهد. در چرخش هم ابتدا یک جهت را مثبت انتخاب می‌کنیم؛ چرخش در جهت مخالف منفی می‌شود. پس مثبت‌بودنِ جهت، به قرارداد مسئله بستگی دارد.

عددهای صحیح سه دسته‌اند: مثبت‌ها، صفر و منفی‌ها. صفر نه مثبت است و نه منفی. عددهای صحیح مثبت همان عددهای طبیعی‌اند و می‌توان علامت مثبتشان را ننوشت؛ مثلاً $+7=7$.

روی محور معمولی، صفر مبدأ است؛ مثبت‌ها سمت راست و منفی‌ها سمت چپ آن قرار دارند. دو عدد که فاصله‌شان از صفر یکسان است، اما در دو سمت مخالف قرار دارند، قرینهٔ یکدیگرند؛ مثل $+5$ و $-5$.

برای نوشتن قرینه، علامت منفی را بیرون پرانتز می‌گذاریم: $-(+5)=-5$ و $-(-5)=+5$. این منفیِ بیرونی یعنی «قرینهٔ عدد داخل پرانتز را پیدا کن»، نه اینکه جواب حتماً منفی باشد.

اگر دوبار قرینه بگیریم، به عدد آغازین برمی‌گردیم؛ درست مثل اینکه دوبار جهت خود را برعکس کنیم. صفر هم با قرینه‌شدن جابه‌جا نمی‌شود. دقت کن علامت مثبت بیرون پرانتز عدد را تغییر نمی‌دهد؛ مثلاً $+(-4)=-4$.

برای نمایش حرکت روی محور، حرکت به راست را مثبت و حرکت به چپ را منفی می‌گیریم. اندازهٔ عدد می‌گوید چند واحد حرکت کنیم. حرکت صفر هم یعنی همان‌جا بمانیم.

برای جمع دو عدد، ابتدا از صفر به جای عدد اول برو. سپس از همان نقطه، حرکت عدد دوم را انجام بده؛ نقطهٔ پایان، حاصل جمع است. لازم نیست برای حرکت دوم دوباره به صفر برگردی.

تفریق را هم می‌توان به جمع تبدیل کرد: عدد اول را نگه دار، تفریق را به جمع عوض کن و عدد دوم را قرینه کن. مثلاً $2-4=2+(-4)$. اگر عدد دوم منفی باشد نیز همین روش را به کار می‌بریم؛ بنابراین کم‌کردن یک عدد منفی، به حرکت در جهت مثبت تبدیل می‌شود.

روی محور هرچه به راست برویم، عدد بزرگ‌تر می‌شود. پس هنگام مقایسهٔ منفی‌ها، فقط به رقم‌ها نگاه نکن: $-4>-8$، چون $-4$ سمت راستِ $-8$ است. عدد بعدی یک واحد سمت راست و عدد قبلی یک واحد سمت چپ قرار دارد. برای جای‌گذاری تقریبی عددها نیز حتماً فاصلهٔ بین برچسب‌های محور را بررسی کن.

صفر در جمع یعنی بی‌حرکتی؛ پس افزودن صفر یا کم‌کردن صفر، عدد را تغییر نمی‌دهد. ولی کم‌کردن یک عدد از صفر، قرینهٔ آن را می‌دهد. همچنین جمع دو قرینه صفر می‌شود، چون حرکت رفت و برگشت همدیگر را خنثی می‌کنند.

در نوشتن گستردهٔ عدد منفی هم هر بخش منفی است؛ مثلاً $-237=-200+(-30)+(-7)$، نه اینکه فقط صدگان منفی باشد.

برای دیدن جمع، می‌توانیم از مهره هم کمک بگیریم: هر مهرهٔ سفید نمایندهٔ $+1$ و هر مهرهٔ سیاه نمایندهٔ $-1$ باشد. یک سفید و یک سیاه با هم صفر می‌شوند؛ چون دو عدد قرینه را نشان می‌دهند. این جفت‌ها را کنار می‌گذاریم و عددِ مربوط به مهره‌های باقی‌مانده را می‌خوانیم.

