خلاصه درس فصل ۲ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

چرا نسبت‌ها ثابت می‌مانند؟

عکس یک نردبان تکیه‌داده به دیوار را روی گوشی بزرگ کن. طول نردبان در تصویر بیشتر می‌شود؛ اما آیا زاویه‌اش با زمین هم تغییر می‌کند؟ نه! شکل ثابت می‌ماند و همهٔ طول‌ها به یک نسبت بزرگ می‌شوند.

در دو مثلث قائم‌الزاویه هم اگر یک زاویهٔ حاده برابر باشد، همراه با زاویه‌های قائمه، دو جفت زاویهٔ برابر داریم؛ پس مثلث‌ها متشابه‌اند. یعنی ضلع‌های متناظرشان با یک ضریب یکسان بزرگ یا کوچک شده‌اند.

حالا در هر مثلث، طول ضلع مقابلِ همان زاویهٔ حاده را بر طول ضلع مجاورش تقسیم کن. اگر مثلث بزرگ شود، صورت و مخرج هر دو در یک ضریب ضرب می‌شوند و آن ضریب ساده می‌شود؛ پس نسبت تغییر نمی‌کند. همین اتفاق برای نسبت هر جفت ضلع متناظر دیگر هم می‌افتد.

بنابراین برای یک زاویهٔ حادهٔ معین، اندازهٔ مثلث مهم نیست؛ نسبت ضلع‌ها ثابت است. این همان نکته‌ای است که به ما اجازه می‌دهد از یک مثلث کوچک روی کاغذ، دربارهٔ فاصله‌های بزرگ واقعی اطلاعات بگیریم.

تانژانت و کتانژانت

یک نردبان تکیه‌داده به دیوار را تصور کن: زمین، دیوار و نردبان یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند. زاویهٔ بین نردبان و زمین را $A$ بنامیم.

اول ضلع‌ها را نسبت به زاویهٔ انتخابی بشناس:

• وتر روبه‌روی زاویهٔ قائمه است؛ اینجا خود نردبان است.
• ضلع مقابلِ $A$ روبه‌روی این زاویه قرار دارد؛ اینجا بخش عمودیِ دیوار است.
• ضلع مجاورِ $A$ کنار این زاویه است، اما وتر نیست؛ اینجا فاصلهٔ پای نردبان تا دیوار است.

حالا دو نسبت را تعریف می‌کنیم:

پس کتانژانت، وارونۀ تانژانت است؛ یعنی جای صورت و مخرج عوض می‌شود. این نسبت‌ها واحد ندارند، چون طول‌ها را با یک واحد بر هم تقسیم می‌کنیم.

حواست باشد: اگر زاویهٔ حادهٔ دیگر را انتخاب کنی، وتر همان است، ولی نقشِ مقابل و مجاور جابه‌جا می‌شود. بنابراین همیشه پیش از نوشتن نسبت، زاویهٔ موردنظر را مشخص کن.

سینوس و کسینوس

فرض کن نردبانی به دیوار تکیه داده است. نردبان، دیوار و زمین یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند. اگر زاویهٔ نردبان با زمین را $A$ بنامیم، ارتفاع روی دیوار ضلع مقابل و فاصلهٔ پای نردبان تا دیوار ضلع مجاور است. خود نردبان وتر است؛ یعنی ضلع روبه‌روی زاویهٔ قائمه.

برای مقایسهٔ ضلع‌ها با وتر، دو نسبت داریم:

$\sin A=\frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{وتر}}$

$\cos A=\frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}$

پس تفاوت سینوس و کسینوس در صورت کسر است؛ مخرج هر دو وتر است. یادت باشد ضلع مجاور در این تعریف، ضلع کنار زاویه است که وتر نیست.

حالا اگر سینوس را بر کسینوس تقسیم کنیم، مخرج‌های مشترک حذف می‌شوند:

$\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\text{مقابل}/\text{وتر}}{\text{مجاور}/\text{وتر}}=\frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}=\tan A$

با جابه‌جاکردن صورت و مخرج هم داریم:

$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$

سه زاویهٔ پرکاربرد

لازم نیست نسبت‌های مثلثاتی را فقط حفظ کنی؛ دو شکل آشنا کمک می‌کنند آن‌ها را بسازی.

