خلاصه درس فصل ۱ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

هر عدد کجا جا می‌گیرد؟

برای شمردن کتاب‌ها از اعداد طبیعی استفاده می‌کنی: $\mathbb{N}=\{1،2،3،\ldots\}$. اگر تعداد کتاب‌ها صفر هم بتواند باشد، به اعداد حسابی نیاز داری: $\mathbb{W}=\{0،1،2،3،\ldots\}$. با اضافه‌کردن عددهای صحیح منفی، مثل دمای زیر صفر، مجموعهٔ اعداد صحیح $\mathbb{Z}$ ساخته می‌شود.

عدد گویا عددی است که بتوان آن را به شکل $\frac{m}{n}$ نوشت؛ در اینجا $m$ و $n$ صحیح‌اند و $n\ne0$. پس هر عدد صحیح هم گویاست؛ مثلاً $-3=\frac{-3}{1}$.

این مجموعه‌ها مثل جعبه‌هایی درون هم‌اند:

$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{W}\subseteq\mathbb{Z}\subseteq\mathbb{Q}\subseteq\mathbb{R}$

اما همهٔ عددها گویا نیستند! عددهایی مثل $\sqrt{2}$ و $\pi$ را نمی‌توان به نسبت دو عدد صحیح نوشت؛ آن‌ها گنگ هستند و مجموعه‌شان را با $\mathbb{Q}'$ نشان می‌دهیم.

گویاها و گنگ‌ها با هم مجموعهٔ اعداد حقیقی را می‌سازند: $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{Q}'$. هر نقطهٔ محور اعداد نمایندهٔ یک عدد حقیقی است؛ آن عدد یا گویاست یا گنگ، نه هر دو.

خواندن و نوشتن بازه‌ها

فرض کن دمای مناسب یک اتاق، تمام مقدارهای بین $18$ و $24$ درجه، همراه با خود این دو مقدار باشد. این مجموعه فقط شامل عددهای صحیح نیست؛ مقدارهایی مثل $20.5$ هم در آن هستند. چنین قطعهٔ پیوسته‌ای از محور اعداد حقیقی را بازه می‌نامیم.

برای خواندن نماد بازه، به دو سر آن دقت کن:

• کروشه یعنی عددِ آن سر عضو بازه است؛ پس $[18,24]$ یک بازهٔ بسته است.
• پرانتز یعنی عددِ آن سر عضو نیست؛ پس $(18,24)$ یک بازهٔ باز است.
• در بازهٔ نیم‌باز مثل $[18,24)$، سرِ $18$ عضو است، ولی سرِ $24$ نیست.

روی محور، سرِ عضو را با نقطهٔ پُر و سرِ غیرعضو را با نقطهٔ توخالی نشان می‌دهیم و میان آن‌ها را رنگ می‌کنیم.

اگر بازه از یک طرف ادامه داشته باشد، از نماد بی‌نهایت استفاده می‌کنیم؛ مثلاً $[18,+\infty)$ یعنی تمام عددهای حقیقی بزرگ‌تر یا مساوی $18$. بی‌نهایت عدد حقیقی نیست؛ بنابراین کنار $+\infty$ و $-\infty$ همیشه پرانتز می‌گذاریم، نه کروشه.

اجتماع، اشتراک و تفاضل بازه‌ها

فرض کن دو نفر زمان‌های آزادشان را به‌صورت دو بازه روی یک محور نشان داده‌اند. برای پیدا کردن زمان‌هایی که حداقل یکی آزاد است، همهٔ قسمت‌های هر دو بازه را نگه می‌داریم؛ این همان اجتماع با نماد $A\cup B$ است.

برای پیدا کردن زمان‌هایی که هر دو آزادند، فقط قسمت مشترک دو بازه را نگه می‌داریم؛ این می‌شود اشتراک با نماد $A\cap B$.

اگر زمان‌هایی را بخواهیم که نفر اول آزاد است، ولی نفر دوم آزاد نیست، از بازهٔ اول قسمت‌های متعلق به بازهٔ دوم را حذف می‌کنیم؛ این همان تفاضل با نماد $A-B$ است. پس ترتیب در تفاضل مهم است و عوض کردن جای دو مجموعه می‌تواند نتیجه را تغییر دهد.