اگر همهٔ مهره‌ها سفید باشند، حاصل مثبت است و تعدادشان مثل جمع عددهای طبیعی به دست می‌آید. اگر همه سیاه باشند، تعداد مهره‌ها بیشتر می‌شود، اما نتیجه منفی می‌ماند. روی محور هم جمع دو عدد منفی یعنی دو حرکت پیاپی به چپ.

اگر عبارت تفریق داشت، پیش از استفاده از مهره‌ها آن را به جمع قرینه تبدیل کن. منفی‌بودنِ عدد و علامتِ تفریق، دو نقش متفاوت دارند.

دایره‌های سفید و سیاه را مثل مهره‌های یک بازی در نظر بگیر: هر سفید نمایندهٔ $+1$ و هر سیاه نمایندهٔ $-1$ است. یک سفید و یک سیاه با هم مقدار صفر دارند؛ پس می‌توانی آن‌ها را جفت کنی و کنار بگذاری، بدون اینکه مقدار کل عوض شود.

برای جمع کردن دو عدد، مهره‌هایشان را در یک ظرف بریز. بعد جفت‌های سفید و سیاه را کنار بگذار و مهره‌های باقی‌مانده را بشمار. اگر فقط سفید بماند، حاصل مثبت است؛ اگر فقط سیاه بماند، حاصل منفی است. اگر هیچ مهره‌ای باقی نماند، حاصل صفر است. دقت کن: تعداد همهٔ مهره‌ها با عددی که نشان می‌دهند یکی نیست.

برای استفاده از روش مهره‌ها در تفریق، اول تفریق را به جمع تبدیل کن. قانون این است: عدد اول را نگه دار، تفریق را به جمع تبدیل کن و قرینهٔ عدد دوم را بنویس. قرینهٔ هر عدد، همان عدد با علامت مخالف است؛ قرینهٔ صفر هم خود صفر است.

پس کم کردنِ عدد مثبت، به جمع کردنِ عدد منفی تبدیل می‌شود؛ اما کم کردنِ عدد منفی، به جمع کردنِ عدد مثبت تبدیل می‌شود. مثلاً شکل جمعیِ $-4-(+3)$ برابر با $-4+(-3)$ است. لازم نیست علامت عدد اول را عوض کنی؛ تغییر علامت فقط مربوط به عددی است که کم می‌شود. پرانتز کمک می‌کند علامت عدد دوم را با عمل تفریق اشتباه نگیری.

وقتی دو عددِ یک جمع هم‌علامت‌اند، مهره‌هایشان هم‌رنگ است؛ بنابراین هیچ جفت سفید و سیاهی برای خنثی شدن نداریم. کافی است مقدارهای بدون علامت را جمع کنیم و علامت مشترک را برای جواب نگه داریم.

اگر هر دو عدد مثبت باشند، حاصل مثبت است و جمع مثل جمع عددهای طبیعی انجام می‌شود. اگر هر دو منفی باشند، حاصل منفی است؛ چون تعداد مهره‌های سیاه بیشتر می‌شود. روی محور هم همین را می‌بینی: از یک عدد منفی شروع می‌کنی و با افزودن عدد منفی، باز هم به چپ می‌روی. پس جمع دو عدد منفی، مثبت نمی‌شود؛ این اشتباه از قاطی کردن قانون‌های عمل‌های مختلف به وجود می‌آید.

اگر یکی از دو عدد مثبت و دیگری منفی باشد، بخشی از مهره‌ها یکدیگر را خنثی می‌کنند. برای پیدا کردن تعداد مهره‌های باقی‌مانده، مقدار کوچک‌تر را از مقدار بزرگ‌تر، بدون در نظر گرفتن علامت‌ها، کم کن. علامت جواب هم علامت عددی است که مقدارِ بدون علامتش بزرگ‌تر است.

اگر مقدار مثبت بیشتر باشد، سفید باقی می‌ماند و جواب مثبت است؛ اگر مقدار منفی بیشتر باشد، سیاه باقی می‌ماند و جواب منفی است. اگر دو مقدار برابر باشند، جواب صفر می‌شود. اینجا «مقدار بزرگ‌تر» را با «عدد بزرگ‌تر» اشتباه نگیر: عدد $-8$ از $+5$ کوچک‌تر است، اما هشت مهرهٔ آن از پنج مهره بیشتر است. برای تفریق‌ها نیز اول تبدیل به جمع را انجام بده، بعد این قانون را به کار ببر.

