خلاصه درس فصل ۵ حسابان یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

نزدیک و نزدیک‌تر

تصور کن داخل دایره‌ای به شعاع $1$، یک چندضلعی منتظم کشیده‌ای که رأس‌هایش روی دایره‌اند. با بیشترکردن تعداد ضلع‌ها، مرز چندضلعی شبیه‌تر به دایره می‌شود و فضای خالی میان آن‌ها کمتر می‌شود.

اگر مساحت چندضلعیِ دارای $n$ ضلع را $A_n$ بنامیم، داده‌های کتاب نشان می‌دهند که برای $n=4$ مساحت برابر $2$ است؛ اما برای $n=1000$، مساحت تقریباً $3.14157$ است. این مقدار به مساحت دایره، یعنی $\pi$، بسیار نزدیک است.

نکته فقط «کم‌شدن فاصله» نیست: می‌توانیم اختلاف مساحت چندضلعی و دایره را از هر مقدار مثبت دلخواه کوچک‌تر کنیم؛ کافی است تعداد ضلع‌ها را به‌اندازهٔ کافی افزایش دهیم. بااین‌حال، هیچ چندضلعی با تعداد ضلع محدود، دقیقاً همان دایره نمی‌شود.

در فرایندی دیگر، اگر طول ضلع یک مثلث را هر بار نصف کنیم، طول ضلع‌ها به صفر نزدیک می‌شود؛ ولی در هیچ مرحله‌ای صفر نمی‌شود. این‌ها نمونه‌های فرایند حدی هستند: نزدیک‌شدن مقدارها به عددی مشخص، بدون اینکه لازم باشد به آن برسند.

اطراف نقطه مهم است

فرض کن در فیلمی، درست یک قاب از تصویر حذف شده باشد. با دیدن قاب‌های قبل و بعد، باز هم می‌توانی بفهمی حرکت به کدام سمت می‌رود. در بررسی حد هم، رفتار تابع در اطراف نقطه مهم است، نه فقط چیزی که دقیقاً در خود نقطه اتفاق می‌افتد.

وقتی می‌نویسیم $\lim_{x\to a}f(x)=L$، دربارهٔ نزدیک‌شدن مقدارهای تابع به $L$ صحبت می‌کنیم؛ اما $f(a)$ مقدار تابع دقیقاً در خود نقطهٔ $a$ است. این دو مفهوم را جدا نگه دار.

ممکن است تابع در آن نقطه اصلاً تعریف نشده باشد، ولی مقدارهای اطرافش به عدد مشخصی نزدیک شوند. حتی ممکن است مقدار تابع در خود نقطه با آن عدد فرق کند و باز هم حد وجود داشته باشد.

پس در جدول یا نمودار، فقط به مقدار خود نقطه نگاه نکن؛ مقدارهای تابع را هنگام نزدیک‌شدن از دو طرف دنبال کن. تغییر مقدار تابع فقط در خود نقطه، حد آن را تغییر نمی‌دهد.

همسایگی و جای خالی نقطه

وقتی می‌گوییم «اطراف یک نقطه»، دقیقاً کدام عددها را در نظر داریم؟ برای بیان روشن این موضوع، از همسایگی استفاده می‌کنیم.

همسایگیِ عدد $a$، بازه‌ای باز است که $a$ درون آن قرار دارد؛ یعنی بازه از هر دو طرفِ آن نقطه ادامه دارد. مثلاً بازهٔ $(1,5)$ یک همسایگیِ $3$ است. دو سرِ بازه عضو آن نیستند، اما خودِ $3$ عضو آن است.

حالا اگر فقط خودِ $3$ را از این بازه برداریم، همسایگی محذوف به دست می‌آید:

$(1,3)\cup(3,5)$

«محذوف» یعنی حذف‌شده؛ پس جای خود نقطه خالی است، نه اینکه عددهای نزدیکش هم حذف شده باشند!

بخش $(1,3)$ یک همسایگی چپ و بخش $(3,5)$ یک همسایگی راست برای $3$ است. هیچ‌کدام به‌تنهایی همسایگیِ کاملِ $3$ نیستند، چون فقط در یک طرف آن قرار دارند.

این تفاوت برای بررسی تابع مهم است: ممکن است تابع در تمام نقطه‌های یک همسایگی محذوف تعریف شده باشد، اما در خودِ نقطه تعریفی نداشته باشد.

معنای دقیق‌تر حد

وقتی می‌نویسیم $\lim_{x\to a}f(x)=L$، منظور فقط این نیست که چند مقدار تابع به $L$ نزدیک‌اند؛ باید بتوانیم مقدارهای تابع را به هر اندازه که بخواهیم به $L$ نزدیک کنیم، به شرط اینکه $x$ را به‌اندازهٔ کافی به $a$ نزدیک کنیم، بدون اینکه $x=a$ شود.