روش کار روی محور: هر دو بازه را رسم کن، قسمت‌های لازم را نگه دار و بعد سرهای قسمت باقی‌مانده را بررسی کن. در اشتراک، یک سر فقط وقتی عضو جواب است که در هر دو مجموعه باشد؛ در تفاضل، اگر آن سر عضو مجموعهٔ دوم باشد، حذف می‌شود.

متناهی یعنی تعداد مشخص

اگر بخواهی تعداد عکس‌های ذخیره‌شده در گوشی‌ات را بگویی، جواب یک عدد حسابی است؛ حتی اگر عکس‌ها آن‌قدر زیاد باشند که شمردن دستی‌شان خسته‌کننده شود! مجموعه‌ای با این ویژگی متناهی است: تعداد اعضایش یک عدد از مجموعهٔ $\mathbb{W}=\{0،1،2،3،\ldots\}$ است.

پس متناهی بودن به معنای «کم‌عضو بودن» نیست. مجموعهٔ دانش‌آموزان یک مدرسه و مجموعهٔ درخت‌های جنگل‌های آمازون هر دو متناهی‌اند؛ فقط تعداد اعضای یکی بسیار بیشتر است. لازم نیست همین حالا تعداد دقیق را بدانیم؛ مهم این است که تعداد اعضا یک عدد حسابی باشد.

مجموعهٔ تهی هم متناهی است. مثلاً مجموعهٔ عددهای طبیعی بین $1$ و $2$ هیچ عضوی ندارد؛ تعداد اعضای آن $0$ است و صفر هم عددی حسابی است.

بنابراین، برای تشخیص متناهی بودن نپرس «آیا می‌توانم خودم همه را بشمارم؟»؛ بپرس «آیا تعداد اعضا یک عدد حسابی است؟»

بی‌نهایت در یک فاصلهٔ کوچک

روی خط‌کش، فاصلهٔ بین $0$ و $1$ کوتاه است؛ اما آیا تعداد عددهای این فاصله هم کم است؟ طول یک بازه با تعداد اعضایش فرق دارد.

در بازهٔ $(0,1)$، عددهای $\frac{1}{2}$، $\frac{1}{3}$، $\frac{1}{4}$ و همین‌طور کسرهای $\frac{1}{n}$ برای هر عدد طبیعی $n>1$ قرار دارند. هر تعداد از این کسرها را که بنویسی، باز هم می‌توانی با بزرگ‌تر کردن مخرج، عضو تازه‌ای پیدا کنی. پس این مجموعه نامتناهی است؛ یعنی تعداد اعضایش از هر تعداد دلخواه بیشتر است.

حالا این کسرها همگی گویا هستند. اگر مجموعهٔ اعداد گویا متناهی بود، نمی‌توانست این زیرمجموعهٔ نامتناهی را در خود جا دهد. بنابراین $\mathbb{Q}$ هم نامتناهی است.

این استدلال یک قاعدهٔ کلی می‌دهد: هر مجموعه‌ای که زیرمجموعه‌ای نامتناهی داشته باشد، خودش نیز نامتناهی است. پس برای اثبات نامتناهی بودن، گاهی کافی است یک زیرمجموعهٔ نامتناهی پیدا کنی.

اول، محدودهٔ بحث

فرض کن می‌خواهیم دانش‌آموزان عضو تیم‌های ورزشی یک مدرسه را بررسی کنیم. پیش از هر چیز باید روشن کنیم دربارهٔ چه کسانی حرف می‌زنیم: دانش‌آموزان همین مدرسه، نه همهٔ ورزشکاران شهر!

این محدوده را مجموعهٔ مرجع می‌نامیم و با $U$ نشان می‌دهیم. همهٔ مجموعه‌هایی که در بحث به کار می‌بریم باید زیرمجموعهٔ آن باشند؛ یعنی هیچ عضوی بیرون از مرجع نداشته باشند.

اگر $A$ مجموعهٔ اعضای تیم فوتبال مدرسه باشد، می‌نویسیم $A \subseteq U$. این عبارت یعنی هر عضو $A$ حتماً عضو $U$ هم هست؛ اما لازم نیست همهٔ اعضای $U$ فوتبالیست باشند.