برای جمع و تفریق عددهای چندرقمی، می‌توانی مسئله را به بخش‌های کوچک‌تر تبدیل کنی: دهگان‌ها را جدا و یکان‌ها را جدا حساب کن، سپس نتیجه‌ها را با هم جمع کن. نکتهٔ مهم این است که علامت منفی به تمام عدد مربوط است؛ مثلاً $-27=(-20)+(-7)$، نه $(-20)+7$.

پیش از شروع، تفریق را به جمع قرینه تبدیل کن: $a-b=a+(-b)$. بعد، بخش‌های هم‌ارزش را کنار هم بگذار. اگر دو بخش هم‌علامت‌اند، اندازه‌هایشان را جمع کن و همان علامت را نگه دار. اگر مختلف‌علامت‌اند، اندازهٔ کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم کن و علامت بخش بزرگ‌تر را بگذار. این روش برای صدگان و برای جمع چند عدد هم کاربرد دارد.

گاهی پیش از حساب دقیق، می‌توانی علامت جواب را پیش‌بینی کنی. روی محور، از عدد اول شروع کن؛ جمع عدد مثبت یعنی حرکت به راست و جمع عدد منفی یعنی حرکت به چپ. تفریق عدد مثبت نیز حرکت به چپ است. لازم نیست فاصله‌ها را کاملاً دقیق بکشی؛ کافی است بفهمی از صفر عبور می‌کنی یا نه.

در جمع دو عدد مختلف‌علامت، عدد دورتر از صفر علامت جواب را تعیین می‌کند. مثلاً در $-80+130$، حرکت به راست از فاصلهٔ نقطهٔ شروع تا صفر بیشتر است، پس جواب مثبت می‌شود. اگر اندازهٔ دو عدد برابر باشد، جواب صفر است؛ صفر نه مثبت است و نه منفی. این پیش‌بینی کمک می‌کند اشتباه علامت را زود پیدا کنی.

وقتی فقط می‌خواهی بدانی جواب حدوداً چقدر است، عددها را به عددهای نزدیک و ساده‌تر تبدیل کن. برای عددهای سه‌رقمی می‌توانی از نزدیک‌ترین صدگان استفاده کنی. علامت منفی را هنگام گرد کردن نگه دار؛ مثلاً $-471\simeq-500$. بعد همان قواعد جمع و تفریق را روی عددهای ساده‌شده اجرا کن.

بین جواب تقریبی و دقیق از نشانهٔ $\simeq$ استفاده می‌کنیم، نه نشانهٔ تساوی. تقریب مثل یک بررسی سریع است: نشان می‌دهد جواب دقیق باید حدوداً کجا باشد. پس از آن می‌توانی با ماشین‌حساب بررسی کنی. برای وارد کردن عدد منفی، معمولاً ابتدا رقم‌ها و سپس کلید تغییر علامت را می‌زنی؛ این کلید با کلید عمل تفریق فرق دارد. روش دیگر، کم کردن آن عدد از صفر است.

در تمرین‌های این درس می‌توانی روش مناسب خودت را انتخاب کنی: تجزیهٔ عددها، حرکت روی محور یا استفاده از قواعد علامت‌ها. اما پیش از محاسبه، حتماً تشخیص بده کدام علامت، علامتِ عدد است و کدام علامت، عمل تفریق. در $(-37)-(-8)$، عدد دوم منفی است و باید قرینهٔ آن را جمع کنی؛ یعنی تفریق عدد منفی، به جمع عدد مثبت تبدیل می‌شود.

در مسئله‌های واقعی هم اول یک مبدأ انتخاب کن: سطح دریا یا طبقهٔ همکف را صفر بگیر. بالای مبدأ مثبت و پایین آن منفی است. سپس جهت حرکت‌ها را وارد عبارت کن. برای چند حرکت پیاپی، از چپ به راست پیش برو و بعد از هر حرکت موقعیت تازه را پیدا کن؛ این کار جلوی جا انداختن یک حرکت را می‌گیرد.