تصور کن دور $L$ یک نوار باریک می‌کشیم. هرقدر این نوار را باریک‌تر کنیم، باید بتوانیم اطراف $a$ محدوده‌ای پیدا کنیم که مقدار تابع برای همهٔ ورودی‌های آن محدوده، جز خود $a$، داخل نوار باشد. پس دیدن چند مقدار نزدیک در جدول، نشانه‌ای برای حدس‌زدن حد است، نه به‌تنهایی تضمین آن.

در تعریف این درس، نزدیک‌شدن از هر دو طرف لازم است و تابع باید در یک همسایگی محذوفِ $a$ تعریف شده باشد. بنابراین، اگر تابع فقط در سمت چپ نقطه تعریف شده باشد، حد دوطرفهٔ موردنظر این درس را ندارد؛ حتی اگر مقدارهایش از همان سمت به عدد مشخصی نزدیک شوند.

از کدام طرف نزدیک می‌شویم؟

روی محور اعداد، نقطهٔ $a$ را مثل مقصدت تصور کن. می‌توانی از عددهای بزرگ‌تر از $a$ به آن نزدیک شوی؛ این یعنی نزدیک‌شدن از راست. اگر از عددهای کوچک‌تر از $a$ حرکت کنی، از چپ نزدیک می‌شوی. پس راست و چپ را از روی مقدارهای ورودی تشخیص می‌دهیم، نه بالا یا پایین بودن نمودار.

مثلاً برای نزدیک‌شدن به $2$ از راست، می‌توانی عددهای $2.1$، $2.01$ و $2.001$ را دنبال کنی. از چپ هم عددهای $1.9$، $1.99$ و $1.999$ به همان مقصد نزدیک می‌شوند، بدون اینکه خودِ $2$ باشند.

اما یک شرط مهم داریم: ورودی‌ها باید در دامنهٔ تابع باشند. مثلاً تابع $f(x)=\sqrt{2-x}$ فقط برای $x\leq 2$ تعریف شده است. بنابراین نزدیک‌شدن به $2$ از چپ را می‌توان بررسی کرد، ولی در سمت راستِ آن ورودی مجازی نداریم. پیش از بررسی رفتار تابع، ببین در سمت موردنظر اصلاً تعریف شده است یا نه!

نام و نماد حدهای یک‌طرفه

حالا برای هر مسیرِ نزدیک‌شدن، یک نماد داریم. عبارت $\lim_{x\to a^+}f(x)=L$ را این‌طور بخوان: «حد راست تابع در $a$ برابر $L$ است.» یعنی وقتی $x$ با مقدارهای بزرگ‌تر از $a$ به آن نزدیک می‌شود، خروجی‌های تابع به $L$ نزدیک می‌شوند.

به همین ترتیب، $\lim_{x\to a^-}f(x)=M$ یعنی با نزدیک‌شدن $x$ از مقدارهای کوچک‌تر از $a$، خروجی‌ها به $M$ نزدیک می‌شوند؛ این همان حد چپ است.

علامت‌های $+$ و $-$ جهت نزدیک‌شدنِ ورودی را نشان می‌دهند، نه مثبت یا منفی بودن خروجی را. مثلاً در $\lim_{x\to 2^+}f(x)=-3$، از راستِ $2$ نزدیک می‌شویم، اما خروجی به عدد منفیِ $-3$ نزدیک می‌شود.

نکتهٔ مهم: حد دربارهٔ رفتار تابع نزدیک نقطه است، نه مقدار تابع دقیقاً در آن نقطه. پس برای دانستن حد راست یا چپ، لازم نیست $f(a)$ تعریف شده باشد؛ اگر هم تعریف شده باشد، ممکن است با حد یک‌طرفه برابر نباشد.

دو طرف باید به توافق برسند

تصور کن دو نفر از دو سمت یک مسیر به یک نشانی نزدیک می‌شوند. برای اینکه بتوانند یک مقصد مشترک گزارش کنند، گزارش هر دو باید یکسان باشد. در حد هم باید رفتار تابع را از هر دو سمت بررسی کنیم.

حد دوطرفه در $a$ دقیقاً وقتی وجود دارد که حد چپ و حد راست هر دو موجود و برابر باشند؛ یعنی اگر

$\lim_{x\to a^-}f(x)=L$ و $\lim_{x\to a^+}f(x)=L$،

آن‌گاه $\lim_{x\to a}f(x)=L$ است.

اگر دو حد یک‌طرفه متفاوت باشند، خروجی تابع از دو سمت به یک عدد مشترک نزدیک نمی‌شود؛ پس حد دوطرفه نداریم. اگر یکی از حدهای یک‌طرفه هم وجود نداشته باشد، باز حد دوطرفه وجود ندارد.

حواست باشد: برابر بودن دو حد یک‌طرفه را بررسی می‌کنیم، نه برابر بودن آن‌ها با $f(a)$. مقدار تابع در خود نقطه نمی‌تواند اختلاف رفتار دو سمت را جبران کند.

نزدیک نقطه، ضابطه را ساده کن

گاهی ظاهر تابع پیچیده است، ولی اگر فقط سمت موردنظر و نزدیک نقطه را نگاه کنی، ضابطه‌اش ساده می‌شود. برای حد یک‌طرفه، همین رفتار محلی کافی است؛ لازم نیست دو تابع در همهٔ دامنه برابر باشند.