در نمودار ون، معمولاً مرجع را با یک مستطیل نشان می‌دهیم و مجموعه‌های مورد بحث را داخل آن می‌کشیم. پس پیش از بررسی مجموعه‌ها، از خودت بپرس: «محدودهٔ این بحث چیست؟»

متمم؛ چه چیزهایی بیرون مانده‌اند؟

فرض کن مجموعهٔ مرجع، همهٔ دانش‌آموزان مدرسه باشد و $A$ مجموعهٔ اعضای گروه سرود. متممِ $A$ شامل دانش‌آموزان همین مدرسه است که عضو گروه سرود نیستند؛ نه هر کسی در بیرون مدرسه!

متمم را با $A'$ نشان می‌دهیم و می‌نویسیم:

$A'=U-A$

یعنی از اعضای مرجع شروع کن و اعضای $A$ را کنار بگذار؛ آنچه می‌ماند، متمم است.

مرجع را فراموش نکن! اگر مرجع را از «همهٔ دانش‌آموزان مدرسه» به «همهٔ دانش‌آموزان پایهٔ دهم مدرسه» تغییر دهیم و اعضای گروه سرود همگی دهمی باشند، مجموعهٔ $A$ همان است؛ اما برای یافتن متمم، فقط دهمی‌های بیرون گروه را در نظر می‌گیریم.

پس برای تشخیص عضویت در متمم، دو سؤال بپرس: «آیا این عضو در مرجع هست؟» و «آیا بیرون از مجموعهٔ موردنظر است؟»

متمم در نمودار ون

یک مستطیل برای مجموعهٔ مرجع $U$ و دو دایرهٔ هم‌پوشان برای $A$ و $B$ تصور کن. مثلاً مستطیل، دانش‌آموزان کلاس است؛ $A$ اعضای گروه سرود و $B$ اعضای گروه تئاترند.

بیرون اجتماع یعنی نه در گروه سرود باشی، نه در گروه تئاتر. پس باید هم در $A'$ باشی و هم در $B'$:

$(A\cup B)'=A'\cap B'$

اما بیرون اشتراک یعنی عضو هر دو گروه با هم نباشی؛ کافی است دست‌کم در یکی از آن‌ها نباشی. بنابراین:

$(A\cap B)'=A'\cup B'$

دقت کن: کسی که فقط عضو سرود است، بیرون اشتراک قرار دارد، ولی بیرون اجتماع نیست!

تفاضل $A-B$ هم یعنی در گروه سرود باشی، ولی در گروه تئاتر نباشی؛ پس:

$A-B=A\cap B'$

دو نکتهٔ ساده هم از همین تصویر می‌فهمیم: هیچ عضوی هم‌زمان داخل و بیرون $A$ نیست، پس $A\cap A'=\emptyset$. همچنین اگر دوبار داخل و بیرون را عوض کنیم، به مجموعهٔ اول برمی‌گردیم: $(A')'=A$.

برای به‌خاطر سپردن این رابطه‌ها، به‌جای حفظ‌کردن نمادها، جای یک دانش‌آموز را در نمودار دنبال کن.

وقتی هیچ عضو مشترکی نداریم

فرض کن برای کمک به کتابخانهٔ مدرسه، یک گروه کتاب‌ها را مرتب می‌کند و گروه دیگری برچسب می‌زند. اگر هیچ دانش‌آموزی عضو هر دو گروه نباشد، با کنار هم گذاشتن اعضای دو گروه، هیچ‌کس دوبار شمرده نمی‌شود.

به چنین مجموعه‌هایی جدا از هم یا مجزا می‌گوییم؛ یعنی اشتراکشان تهی است: $A\cap B=\emptyset$.

نماد $n(A)$ یعنی «تعداد اعضای مجموعهٔ $A$». برای دو مجموعهٔ متناهیِ جدا از هم، کافی است تعداد اعضای آن‌ها را جمع کنیم تا تعداد اعضای اجتماع به دست بیاید:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)$

دلیلش ساده است: اجتماع شامل همهٔ اعضای دو مجموعه است و هیچ عضو مشترکی وجود ندارد که دوباره شمرده شود. پس پیش از استفاده از این روش، از خودت بپرس: آیا این دو مجموعه واقعاً هیچ عضو مشترکی ندارند؟ متفاوت بودن نام دو گروه، به‌تنهایی کافی نیست!

عضوهای مشترک را دوبار نشمار!