وقتی تعداد دسته‌ها مثبت است، می‌توانی ضرب را جمع تکراری ببینی. مثلاً سه بار کاهش دو درجه‌ای دما یعنی $(-2)+(-2)+(-2)=3\times(-2)=-6$. روی محور، این کار سه حرکت دوواحدی به چپ است.

اما برای ضرب دو عدد منفی، از الگو کمک می‌گیریم. در دنبالهٔ $1\times(-3)=-3$، $0\times(-3)=0$ و $(-1)\times(-3)=+3$، هر بار عامل اول یک واحد کم و حاصل سه واحد زیاد می‌شود.

نتیجه را این‌طور به خاطر بسپار: دو عامل هم‌علامت، حاصل مثبت؛ دو عامل با علامت متفاوت، حاصل منفی. برای محاسبه، ابتدا علامت حاصل را تعیین کن؛ سپس عددها را بدون علامت ضرب کن. مثلاً در $(-4)\times(-2)$ علامت مثبت است و $4\times2=8$؛ پس حاصل $+8$ می‌شود.

تقسیم را می‌توان با یک پرسشِ ضربی پیدا کرد: چه عددی در مقسوم‌علیه ضرب شود تا مقسوم به دست آید؟ مثلاً برای $(-12)\div(+4)$ می‌پرسیم: چه عددی در $+4$ ضرب شود تا $-12$ بسازد؟ چون $(-3)\times(+4)=-12$، پاسخ $-3$ است.

از یک ضرب می‌توان تقسیم‌های مرتبط ساخت. از $(-3)\times(+4)=-12$ می‌فهمیم که $(-12)\div(-3)=+4$ هم درست است.

پس قانون علامت در تقسیم هم مانند ضرب است: هم‌علامت‌ها حاصل مثبت و علامت‌های متفاوت حاصل منفی دارند. پس از تعیین علامت، عددها را بدون علامت تقسیم کن. حواست باشد تقسیم بر صفر تعریف نشده است؛ بنابراین هیچ‌وقت صفر را به‌عنوان مقسوم‌علیه به کار نمی‌بریم.

در یک عبارت چندعملی، فقط دانستن قانون علامت کافی نیست؛ باید ترتیب محاسبه را هم رعایت کنی. اول داخل پرانتزها را حساب کن. سپس ضرب و تقسیم‌های پشت سر هم را از چپ به راست انجام بده. اگر جمع یا تفریقی بیرون پرانتز باقی مانده باشد، آن را پس از ضرب و تقسیم انجام بده.

مثلاً در $(-12)\div(+3)\times(-2)$، تقسیم و ضرب هم‌اولویت‌اند. پس ابتدا تقسیمِ سمت چپ را انجام می‌دهیم، نه اینکه دو عدد آخر را در هم ضرب کنیم.

هر بار فقط یک عمل انجام بده و عبارت تازه را بنویس. این کار مثل دنبال کردن مرحله‌های یک دستور آشپزی است: اگر ترتیب را عوض کنی، ممکن است نتیجه عوض شود! پس از هر مرحله، علامت عدد تازه را هم بررسی کن.

قانون هم‌علامت و متفاوت‌علامت برای عددهای غیرصفر است. صفر حالت جداگانه‌ای دارد: ضرب هر عدد در صفر، صفر می‌شود. از طرف دیگر، اگر حاصل‌ضرب دو عدد صحیح صفر باشد، دست‌کم یکی از عامل‌ها صفر است؛ ممکن است هر دو هم صفر باشند. لازم نیست هر دو حتماً صفر باشند.

گاهی سؤال فقط علامت حاصل را می‌خواهد. در این حالت، محاسبهٔ کامل وقتت را می‌گیرد. مثلاً در $(-41-80)\times(-50+60)$، پرانتز اول منفی و پرانتز دوم مثبت است؛ پس حاصل منفی خواهد بود، بدون اینکه حاصل‌ضرب نهایی را حساب کنیم.

در چنین سؤال‌هایی اول هر پرانتز را جداگانه بررسی کن. اگر یکی از عامل‌ها صفر شد، دیگر مثبت یا منفی بودن عامل دیگر مهم نیست؛ حاصل صفر است.

