خلاصه درس فصل ۴ حسابان یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

رادیان؛ اندازه‌گیری با کمان

فکر کن دو نفر روی دو مسیر دایره‌ای هم‌مرکز راه می‌روند: یکی نزدیک مرکز و دیگری دورتر. اگر هر دو به اندازهٔ یک زاویه دور مرکز بچرخند، نفر دورتر مسیر بلندتری می‌رود؛ اما آیا این یعنی زاویهٔ بیشتری چرخیده است؟ نه!

برای یک زاویهٔ مرکزی ثابت، هرچه شعاع بزرگ‌تر شود، طول کمان روبه‌روی زاویه هم به همان نسبت بزرگ‌تر می‌شود. مثلاً با دو برابر شدن شعاع، طول کمان نیز دو برابر می‌شود؛ پس نسبت طول کمان به شعاع تغییر نمی‌کند. به همین دلیل می‌توانیم از این نسبت برای اندازه‌گیری زاویه استفاده کنیم، بدون اینکه اندازهٔ دایره مهم باشد.

یک رادیان اندازهٔ زاویه‌ای مرکزی است که طول کمان روبه‌روی آن دقیقاً برابر شعاع باشد. تصور کن نخی به اندازهٔ شعاع داری و آن را روی محیط دایره می‌گذاری؛ با وصل کردن دو سر این کمان به مرکز، زاویه‌ای به اندازهٔ $1\,rad$ می‌سازی.

حواست باشد: طول کمان را روی مسیر خمیدهٔ دایره می‌سنجیم، نه روی پاره‌خطی که دو سر کمان را به هم وصل می‌کند.

پل میان زاویه و طول کمان

نوک برف‌پاک‌کن هنگام حرکت، یک مسیر خمیده یا کمان را طی می‌کند. طول بازوی برف‌پاک‌کن شعاع این حرکت است؛ اما طول مسیر نوک آن را چطور پیدا کنیم؟

اگر طول کمان را با $l$، شعاع را با $r$ و اندازهٔ زاویه را برحسب رادیان با $\theta$ نشان بدهیم، داریم:

$\theta=\frac{l}{r}$

این رابطه را می‌توان به دو شکل دیگر هم نوشت:

• برای پیدا کردن طول کمان: $l=r\theta$
• برای پیدا کردن شعاع: $r=\frac{l}{\theta}$، به شرط $\theta\ne0$

پس با داشتن دو مقدار، می‌توانی مقدار سوم را پیدا کنی. پیش از محاسبه، دو چیز را بررسی کن: زاویه باید رادیانی باشد و طول کمان و شعاع باید واحد یکسان داشته باشند.

این رابطه یک نتیجهٔ کاربردی هم دارد: اگر دو برف‌پاک‌کن به یک اندازه بچرخند، نوک برف‌پاک‌کن بلندتر مسیر بیشتری طی می‌کند؛ چون برای زاویهٔ ثابت، طول کمان با شعاع متناسب است. حواست باشد طول کمان، مسیر خمیده است، نه فاصلهٔ مستقیم ابتدا تا انتهای آن.

از درجه به رادیان و برعکس

درجه و رادیان دو روش برای بیان همان زاویه هستند؛ با عوض‌کردن واحد، مقدار چرخش تغییر نمی‌کند. مثلاً بازشدن درِ اتاق را می‌توان با هر دو واحد توصیف کرد.

پل بین این دو واحد، زاویهٔ نیم‌صفحه است:

$180^\circ=\pi\,rad$

پس اگر اندازهٔ درجه‌ای زاویه را با $D$ و اندازهٔ رادیانی آن را با $R$ نشان دهیم، داریم:

$\frac{D}{180}=\frac{R}{\pi}$

برای تبدیل، کافی است جهت حرکتت را مشخص کنی:

• درجه به رادیان: اندازهٔ درجه‌ای را در $\frac{\pi}{180}$ ضرب کن؛ یعنی $R=D\times\frac{\pi}{180}$.
• رادیان به درجه: اندازهٔ رادیانی را در $\frac{180}{\pi}$ ضرب کن؛ یعنی $D=R\times\frac{180}{\pi}$.

لازم نیست همیشه به‌جای $\pi$ مقدار تقریبی بگذاری؛ نگه‌داشتن آن معمولاً پاسخ را دقیق‌تر و ساده‌تر می‌کند. برای کنترل پاسخ هم از نیم‌دور کمک بگیر: زاویه‌ای کوچک‌تر از $180^\circ$ باید اندازه‌ای کوچک‌تر از $\pi\,rad$ داشته باشد.

رادیان روی دایرهٔ مثلثاتی

دایرهٔ مثلثاتی را مثل صفحهٔ ساعت تصور کن، اما شروع حرکت را روی محور افقیِ سمت راست بگذار. زاویهٔ مثبت پادساعت‌گرد و زاویهٔ منفی ساعت‌گرد طی می‌شود.

یک دور کامل $2\pi$ رادیان است؛ پس در حرکت مثبت، بالای دایره زاویهٔ $\frac{\pi}{2}$، سمت چپ $\pi$ و پایین دایره $\frac{3\pi}{2}$ است. این نشانه‌ها کمک می‌کنند بدون تبدیل به درجه، ربعِ انتهای زاویه را تشخیص بدهی.

اگر زاویه از یک دور بیشتر بود، دورهای کامل را کنار بگذار و ببین حرکت باقی‌مانده کجا تمام می‌شود. برای زاویهٔ منفی هم از همان نقطهٔ شروع، ساعت‌گرد حرکت کن. هم‌مکان بودن انتهای دو زاویه، به معنی برابر بودن اندازهٔ آن‌ها نیست.