از مربع شروع کن: قطرِ مربعی با ضلع $1$، آن را به دو مثلث قائم‌الزاویه با زاویه‌های حادهٔ $45^\circ$ تقسیم می‌کند. با فیثاغورس، طول وتر $\sqrt{2}$ است. پس:

$\sin45^\circ=\cos45^\circ=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\tan45^\circ=\cot45^\circ=1$

حالا مثلث متساوی‌الاضلاع: اگر ضلعش $2$ باشد، ارتفاع آن قاعده را نصف می‌کند و دو مثلث قائم‌الزاویه می‌سازد. در هرکدام، وتر $2$، ضلع کوتاه $1$ و ارتفاع، به کمک فیثاغورس، $\sqrt{3}$ است. زاویه‌های حاده هم $30^\circ$ و $60^\circ$ هستند. بنابراین:

دقت کن: با عوض‌شدن زاویهٔ مرجع، ضلع مقابل و مجاور جایشان عوض می‌شود، اما وتر همان است. مثلاً در بررسی یک نردبان مایل، همین نسبت‌ها ارتباط طول نردبان، ارتفاع و فاصلهٔ پای آن از دیوار را نشان می‌دهند.

از شکل واقعی تا مدل مثلثاتی

برای اندازه‌گیری ارتفاع یک پنجره، لازم نیست تا کنار آن بالا برویم! نردبان، دیوار و زمین می‌توانند یک مثلث قائم‌الزاویه بسازند؛ کافی است طول نردبان و زاویه‌اش با زمین را بدانیم.

اول شکل ساده‌ای بکش و زاویهٔ معلوم را مشخص کن. بعد، وتر و ضلع‌های مقابل و مجاورِ آن زاویه را نام‌گذاری کن. نسبتی را انتخاب کن که هم ضلع معلوم و هم ضلع مجهول را داشته باشد. مثلاً اگر طول نردبان معلوم و ارتفاع پنجره مجهول باشد، سینوس مناسب است؛ چون ارتفاع، ضلع مقابل و نردبان، وتر است.

حواست باشد ارتفاعی که در مثلث پیدا می‌کنی، همیشه ارتفاع از سطح زمین نیست؛ اگر حرکت از بالای زمین شروع شده باشد، باید ارتفاع آغازین را هم اضافه کنی.

برای مساحت هم همین فکر به کار می‌آید. در مثلثی با دو ضلع $a$ و $b$ و زاویهٔ بین آن‌ها $\theta$، با رسم ارتفاع نسبت به قاعدهٔ $b$ داریم:

$h=a\sin\theta$

پس با جای‌گذاری ارتفاع در فرمول مساحت:

$S=\frac{1}{2}bh=\frac{1}{2}ab\sin\theta$

اینجا مهم است که $\theta$ زاویهٔ بین دو ضلع معلوم باشد.

از زاویه به شیب

شیب و تانژانت، دو راه برای بیان یک نسبت‌اند! برای دیدن این ارتباط، خطی غیرعمودی را در نظر بگیر که از چپ به راست بالا می‌رود. دو نقطه روی آن انتخاب کن و بین آن‌ها یک مسیر افقی و سپس یک مسیر عمودی بکش؛ این مسیرها همراه با بخشی از خط، یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازند.

اگر زاویهٔ خط با جهت مثبت محور افقی را $\alpha$ بنامیم، نسبت ضلع مقابل این زاویه به ضلع مجاورش، تانژانت است. همین نسبت در محاسبهٔ شیب هم دیده می‌شود:

$\displaystyle m=\frac{\text{تغییر عرض}}{\text{تغییر طول}}=\tan\alpha$

مثلاً در مسیر یک رمپ مستقیم، نسبت بالا رفتن به جلو رفتنِ افقی، هم شیب رمپ را نشان می‌دهد و هم تانژانت زاویهٔ آن را با سطح افقی.

پس برای پیدا کردن شیب، همیشه لازم نیست دو نقطه داشته باشیم: اگر تانژانت زاویهٔ خط را بدانیم، شیب را هم می‌دانیم. دقت کن که شیب با خود زاویه برابر نیست؛ با تانژانت زاویه برابر است.