تابع جزء صحیح را به یاد بیاور: $[x]$ بزرگ‌ترین عدد صحیحِ کوچک‌تر یا مساوی $x$ است. نمودارش مثل پله است؛ تا وقتی روی یک پله حرکت می‌کنی، خروجی عوض نمی‌شود.

مثلاً برای نزدیک‌شدن به $1$ از چپ، می‌توانیم فقط بازهٔ $(0,1)$ را نگاه کنیم. در تمام این بازه، $[x]=0$ است؛ پس برای یافتن حد چپ، تابع جزء صحیح را با تابع ثابتِ صفر جایگزین می‌کنیم: $\lim_{x\to1^-}[x]=0$.

نکتهٔ مهم این است که برابری باید در همان سمتِ نزدیک‌شدن برقرار باشد. ضابطه‌ای که سمت راست نقطه درست است، لزوماً برای حد چپ کاربرد ندارد. همچنین مقدار تابع درست روی نقطه، این جایگزینی را تغییر نمی‌دهد.

دو پایهٔ سادهٔ محاسبهٔ حد

اگر دمای یک اتاق همیشه ثابت بماند، نزدیک‌شدن زمان به یک لحظهٔ خاص، دما را عوض نمی‌کند. تابع ثابت هم همین رفتار را دارد: در تابع $f(x)=c$، هر ورودی‌ای بدهیم، خروجی همان $c$ است. پس وقتی $x$ به عدد دلخواه $a$ نزدیک می‌شود، خروجی همچنان $c$ می‌ماند:

$\lim_{x\to a}c=c$

دقت کن: عددی که $x$ به آن نزدیک می‌شود، لزوماً جواب حد نیست؛ برای تابع ثابت، جواب همان مقدار ثابت است.

حالا تابع همانی را در نظر بگیر: $g(x)=x$. این تابع هر ورودی را بدون تغییر پس می‌دهد. بنابراین، وقتی ورودی به $a$ نزدیک می‌شود، خروجی هم به $a$ نزدیک می‌شود:

$\lim_{x\to a}x=a$

پس تفاوت این دو پایه ساده است: تابع ثابت به ورودی کاری ندارد، اما تابع همانی دقیقاً همراه ورودی حرکت می‌کند. برای تشخیص حد، اول ببین با کدام رفتار روبه‌رو هستی.

قانون‌های ترکیب و جای‌گذاری

برای پیدا کردن حد یک عبارت، لازم نیست همیشه نمودارش را رسم کنیم. اگر حد دو تابع را داشته باشیم، یعنی $\lim_{x\to a}f(x)=L$ و $\lim_{x\to a}g(x)=M$، می‌توانیم حد اجزا را با همان عمل ترکیب کنیم:

• مجموع و تفاضل: $\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$
• حاصل‌ضرب: $\lim_{x\to a}(f(x)g(x))=LM$
• توان طبیعی: $\lim_{x\to a}(f(x))^n=L^n$

ضریب ثابت هم حفظ می‌شود: $\lim_{x\to a}cf(x)=cL$. این قانون‌ها مثل محاسبهٔ هزینهٔ خریدند: وقتی قیمت هر بخش به مقداری نزدیک می‌شود، مجموع هزینه‌ها هم به مجموع آن مقدارها نزدیک می‌شود.

برای تقسیم، یک چراغ هشدار داریم: فقط اگر $M\ne0$ باشد، می‌توان نوشت:

از این قانون‌ها نتیجه می‌گیریم که در هر چندجمله‌ای، حد با جای‌گذاری مستقیم به دست می‌آید: $\lim_{x\to a}p(x)=p(a)$. در کسرِ دو چندجمله‌ای هم ابتدا مخرج را بررسی کن؛ اگر مقدارش در نقطهٔ موردنظر صفر نباشد، جای‌گذاری مجاز است. صفرشدن مخرج یعنی این قانون فعلاً پاسخ نمی‌دهد، نه اینکه حتماً حد وجود ندارد.

اول شرط‌ها را بررسی کن

قضایای حد مثل ابزارهایی هستند که پیش از استفاده باید شرطشان را بررسی کنیم. برای نوشتن حد مجموع به‌صورت مجموع حدها، باید حد هر دو تابع وجود داشته باشد. اگر یکی از آن‌ها حد نداشته باشد، این قضیه قابل استفاده نیست؛ اما این به معنیِ نداشتن حد مجموع نیست!

برای فهمیدن تفاوت، دو نفر را تصور کن که یکی قدمی جلو و دیگری قدمی عقب می‌رود؛ ممکن است مجموع جابه‌جایی‌هایشان ثابت بماند، هرچند حرکت هرکدام تغییر می‌کند. در توابع هم ممکن است پرش‌های دو تابع یکدیگر را خنثی کنند و مجموعشان حد داشته باشد، درحالی‌که هیچ‌کدام به‌تنهایی حد ندارند.