برای مرور این فصل، از معنای عددها شروع کن. عدد علامت‌دار، نسبت به یک مبدأ و قرارداد معنا پیدا می‌کند؛ مثلاً بالای سطح دریا را مثبت و پایین آن را منفی می‌گیریم. عددهای صحیح شامل عددهای صحیح مثبت، صفر و عددهای صحیح منفی‌اند؛ هر عدد صحیح مثبت هم یک عدد طبیعی است.

روی محور، هرچه به راست بروی عدد بزرگ‌تر می‌شود. پس میان دو عدد منفی، آن‌که به صفر نزدیک‌تر است بزرگ‌تر است. قرینهٔ یک عدد، در طرف دیگر صفر و با همان فاصله قرار دارد؛ قرینهٔ صفر هم خود صفر است. اگر دوبار قرینه بگیری، به عدد آغازین برمی‌گردی.

گسترده‌نویسی یعنی عدد را بر اساس ارزش مکانی باز کنیم؛ مثلاً $-245=-(200+40+5)$. حواست باشد علامت منفی به تمام بخش‌های این عدد مربوط است، نه فقط صدگان.

در جمعِ دو عدد هم‌علامت، اندازه‌های آن‌ها را جمع می‌کنیم و همان علامت را نگه می‌داریم. اگر علامت‌ها متفاوت باشند، اندازهٔ کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم می‌کنیم و علامت عددی را می‌گذاریم که اندازهٔ بزرگ‌تری دارد. منظور از اندازه، فاصلهٔ عدد از صفر است.

روی محور، جمع با عدد مثبت یعنی حرکت به راست و جمع با عدد منفی یعنی حرکت به چپ. در مدل دایره‌ها هم هر جفت دایرهٔ مثبت و منفی یکدیگر را خنثی می‌کنند؛ دایره‌های باقی‌مانده حاصل را نشان می‌دهند.

برای تفریق، یک راه مطمئن داریم: تفریق را به جمعِ قرینهٔ عدد دوم تبدیل کن، یعنی $a-b=a+(-b)$. فقط عدد دوم قرینه می‌شود؛ عدد اول را بی‌دلیل تغییر نده. این روش برای حساب‌کردن بدهی و طلب هم کمک‌کننده است.

در ضرب و تقسیم، اول علامت را مشخص کن: دو عدد هم‌علامت نتیجهٔ مثبت و دو عدد با علامت متفاوت نتیجهٔ منفی دارند. بعد، محاسبه را با اندازهٔ عددها انجام بده. ضرب هر عدد در صفر، صفر است؛ اما تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

در عبارت‌های ترکیبی، ابتدا داخل پرانتزها را حساب کن، سپس ضرب و تقسیم را از چپ به راست و در پایان جمع و تفریق را از چپ به راست انجام بده. این ترتیب، بعداً در ساده‌کردن عبارت‌های جبری هم به کارت می‌آید.

برای محاسبهٔ ذهنی می‌توانی عددهای قرینه را پیدا کنی و کنار هم بگذاری. برای بررسی پاسخ ماشین‌حساب هم پیش از محاسبه، علامت و اندازهٔ تقریبی جواب را پیش‌بینی کن؛ پاسخ نمایشگر را بدون بررسی نپذیر.

در مسئله‌های واقعی، پیش از حساب‌کردن مشخص کن صفر چه معنایی دارد و کدام جهت مثبت است. برای دمای هوا، زیر صفر را با عدد منفی نشان می‌دهیم؛ برای ارتفاع، می‌توانیم سطح دریا را مبدأ بگیریم. با این قراردادها، جمله‌های مسئله به عبارت ریاضی تبدیل می‌شوند.

اگر مسئله میانگین بخواهد، فقط جمع‌کردن کافی نیست: مجموع داده‌ها را بر تعدادشان تقسیم می‌کنیم. علامت منفی را هم همراه هر داده نگه می‌داریم.

در پایان، جواب را به زبان مسئله برگردان و منطقی‌بودنش را بسنج. میانگین دو دما باید بین آن دو باشد؛ اگر بیرون این بازه افتاد، علامت‌ها، جمع و تقسیم نهایی را دوباره بررسی کن.