زاویه و علامت شیب

خط را از چپ به راست با چشم دنبال کن: سربالا می‌رود یا سرپایین؟ این نگاه ساده، علامت شیب را نشان می‌دهد. برای دقیق‌تر شدن، زاویهٔ خط با جهت مثبت محور افقی را در بازهٔ $0^\circ\leq\alpha<180^\circ$ در نظر می‌گیریم.

• اگر $0^\circ<\alpha<90^\circ$ باشد، تانژانت مثبت است؛ پس با رابطهٔ $m=\tan\alpha$، شیب هم مثبت است و خط از چپ به راست بالا می‌رود.
• اگر $90^\circ<\alpha<180^\circ$ باشد، تانژانت منفی است؛ بنابراین شیب منفی است و خط از چپ به راست پایین می‌آید. دقت کن: مثبت بودن اندازهٔ زاویه، لزوماً به معنی مثبت بودن شیب نیست!

دو حالت مرزی هم مهم‌اند: در $\alpha=0^\circ$ خط افقی و شیب آن صفر است. در $\alpha=90^\circ$ خط عمودی است؛ چون تغییر طول صفر می‌شود، نمی‌توان نسبت تغییر عرض به تغییر طول را حساب کرد. پس شیب خط عمودی تعریف نمی‌شود، نه اینکه صفر باشد.

از زاویه به معادلهٔ خط

زاویهٔ یک خط، شیب آن را مشخص می‌کند؛ اما جای خط را در صفحه معلوم نمی‌کند. مثل چند مسیر مستقیم و موازی که همگی یک شیب دارند، ولی از جاهای متفاوتی می‌گذرند. برای تعیین یک خط مشخص، دانستن یک نقطه از آن هم لازم است.

برای نوشتن معادلهٔ خط غیرعمودی، این مسیر را دنبال کن:

• شیب را پیدا کن: اگر زاویهٔ خط با جهت مثبت محور افقی $\alpha$ باشد، داریم $m=\tan\alpha$.
• نقطه را به کار بگیر: در معادلهٔ $y=mx+b$، به‌جای $x$ و $y$ مختصات نقطهٔ معلوم را بگذار. چون نقطه روی خط است، باید معادله را برقرار کند.
• عرض از مبدأ را تعیین کن: از رابطهٔ حاصل، $b$ را پیدا کن و سپس $m$ و $b$ را در معادلهٔ خط بنویس.

یادت باشد: زاویه، شیب را تعیین می‌کند و نقطه، جای خط را. مختصات نقطه فقط برای پیدا کردن $b$ جای‌گذاری می‌شوند؛ در معادلهٔ نهایی، $x$ و $y$ متغیر باقی می‌مانند.

نسبت‌ها چگونه به هم وصل می‌شوند؟

لازم نیست هر چهار نسبت مثلثاتی را جداگانه پیدا کنی؛ بعضی از آن‌ها از تقسیم دو نسبت دیگر به دست می‌آیند.

در مثلث قائم‌الزاویه، سینوسِ یک زاویه برابر «ضلع مقابل تقسیم بر وتر» و کسینوسِ همان زاویه برابر «ضلع مجاور تقسیم بر وتر» است. وقتی سینوس را بر کسینوس تقسیم می‌کنیم، وترها ساده می‌شوند و «ضلع مقابل تقسیم بر ضلع مجاور» باقی می‌ماند؛ یعنی تانژانت:

اگر ترتیب تقسیم را برعکس کنیم، به کتانژانت می‌رسیم:

این رابطه‌ها برای هر زاویه‌ای که مخرجِ کسرش صفر نباشد، برقرارند. پس اگر سینوس و کسینوس زاویه‌ای را داشته باشی، برای یافتن تانژانت و کتانژانت کافی است تقسیم کنی.

نکتهٔ مهم: پیش از تقسیم، مخرج را بررسی کن؛ تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

رابطهٔ بنیادی سینوس و کسینوس

آیا سینوس و کسینوس یک زاویه می‌توانند هر مقداری داشته باشند؟ نه؛ این دو نسبت به هم وابسته‌اند.