پس از وجود حد مجموع، نمی‌توان وجود حد هر جزء را نتیجه گرفت. جهت استدلال مهم است: وجود حد اجزا، وجود حد مجموع را تضمین می‌کند؛ نه برعکس.

البته اگر هم حد مجموع و هم حد یکی از اجزا موجود باشد، حد جزء دیگر هم وجود دارد؛ چون می‌توان نوشت $g=(f+g)-f$ و این بار قضیهٔ حد تفاضل را برای دو تابعِ دارای حد به کار برد.

حد از زیر رادیکال

آیا می‌توان اول حدِ عبارت زیر رادیکال را پیدا کرد و بعد ریشه گرفت؟ بله، به شرط بررسی دامنه و وجود حد.

فرض کن $\lim_{x\to a}f(x)=L$ باشد و $\sqrt[n]{f(x)}$ در یک همسایگیِ $a$ تعریف شده باشد. در این صورت:

$\displaystyle \lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{L}$

یعنی می‌توان حدگیری و ریشه‌گرفتن را جابه‌جا کرد. برای ریشه‌های زوج، مثل جذر، باید عبارت زیر رادیکال در نزدیکی نقطه نامنفی باشد؛ برای ریشه‌های فرد، منفی‌بودن آن مانعی ندارد.

مثلاً اگر طول ضلع یک مربع از جذر مساحتش به دست آید، نزدیک‌شدن مساحت به یک مقدار مثبت باعث می‌شود طول ضلع هم به جذر همان مقدار نزدیک شود.

نکتهٔ مهم: فقط مقدارِ عبارت زیر رادیکال در خودِ نقطه را بررسی نکن؛ رفتار آن در نزدیکی نقطه مهم است. برای حد دوطرفه، باید ریشه در هر دو طرفِ نقطه تعریف شده باشد. پس پیش از استفاده از فرمول، بپرس: «حدِ داخل رادیکال وجود دارد؟ ریشه در اطراف نقطه تعریف شده است؟»

جای‌گذاری در سینوس و کسینوس

نمودارهای سینوس و کسینوس را به یاد بیاور؛ هر دو موج‌هایی پیوسته و بدون پرش‌اند. وقتی ورودی به یک عدد نزدیک می‌شود، خروجی هم به مقدار تابع در همان عدد نزدیک می‌شود. پس برای هر عدد حقیقی $a$ داریم:

$\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim_{x\to a}\cos x=\cos a$

یعنی برای این دو تابع، جای‌گذاری مستقیم مجاز است. زاویه‌های نوشته‌شده با $\pi$ را برحسب رادیان می‌خوانیم.

اگر سینوس و کسینوس در یک عبارت با هم جمع یا ضرب شده باشند، از قانون‌های کارت‌های قبل استفاده می‌کنیم؛ توان طبیعی هم به همین روش محاسبه می‌شود. در خارج‌قسمت همچنان باید مراقب باشیم: حد مخرج نباید صفر باشد.

مثلاً اگر ارتفاع یک صندلی چرخ‌وفلک با عبارتی شامل سینوس مدل شود، با نزدیک‌شدن زاویه به یک مقدار مشخص، ارتفاع نیز به مقدار همان عبارت در آن زاویه نزدیک می‌شود. حالا تو قانون جای‌گذاری را در سؤال زیر به کار ببر.

سینوس و کسینوس؛ حد با جای‌گذاری

برای حدهای سادهٔ مثلثاتی، لازم نیست هر بار نمودار رسم کنی! روی نمودار سینوس و کسینوس، وقتی ورودی به عددی نزدیک می‌شود، خروجی هم به مقدار تابع در همان عدد نزدیک می‌شود. پس برای هر عدد حقیقی $a$ داریم:

$\lim_{x\to a}\sin x=\sin a$

$\lim_{x\to a}\cos x=\cos a$

یعنی برای یافتن حد سینوس و کسینوس، کافی است عدد مقصد را جای‌گذاری کنی. در این بحث، زاویه‌ها برحسب رادیان‌اند.

اگر عبارت شامل جمع، تفریق یا ضرب این توابع باشد، قوانین حد هم به کمکت می‌آیند: حد هر بخش را پیدا کن و سپس آن‌ها را با همان عمل‌ها ترکیب کن. برای توان دوم نیز مقدار حد را به توان دوم برسان. در یک کسر، فقط وقتی می‌توانی حد صورت را بر حد مخرج تقسیم کنی که حد مخرج صفر نباشد.

حالا با یادآوری مقدارهای مثلثاتی زاویه‌های آشنا، خودت امتحان کن.

همان قوانین، از چپ یا راست

علامت $x\to a^-$ یعنی از سمت عددهای کوچک‌تر به $a$ نزدیک می‌شویم؛ علامت $x\to a^+$ یعنی از سمت عددهای بزرگ‌تر. جهت نزدیک‌شدن مهم است، اما قوانین محاسبهٔ حد عوض نمی‌شوند.