فرض کن بعضی از دانش‌آموزان کلاس هم عضو تیم فوتبال‌اند و هم عضو تیم بسکتبال. اگر تعداد اعضای دو تیم را با هم جمع کنی، این دانش‌آموزان دوبار شمرده می‌شوند؛ یک‌بار در تیم فوتبال و یک‌بار در تیم بسکتبال. اما در اجتماع، هر عضو باید فقط یک‌بار شمرده شود.

پس تعداد اعضای مشترک را یک‌بار کم می‌کنیم:

$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)$

یادت باشد «فوتبال یا بسکتبال» شامل کسانی هم می‌شود که عضو هر دو تیم‌اند؛ کم‌کردن اشتراک فقط برای اصلاح دوباره‌شماری است، نه حذف این افراد.

حالا اگر بخواهیم بدانیم چند دانش‌آموز عضو هیچ‌کدام از دو تیم نیستند، اعضای اجتماع را از کل دانش‌آموزان کلاس کم می‌کنیم. چون بیرون اجتماع، متمم آن در مجموعهٔ مرجع است:

$n((A\cup B)')=n(U)-n(A\cup B)$

پس مسیر کار این است: اول تعداد اعضای دست‌کم یکی از دو مجموعه را پیدا کن؛ سپس برای پیدا کردن اعضای بیرون هر دو، آن را از تعداد اعضای مرجع کم کن.

از شکل تا جملهٔ عمومی

فرض کن با چوب‌کبریت شکل‌هایی می‌سازی و تعداد چوب‌کبریت‌های آن‌ها به‌ترتیب $5$، $8$ و $11$ است. اگر قانون ساخت شکل‌ها را بشناسی، لازم نیست برای پیدا کردن تعداد چوب‌کبریت‌های یک شکل دورتر، همهٔ شکل‌های قبلی را بسازی. الگو یعنی ساختاری منظم؛ این نظم می‌تواند تکرار شود یا رشد کند.

برای نام‌گذاری جمله‌ها از نماد $a_n$ استفاده می‌کنیم: $n$ شمارهٔ شکل است و $a_n$ تعداد چوب‌کبریت‌های همان شکل. پس $a_2 = 8$ یعنی شکل دوم، $8$ چوب‌کبریت دارد؛ اندیس، شمارهٔ جمله است، نه چیزی که در $a$ ضرب شود.

اگر در شکل $n$ام، تعداد $n$ دستهٔ سه‌تایی و دو چوب‌کبریت اضافه داشته باشیم، قانون تعداد چوب‌کبریت‌ها چنین است: $a_n = 3n + 2$. به این رابطه جملهٔ عمومی می‌گوییم. مثل یک دستور کار است: شمارهٔ شکل را به‌جای $n$ می‌گذاری و تعداد چوب‌کبریت‌های آن را به دست می‌آوری.

رشد با گام‌های ثابت

فرض کن هر هفته تعداد برابری عکس به آلبومت اضافه کنی. تعداد عکس‌ها با گام‌های ثابت تغییر می‌کند؛ در الگوی عددی هم اگر اختلاف هر جمله با جملهٔ قبلی ثابت باشد، الگو خطی است.

در الگوی $5,8,11,14,\ldots$، هر بار $3$ واحد اضافه می‌شود. جملهٔ عمومی آن $t_n=3n+2$ است؛ ضریب $n$ همان اندازهٔ گام‌هاست.

به‌طور کلی، در رابطهٔ $t_n=an+b$، عددهای $a$ و $b$ ثابت‌اند و اختلاف هر جمله با جملهٔ قبل برابر $a$ است. دقت کن که $b$ لزوماً جملهٔ اول نیست؛ با گذاشتن $n=1$، جملهٔ اول برابر $a+b$ می‌شود. همچنین «خطی» به معنی افزایشی نیست؛ اگر $a$ منفی باشد، جمله‌ها کاهش می‌یابند.

چرا نامش خطی است؟ اگر شمارهٔ جمله را روی محور افقی و مقدار آن را روی محور عمودی بگذاری، نقطه‌های $(n,t_n)$ همگی روی خط $y=ax+b$ قرار می‌گیرند. خود الگو فقط همین نقطه‌های مربوط به شماره‌های طبیعی را دارد، نه تمام نقطه‌های خط.