در یک مثلث قائم‌الزاویه، ضلع روبه‌روی زاویهٔ $\alpha$ را $a$، ضلع مجاورش را $b$ و وتر را $c$ بنامیم. از تعریف نسبت‌ها داریم:

$\sin\alpha=\frac{a}{c}\qquad \cos\alpha=\frac{b}{c}$

حالا هر نسبت را به توان دو می‌رسانیم و جمع می‌کنیم:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{a^2+b^2}{c^2}$

طبق قضیهٔ فیثاغورس، $a^2+b^2=c^2$؛ پس این کسر برابر با $1$ است. بنابراین:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

این رابطه را با مثلث قائم‌الزاویه به دست آوردیم، اما برای هر زاویه‌ای، حتی زاویه‌های غیرتند، برقرار است؛ روی دایرهٔ مثلثاتی هم همین وابستگی وجود دارد.

دقت کن: $\sin^2\alpha$ یعنی $(\sin\alpha)^2$، نه سینوسِ دو برابر زاویه! این رابطه مثل یک ابزار کنترل است: اگر دو عدد را سینوس و کسینوس یک زاویه معرفی کنند، مجموع مربع‌هایشان باید $1$ باشد.

علامت را ناحیه تعیین می‌کند

رابطهٔ بنیادی، مربع سینوس و کسینوس را به هم وصل می‌کند. پس اگر سینوس را بدانیم، می‌نویسیم:

$\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$

اما هنگام ریشه‌گیری باید حواسمان باشد: دو عددِ قرینه، مربع یکسانی دارند! بنابراین:

$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

این علامتِ $\pm$ یعنی هنوز باید با توجه به ناحیه، علامت درست را انتخاب کنیم؛ نه اینکه کسینوسِ یک زاویه دو مقدار داشته باشد.

روی دایرهٔ مثلثاتی، کسینوس همان مؤلفهٔ افقی و سینوس همان مؤلفهٔ عمودی نقطه است. مثل حرکت روی نقشه، راست و بالا مثبت‌اند و چپ و پایین منفی. بنابراین:

• ناحیهٔ اول: سینوس و کسینوس هر دو مثبت‌اند.
• ناحیهٔ دوم: سینوس مثبت و کسینوس منفی است.
• ناحیهٔ سوم: هر دو منفی‌اند.
• ناحیهٔ چهارم: سینوس منفی و کسینوس مثبت است.

اگر کسینوس معلوم باشد، برای یافتن سینوس هم همین روش را داریم:

$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$

یادت بماند: ریشه اندازه را می‌دهد؛ ناحیه علامت را مشخص می‌کند.

دو رابطه از یک رابطه

رابطهٔ بنیادی مثل یک ابزار چندکاره است: با تقسیم همهٔ جمله‌های دو طرف آن، می‌توانیم رابطه‌های تازه بسازیم.

از $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ شروع کنیم. اگر $\cos\alpha\ne0$ باشد، همهٔ جمله‌ها را بر $\cos^2\alpha$ تقسیم می‌کنیم:

کسر اول برابر $\tan^2\alpha$ و کسر دوم برابر $1$ است؛ پس:

این بار اگر $\sin\alpha\ne0$ باشد، رابطهٔ بنیادی را بر $\sin^2\alpha$ تقسیم می‌کنیم:

پس به رابطهٔ دوم می‌رسیم:

فایده‌شان چیست؟ اگر کسینوس را بدانی و فقط مربع تانژانت را بخواهی، رابطهٔ اول راه مستقیمی می‌دهد؛ لازم نیست ابتدا سینوس را پیدا کنی. رابطهٔ دوم هم همین کار را برای سینوس و مربع کتانژانت انجام می‌دهد. شرط ناصفر بودن مخرج را فراموش نکن؛ تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

یک رابطه، دو علامت

اگر سینوس یک زاویه را بدانی، برای پیدا کردن کسینوس لازم نیست خودِ زاویه را پیدا کنی! نقطهٔ متناظر زاویه روی دایرهٔ مثلثاتی، مختصات $\cos\alpha$ و $\sin\alpha$ دارد؛ پس رابطهٔ اصلی ما این است:

$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

با جابه‌جایی جمله‌ها و ریشه‌گرفتن، داریم:

$\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

اگر کسینوس معلوم باشد، به همین روش می‌نویسیم:

$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$

اما چرا دو علامت؟ مربع یک عدد مثبت و قرینهٔ منفی آن برابر است؛ بنابراین دانستن مربع، علامت عدد را مشخص نمی‌کند. اینجا ناحیهٔ زاویه به کمکمان می‌آید.