برای حدِ جمع یا ضرب، می‌توانیم حدِ هر بخش را جداگانه حساب کنیم؛ البته همهٔ حدها باید از همان سمت باشند و وجود داشته باشند. در خارج‌قسمت، یک شرط دیگر هم داریم: حدِ مخرج نباید صفر باشد.

سینوس و کسینوس از هر دو سمت به مقدار خودشان در نقطه نزدیک می‌شوند؛ پس در حدهای یک‌طرفهٔ آن‌ها هم جای‌گذاری می‌کنیم:

$\lim_{x\to a^-}\sin x=\sin a$

$\lim_{x\to a^+}\cos x=\cos a$

اما برای تابع جزءصحیح، جهت را با دقت ببین! وقتی از چپ به $1$ نزدیک می‌شویم، عددهای نزدیک به آن بین $0$ و $1$ هستند؛ بنابراین جزءصحیحشان $0$ است، نه جزءصحیحِ خودِ $1$. پس «استفاده از قوانین حد» همیشه به معنای «جای‌گذاری در همهٔ تابع‌ها» نیست.

شرط‌های قوانین را فراموش نکن

قانون حدِ جمع، یک شرط مهم دارد: هر دو تابع باید حد داشته باشند. پس پیش از جداکردن حدِ یک جمع، باید از وجود حدِ هر دو بخش مطمئن شویم.

حالا فرض کن وقتی $x\to a$، تابع $f$ حد دارد، اما تابع $g$ حد ندارد. آیا ممکن است مجموع آن‌ها حد داشته باشد؟ نه! برای فهمیدن دلیل، موقتاً فرض کن مجموع هم حد دارد. از رابطهٔ

$g=(f+g)-f$

می‌بینیم که در این صورت، $g$ تفاضل دو تابعِ دارای حد می‌شود؛ پس طبق قانون حدِ تفاضل، باید حد داشته باشد. این با فرض اولیهٔ ما ناسازگار است؛ بنابراین مجموع حد ندارد.

اما مراقب باش این نتیجه را بیش از اندازه گسترش ندهی: اگر هر دو تابع حد نداشته باشند، ممکن است مجموعشان حد داشته باشد؛ چون گاهی تغییرهای دو تابع یکدیگر را خنثی می‌کنند. پس «یکی حد دارد و دیگری ندارد» با «هیچ‌کدام حد ندارند» یک وضعیت نیست.

وقتی جای‌گذاری به $\frac{0}{0}$ می‌رسد

پیش از استفاده از قانون حد خارج‌قسمت، حد مخرج را بررسی کن. این قانون فقط وقتی قابل استفاده است که حد مخرج صفر نباشد. پس اگر با جای‌گذاری، صورت و مخرج هر دو صفر شدند، هنوز مقدار حد را پیدا نکرده‌ای!

عبارت $\frac{0}{0}$ نه پاسخ حد است، نه به‌تنهایی نشانهٔ نبودن حد؛ فقط می‌گوید جای‌گذاری مستقیم کافی نیست و باید شکل عبارت را تغییر بدهیم.

راهی که اینجا به کار می‌بریم، تجزیهٔ صورت و مخرج است. اگر عامل مشترکی پیدا شد، می‌توانیم آن را در جاهایی که صفر نیست حذف کنیم و سپس حد عبارت ساده‌شده را بررسی کنیم.

شاید بپرسی: «اگر عامل مشترک در نقطهٔ موردنظر صفر باشد، حذف آن مجاز است؟» در محاسبهٔ حد، رفتار تابع را نزدیک نقطه بررسی می‌کنیم، نه لزوماً در خود نقطه. بنابراین اگر آن عامل در نزدیکی نقطه و به‌جز خود آن صفر نباشد، حذفش رفتار موردنیاز برای حد را تغییر نمی‌دهد.

رفع ابهام با تجزیه

آیا رسیدن به $\frac{0}{0}$ یعنی حد وجود ندارد؟ نه! این عبارت حالت مبهم است؛ یعنی جای‌گذاری مستقیم هنوز پاسخ را مشخص نکرده است. قضیهٔ حدِ خارج‌قسمت وقتی قابل استفاده است که حد مخرج صفر نباشد.

در این حالت، ابتدا صورت و مخرج را تجزیه می‌کنیم تا عامل مشترک پیدا شود. مثلاً در کسرِ $\frac{x^2-9}{x-3}$، اتحادِ تفاضل دو مربع نشان می‌دهد که $x^2-9=(x-3)(x+3)$؛ پس برای $x\ne3$، کسر با $x+3$ برابر است.

اما مگر قرار نبود $x$ به $3$ نزدیک شود؟ دقیقاً! در محاسبهٔ حد، رفتار تابع نزدیک نقطه مهم است، نه مقدار آن در خود نقطه. بنابراین حذف عامل مشترک برای $x\ne3$ مجاز است، هرچند کسر اولیه در $x=3$ تعریف نشده باشد.