دنباله و الگوی غیرخطی

اگر تعداد پیام‌هایی را که هر روز دریافت می‌کنی، به‌ترتیب روزها بنویسی، یک دنباله ساخته‌ای؛ حتی اگر این تعدادها هیچ نظم مشخصی نداشته باشند! پس دنباله، فهرستی مرتب از عددهاست و لازم نیست حتماً قانونی برای پیش‌بینی جمله‌هایش داشته باشیم. جای هر عدد مهم است؛ $t_n$ یعنی جمله‌ای که در جایگاه $n$ام قرار دارد.

حالا دنبالهٔ تعداد نقطه‌های یک الگوی شکلی را در نظر بگیر:

$5, 12, 21, 32, 45, \ldots$

قانون این دنباله $t_n = n^2 + 4n$ است. اما داشتن قانون به‌معنای خطی بودن نیست! اختلاف جمله‌های متوالی را نگاه کن:

$7, 9, 11, 13, \ldots$

این اختلاف‌ها ثابت نیستند؛ پس الگو غیرخطی است. دقت کن که اختلاف‌ها خودشان نظم دارند، ولی برای خطی بودن باید اختلاف جمله‌های خود دنباله ثابت باشد. بنابراین «غیرخطی» با «بی‌الگو» فرق دارد.

دنبالهٔ حسابی؛ جمع ثابت

فرض کن از امروز، هر روز مبلغ ثابتی به پس‌اندازت اضافه می‌کنی. مقدار پس‌اندازت در روزهای پیاپی یک دنبالهٔ حسابی می‌سازد؛ یعنی همان الگوی عددی خطی که در آن اختلاف هر دو جملهٔ متوالی ثابت است. این اختلاف ثابت را قدر نسبت می‌نامیم و با $d$ نشان می‌دهیم:

$t_{n+1}-t_n=d$

برای پیدا کردن جمله‌ای دورتر، لازم نیست همهٔ جمله‌های قبلی را بنویسی. از جملهٔ اول تا جملهٔ دوم، یک گام داریم؛ تا جملهٔ سوم، دو گام. پس برای رسیدن از جملهٔ اول به جملهٔ $n$ام، باید $n-1$ گام برداریم و هر بار $d$ را اضافه کنیم:

$t_n=t_1+(n-1)d$

حواست به تعداد فاصله‌ها باشد: تعداد گام‌ها یکی کمتر از شمارهٔ جمله است؛ چون جملهٔ اول، نقطهٔ شروع ماست، نه اولین گام!

قدر نسبت لازم نیست مثبت باشد؛ اگر $d<0$ باشد، جمله‌ها کاهش می‌یابند و اگر $d=0$ باشد، همهٔ جمله‌ها برابرند.

دنبالهٔ هندسی؛ ضرب ثابت

فرض کن در هر مرحله تعداد نسخه‌های یک پیام دو برابر شود. تعداد نسخه‌ها به‌ترتیب $2,4,8,16,\ldots$ خواهد بود. اینجا مقدار افزایش ثابت نیست؛ اما هر جمله از ضرب جملهٔ قبلی در عدد ثابت $2$ به‌دست می‌آید.

به چنین دنباله‌ای هندسی می‌گوییم. عدد ثابتِ ضرب را با $r$ نشان می‌دهیم و «قدرنسبت» می‌نامیم. برای یافتن آن، یک جمله را بر جملهٔ قبلی تقسیم می‌کنیم:

$r=\frac{t_{k+1}}{t_k}$

این نسبت باید برای همهٔ جمله‌های متوالی یکسان باشد؛ جملهٔ اول و $r$ هم باید غیرصفر باشند.

از جملهٔ اول تا جملهٔ دوم، یک بار در $r$ ضرب می‌کنیم؛ تا جملهٔ سوم، دو بار. پس تا جملهٔ $n$ام، دقیقاً $n-1$ بار ضرب داریم:

$t_n=t_1r^{n-1}$

حواست به تفاوت باشد: در دنبالهٔ حسابی، عدد ثابتی را جمع می‌کنیم؛ در هندسی، در عدد ثابتی ضرب می‌کنیم. همچنین هندسی بودن الزاماً به معنی افزایش نیست؛ مثلاً با $r=\frac{1}{2}$ هر جمله نصف قبلی می‌شود.