برای انتخاب علامت، جای نقطه را روی دایره تصور کن: کسینوس در سمت راست مثبت و در سمت چپ منفی است؛ سینوس بالای محور افقی مثبت و پایین آن منفی است. پس در ناحیهٔ دوم، سینوس مثبت و کسینوس منفی است؛ در ناحیهٔ سوم، هر دو منفی‌اند.

یادت بماند: ریشه اندازه را به تو می‌دهد؛ ناحیه مشخص می‌کند کدام علامت را انتخاب کنی.

دو رابطهٔ تازه

رابطهٔ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ را مثل یک ابزار چندکاره ببین؛ با تقسیم کردن، می‌توانیم شکل تازه‌ای از آن بسازیم.

اگر $\cos\alpha\neq0$ باشد، همهٔ جمله‌های دو طرف را بر $\cos^2\alpha$ تقسیم می‌کنیم:

$\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\frac{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\frac{1}{\cos^2\alpha}$

کسر اول برابر $\tan^2\alpha$ و کسر دوم برابر $1$ است؛ پس:

$1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$

به همین روش، اگر $\sin\alpha\neq0$ باشد، تقسیم رابطهٔ اصلی بر $\sin^2\alpha$ می‌دهد:

$1+\cot^2\alpha=\frac{1}{\sin^2\alpha}$

این رابطه‌ها چه کمکی می‌کنند؟ مثلاً در مسئلهٔ شیب یک مسیر، اگر کسینوس زاویه را داشته باشیم، رابطهٔ اول ما را به مربع تانژانت می‌رساند، بدون اینکه خود زاویه را پیدا کنیم.

حواست به مخرج باشد: تقسیم بر صفر مجاز نیست؛ پس شرط کنار هر رابطه، بخشی ضروری از آن است، نه یک یادداشت اضافی.

اتحاد یعنی همیشه برقرار

فرض کن کسی بگوید: «این تساوی را برای چند زاویه امتحان کردم و درست بود؛ پس یک اتحاد است!» آیا این آزمایش کافی است؟

اتحاد مثلثاتی تساوی‌ای است که برای همهٔ زاویه‌های مجاز برقرار باشد؛ یعنی هر زاویه‌ای که عبارت‌های دو طرف برای آن تعریف شده‌اند. مثل قانونی که باید دربارهٔ همهٔ اعضای یک گروه درست باشد، نه فقط چند عضو آن.

برای نمونه، رابطهٔ $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ برای هر زاویه برقرار است. اما در اتحاد $1+\tan^2\alpha=\frac{1}{\cos^2\alpha}$ فقط زاویه‌هایی را در نظر می‌گیریم که $\cos\alpha\neq0$؛ چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است. کنار گذاشتن این زاویه‌های غیرمجاز، اتحاد بودن رابطه را از بین نمی‌برد.

پس درست بودن برای چند زاویه، اثبات اتحاد نیست؛ ولی پیدا کردن حتی یک زاویهٔ مجاز که دو طرف در آن برابر نباشند، کافی است تا بفهمیم تساوی اتحاد نیست.

از یک طرف به طرف دیگر

اثبات اتحاد شبیه پیدا کردن مسیری بین دو نشانی است: از یک طرف شروع می‌کنی و قدم‌به‌قدم به طرف دیگر می‌رسی. معمولاً طرفی که پیچیده‌تر است، نقطهٔ شروع مناسب‌تری است.

در هر قدم، عبارت را با یک عبارت هم‌ارز جایگزین کن. این ابزارها کمک می‌کنند:

• تانژانت و کتانژانت را به صورت کسر بنویس: $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ و $\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$.
• کسرها را هم‌مخرج کن یا از اتحادهای جبری، مثل اتحاد مزدوج، کمک بگیر.
• هرجا لازم شد، از $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ و رابطه‌های دیگر استفاده کن.

حواست به مخرج‌ها باشد! ساده‌کردن کسر، شرط اولیهٔ آن را از بین نمی‌برد؛ مثلاً اگر مخرج اولیه $\cos\alpha$ بوده، همچنان باید $\cos\alpha\ne0$ باشد.

لازم نیست در هر اثبات همهٔ این ابزارها را به کار ببری. هدف این است که بدون فرض‌کردن درستیِ تساوی، یک طرف را به شکل طرف دیگر درآوری؛ نه اینکه فقط چند زاویه را امتحان کنی.