حواست باشد: فقط عامل‌های ضربی مشترک را می‌توان حذف کرد؛ نمی‌توان جمله‌های یک جمع یا تفریق را جداگانه خط زد.

مزدوج؛ راهِ کنارزدن رادیکال

گاهی با جای‌گذاری به حالت $\frac{0}{0}$ می‌رسی، اما وجود رادیکال اجازه نمی‌دهد عامل مشترک را به‌سادگی ببینی. اینجا مزدوج به کمک می‌آید: مزدوجِ $\sqrt{A}-b$، عبارتِ $\sqrt{A}+b$ است؛ یعنی فقط علامت بین دو جمله عوض می‌شود.

چرا این انتخاب مفید است؟ چون اتحادِ تفاضل دو مربع می‌گوید:

$(\sqrt{A}-b)(\sqrt{A}+b)=A-b^2$

به این ترتیب، رادیکال از حاصل‌ضرب کنار می‌رود و ممکن است عامل مشترکِ پنهان آشکار شود. مثلاً اگر صورتِ کسر $\sqrt{x+8}-3$ باشد، ضرب آن در $\sqrt{x+8}+3$ حاصلِ $x-1$ را می‌دهد؛ عاملی که شاید در مخرج هم وجود داشته باشد.

نکتهٔ مهم: باید هم صورت و هم مخرج را در همان مزدوج ضرب کنی؛ ضرب‌کردن فقط یکی از آن‌ها، مقدار کسر را تغییر می‌دهد. همچنین مزدوج همیشه مربوط به صورت نیست؛ اگر رادیکالِ دردسرساز در مخرج باشد، مزدوجِ مخرج را انتخاب کن. پس از آشکارشدن عامل مشترک، آن را برای نقاط مجازِ نزدیکِ نقطهٔ موردنظر حذف می‌کنیم.

اتحادها و حد بنیادی مثلثاتی

در حدهای مثلثاتی هم رسیدن به $\frac{0}{0}$ پایان کار نیست؛ باید ظاهر عبارت را عوض کنیم تا راه ساده‌سازی پیدا شود.

اول، دنبال اتحاد مناسب بگرد. مثلاً اگر مخرج $\cos 2x$ و صورت $\cos x-\sin x$ باشد، اتحاد زیر کمک می‌کند عامل مشترک را ببینی:

$\cos 2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)$

عامل مشترک را فقط در نقاطی که صفر نیست حذف می‌کنیم. همچنین برای عبارت $1-\cos x$، ضرب در مزدوجِ $1+\cos x$ مفید است؛ چون $1-\cos^2x=\sin^2x$.

دوم، حد بنیادی را بشناس:

$\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=1$

این رابطه برای زاویهٔ رادیانی است. نکتهٔ مهم این است که عبارت داخل سینوس و مخرج باید یکسان باشند. اگر داخل سینوس $2x$ است، برای ساختن این الگو به مخرج $2x$ نیاز داریم؛ نه فقط $x$. هنگام بازنویسی، ضریب لازم را طوری جبران می‌کنیم که مقدار کسر تغییر نکند.

پس قبل از محاسبه بپرس: «اتحاد، عامل مشترک می‌سازد یا مرا به الگوی حد بنیادی می‌رساند؟»

تغییر متغیر، تغییر نگاه

گاهی عبارتِ حد پیچیده به نظر می‌رسد، اما با انتخاب یک متغیر تازه، شکل آشنایی پیدا می‌کند. تغییر متغیر یعنی بازنویسی همان مسئله، نه عوض‌کردن آن. مثل وقتی که برای توضیح یک مسیر، مبدأ را نزدیک مقصد انتخاب می‌کنی.

برای عبارت‌های رادیکالی، می‌توان خودِ رادیکال را متغیر تازه گرفت. مثلاً انتخابِ $t=\sqrt{1+x}$ به ما می‌دهد $x=t^2-1$؛ در نتیجه عبارت‌های دارای رادیکال به عبارت‌های چندجمله‌ای تبدیل می‌شوند و ممکن است تجزیه‌کردن کمک کند.

در عبارت‌های مثلثاتی هم گاهی می‌خواهیم نقطهٔ نزدیک‌شدن را به صفر منتقل کنیم تا بتوانیم از حد بنیادی استفاده کنیم. مثلاً اگر $x\to\frac{\pi}{2}$ باشد، انتخابِ $t=x-\frac{\pi}{2}$ باعث می‌شود $t\to0$ و $x=t+\frac{\pi}{2}$ باشد.

پس هر بار سه چیز را هماهنگ تغییر بده: متغیر، تمام عبارت، و نقطهٔ نزدیک‌شدن. اگر فقط نام متغیر را عوض کنی و نقطهٔ جدید را ننویسی، ممکن است حد دیگری را حساب کنی!

سه شرط پیوستگی

آیا ممکن است تابع در یک نقطه حد داشته باشد، ولی نمودارش همان‌جا سوراخ باشد؟ بله؛ حد به رفتار تابع نزدیک نقطه مربوط است، نه لزوماً مقدار تابع در خود نقطه.

برای پیوستگی در $x=a$، این سه پرسش را به‌ترتیب بررسی کن:

• مقدار تابع داریم؟ یعنی $f(a)$ تعریف شده است؟
• حد داریم؟ یعنی $\lim_{x\to a}f(x)$ وجود دارد؟ برای حد دوطرفه، حدهای چپ و راست باید موجود و برابر باشند.
• این دو برابرند؟ یعنی $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$؟

مثل مسیری که به یک پل می‌رسد: نزدیک‌شدن مسیر از دو طرف کافی نیست؛ خودِ پل هم باید وجود داشته باشد و با مسیر هم‌سطح باشد.

پس وجود حد به‌تنهایی کافی نیست؛ تعریف‌شدن تابع هم به‌تنهایی کافی نیست. اگر حتی یکی از این سه شرط برقرار نباشد، تابع در آن نقطه ناپیوسته است.

توابع آشنای پیوسته

لازم نیست پیوستگی هر تابع را همیشه از ابتدا بررسی کنی؛ بعضی خانواده‌های آشنا را می‌توانی به خاطر بسپاری. چندجمله‌ای‌ها، سینوس، کسینوس، قدرمطلق و ریشهٔ سوم در هر عدد حقیقی پیوسته‌اند. یعنی برای هر نقطهٔ دلخواه $a$، حد تابع با مقدار آن برابر است: $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

مثلاً اگر هزینهٔ خرید با تعداد کالا رابطه‌ای خطی داشته باشد، مدل آن یک چندجمله‌ای است و نمودارش جهش یا سوراخ ندارد. البته پیوستگی به معنی صاف و بدون گوشه بودن نمودار نیست: نمودار $y=|x|$ در مبدأ گوشه دارد، ولی همان‌جا هم پیوسته است؛ چون از هر دو طرف به مقدار تابع نزدیک می‌شود.

در مقابل، همهٔ توابع این ویژگی را ندارند. تابع $y=\frac{|x|}{x}$ در صفر تعریف نشده و تابع جزءصحیح $y=[x]$ در عددهای صحیح جهش دارد. پس آشنا بودن یک تابع به‌تنهایی دلیل پیوستگی آن نیست.

پرکردن سوراخ نمودار

تصور کن روی نقشهٔ یک مسیر، فقط یک نقطه پاک شده است؛ مسیرِ اطراف آن هنوز نشان می‌دهد جای نقطهٔ گمشده کجاست. «سوراخ» نمودار هم می‌تواند چنین وضعی داشته باشد: تابع در یک نقطه تعریف نشده، اما حدش در آن نقطه وجود دارد.

حد به رفتار تابع در نزدیکی نقطه مربوط است، نه به مقدار تابع در خود آن نقطه. پس تعریف‌کردن یا تغییر دادن مقدار تابع فقط در همان نقطه، حد را تغییر نمی‌دهد.

برای پرکردن سوراخ در $x=a$، باید مقدار تابع را دقیقاً برابر با حد قرار دهیم:

$g(a)=\lim_{x\to a}f(x)$

در بقیهٔ نقاط، ضابطهٔ تابع را دست نمی‌زنیم. حالا مقدار تابع و حدش برابر می‌شوند و تابع جدید در آن نقطه پیوسته است. اگر مقدار دیگری بگذاریم، فقط نقطه‌ای جدا از مسیر نمودار ساخته‌ایم؛ ناپیوستگی هنوز باقی است.

دقت کن: این روش وقتی کاربرد دارد که حدِ متناهی وجود داشته باشد؛ صرفِ تعریف‌کردن یک مقدار، همیشه پیوستگی ایجاد نمی‌کند.

پیوستگی از راست و چپ

فرض کن روی نمودار به نقطه‌ای با طول $a$ نزدیک می‌شوی. این بار مسیر رسیدن مهم است: از راست می‌آیی یا از چپ؟

پیوستگی از راست یعنی مقدارهایی که از سمت راست به آن‌ها نزدیک می‌شویم، به مقدار خود تابع برسند:

$\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$

پیوستگی از چپ هم یعنی:

$\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$

پس در هر دو حالت، فقط وجود حد یک‌طرفه کافی نیست؛ آن حد باید با مقدار تابع در همان نقطه برابر باشد.

برای تصویر ذهنی، نمودار ارتفاع یک مسیر پله‌دار را تصور کن. در محل تغییر ارتفاع، ممکن است ارتفاعِ تعیین‌شده برای خود نقطه با سطح سمت راست هماهنگ باشد، اما با سطح سمت چپ نه؛ چنین وضعی شبیه پیوستگی فقط از راست است.

اگر تابع در یک همسایگی دوطرفهٔ $a$ تعریف شده باشد، برای پیوستگی در $a$ باید از هر دو طرف پیوسته باشد؛ یعنی حد چپ، حد راست و مقدار تابع هر سه برابر باشند.

پیوستگی روی یک بازه

تا اینجا پیوستگی را در یک نقطه بررسی کردیم؛ حالا می‌خواهیم این بررسی را برای یک بازه انجام دهیم. مثل بررسی یک مسیر است: سالم‌بودن فقط یک نقطه کافی نیست؛ باید تمام مسیر را بررسی کنی.

در بازهٔ باز $(a,b)$، تابع باید در تک‌تک نقاط بازه پیوسته باشد. خودِ دو سر بازه عضو آن نیستند، پس در آن‌ها شرطی نداریم.

در بازهٔ بستهٔ $[a,b]$، علاوه بر پیوستگی در تمام نقاط داخلی، دو سر بازه هم باید بررسی شوند؛ اما فقط از سمت داخل بازه:

• در سر چپ، یعنی $a$، باید $\lim_{x\to a^+}f(x)=f(a)$ باشد.
• در سر راست، یعنی $b$، باید $\lim_{x\to b^-}f(x)=f(b)$ باشد.

مثلاً تابع $f(x)=\sqrt{x}$ روی $[0,2]$ پیوسته است؛ در سر چپ، نزدیک‌شدن از راست کافی است و نیازی به تعریف تابع برای عددهای منفی نداریم.

در بازه‌های نیمه‌باز هم همین قاعده را به کار ببر: سرِ باز بررسی نمی‌شود و سرِ بسته فقط از داخل بازه بررسی می‌شود.

نقش معلمان در بهبود کتاب

معلم‌ها هر روز با یادگیری دانش‌آموزان سروکار دارند؛ پس تجربهٔ آن‌ها می‌تواند به بهترشدن کتاب درسی کمک کند. مثلاً اگر دانش‌آموزان زیادی هنگام خواندن یک توضیح دچار برداشت نادرست شوند، معلم می‌تواند متوجه این دشواری شود و آن را با مسئولان تهیهٔ کتاب در میان بگذارد.

در این صفحه، سازمان پژوهش و برنامه‌ریزی آموزشی تأکید می‌کند که مشارکت معلمان یک سیاست اجرایی مهم است؛ یعنی همراهی معلمان را بخشی از روش انجام مسئولیت‌های آموزشی خود می‌داند، نه کاری حاشیه‌ای.

پس پشت یک کتاب درسی، فقط کارِ نوشتن و چاپ‌کردن نیست؛ استفاده از تجربهٔ کسانی که با آن تدریس می‌کنند نیز اهمیت دارد. این مشارکت می‌تواند میان تجربهٔ کلاس درس و تصمیم‌گیری دربارهٔ کتاب ارتباط برقرار کند.

اعتبارسنجی؛ دریافت بازخورد

اگر توضیح یک کتاب برای دانش‌آموز روشن نباشد، چطور می‌توان آن را بهتر کرد؟ یکی از راه‌ها این است که معلمان کتاب را بررسی کنند و نظرشان را به دست مسئولان تهیهٔ آن برسانند.

برای همین، سامانهٔ برخط اعتبارسنجی راه‌اندازی شده است؛ یعنی فضایی اینترنتی برای دریافت نظر معلمان دربارهٔ کتاب‌های تازه‌تألیف. هدف این است که از این بازخوردها برای کاهش اشکال‌های کتاب استفاده شود و کتاب در همان سال نخست چاپ، با اشکال‌های کمتری به دست دانش‌آموز و معلم برسد.

مثلاً فرض کن معلمی هنگام بررسی یک تمرین متوجه شود که صورت سؤال روشن نیست. گزارش این ابهام می‌تواند به بازنویسی و روشن‌ترشدن سؤال کمک کند. این یک نمونه از کاربرد بازخورد است، نه گزارشی از اتفاقی مشخص در این کتاب.

پس در اینجا اعتبارسنجی، بررسی کتاب و دریافت نظر برای بهترکردن آن است؛ نه امتحان‌گرفتن از دانش‌آموزان.

این فهرست چه می‌گوید؟

اگر نام کسی در پایان یک کتاب آمده باشد، آیا حتماً نویسندهٔ آن است؟ برای فهمیدن نقش افراد، باید توضیحِ همراه فهرست را بخوانیم.

در این صفحه، از دبیران و هنرآموزانی قدردانی شده که نظرهایشان به بهترشدن محتوای کتاب کمک کرده است. پس این جدول، فهرست نویسندگان کتاب نیست؛ نام افراد را به دلیل مشارکتشان در اعتبارسنجی آورده است.

مثلاً وقتی دوستت نوشتهٔ تو را می‌خواند و پیشنهاد می‌دهد بخش مبهمی را روشن‌تر کنی، در بهترشدن نوشته سهم دارد؛ اما این همکاری به‌تنهایی او را نویسندهٔ متن نمی‌کند.

جدول، نام و نام خانوادگی افراد و استان محل خدمتشان را نشان می‌دهد. حضور نام‌هایی از استان‌های گوناگون نیز نشان می‌دهد که در این همکاری، معلمانی از مناطق مختلف مشارکت داشته‌اند. لازم نیست نام‌ها را حفظ کنی؛ مهم این است که بدانی چرا از این افراد نام برده شده است.