نسبت‌های مثلثاتی هم با تغییر واحد زاویه عوض نمی‌شوند. روی دایرهٔ مثلثاتی، کسینوس مختصهٔ افقی و سینوس مختصهٔ عمودیِ نقطهٔ انتهایی است؛ بنابراین $\sin(\frac{\pi}{2})=1$ و $\cos(\frac{\pi}{2})=0$. فقط شیوهٔ نوشتن زاویه عوض شده است، نه جای نقطه!

متمّم‌ها؛ جابه‌جایی نسبت‌ها

دو زاویه که مجموعشان $90^\circ$، یعنی $\frac{\pi}{2}$ رادیان باشد، متمّم یکدیگرند. پس متمّم زاویهٔ $\theta$ را به صورت $\frac{\pi}{2}-\theta$ می‌نویسیم.

برای فهم رابطه‌ها، یک مثلث قائم‌الزاویه را تصور کن. وقتی نگاهت را از یکی از زاویه‌های تند به دیگری می‌بری، وتر همان است؛ اما ضلع مقابل و ضلع مجاور جایشان عوض می‌شود. بنابراین سینوسِ یکی برابر کسینوسِ دیگری است. نسبتِ مقابل به مجاور هم به مجاور به مقابل تبدیل می‌شود؛ یعنی تانژانت و کتانژانت جابه‌جا می‌شوند.

این رابطه‌ها فقط مخصوص زاویه‌های تند نیستند؛ در حالت کلی نیز، هرجا نسبت‌ها تعریف شده باشند، داریم:

$\sin(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cos\theta$

$\cos(\frac{\pi}{2}-\theta)=\sin\theta$

$\tan(\frac{\pi}{2}-\theta)=\cot\theta$

$\cot(\frac{\pi}{2}-\theta)=\tan\theta$

کلید یادآوری: در متمّم‌گیری، نام نسبت عوض می‌شود؛ سینوس با کسینوس و تانژانت با کتانژانت. البته همیشه باید تعریف‌پذیری را بررسی کنی؛ مثلاً تانژانت زاویه‌ای که کسینوسش صفر است، تعریف نمی‌شود.

زاویه‌های قرینه؛ کدام علامت عوض می‌شود؟

زاویه‌های $\alpha$ و $-\alpha$ قرینهٔ یکدیگرند؛ اندازهٔ چرخششان برابر، اما جهت چرخششان مخالف است. روی دایرهٔ مثلثاتی، نقطه‌های انتهایی این دو زاویه نسبت به محور افقی قرینه‌اند: مختصات افقی ثابت می‌ماند و مختصات عمودی قرینه می‌شود.

چون کسینوس همان مختصات افقی و سینوس همان مختصات عمودی است، داریم:

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

پس منفی‌شدن زاویه، لزوماً مقدار همهٔ نسبت‌ها را منفی نمی‌کند! کسینوس تغییر نمی‌کند، ولی سینوس قرینهٔ مقدار قبلی می‌شود.

تانژانت برابر نسبت سینوس به کسینوس است؛ بنابراین با تغییر علامت سینوس و ثابت‌ماندن کسینوس، علامت تانژانت هم عوض می‌شود. برای کتانژانت نیز همین اتفاق می‌افتد:

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$

$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$

این دو رابطه را فقط جایی به کار می‌بریم که نسبت‌ها تعریف شده باشند. برای نمونه، چون $\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$، داریم $\sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}$؛ اما $\cos(-30^\circ)=\cos30^\circ$ است.

زاویهٔ منفی و قرینهٔ آن

روی دایرهٔ مثلثاتی، زاویهٔ مثبت را پادساعت‌گرد و زاویهٔ منفی را ساعت‌گرد طی می‌کنیم. پس نقطه‌های انتهایی زاویه‌های $\alpha$ و $-\alpha$ نسبت به محور افقی قرینه‌اند؛ مثل تصویر یک نقطه در آینه‌ای افقی.

مختصات نقطهٔ انتهایی زاویهٔ $\alpha$ برابر با $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ است. در قرینه‌کردن نسبت به محور افقی، مختصات افقی ثابت می‌ماند و مختصات عمودی قرینه می‌شود. بنابراین:

$\cos(-\alpha)=\cos\alpha$

$\sin(-\alpha)=-\sin\alpha$

تانژانت برابر با نسبت سینوس به کسینوس است؛ پس با تغییر علامت صورت و ثابت‌ماندن مخرج، علامتش عوض می‌شود. برای کتانژانت هم همین نتیجه را داریم:

$\tan(-\alpha)=-\tan\alpha$

$\cot(-\alpha)=-\cot\alpha$

دو رابطهٔ آخر فقط وقتی به کار می‌روند که نسبت‌ها تعریف شده باشند. حواست باشد: منفی‌بودن زاویه به معنی منفی‌بودن همهٔ نسبت‌های آن نیست!

مکمل یعنی چه؟

یک خط راست را تصور کن و از نقطه‌ای روی آن، نیم‌خطی به یک طرف خط بکش. دو زاویهٔ کنار هم ساخته می‌شود که مجموعشان یک زاویهٔ نیم‌صفحه، یعنی $180^\circ$ است. این دو زاویه مکمل یکدیگرند.

پس برای پیدا کردن مکمل یک زاویه، باید بپرسی: «چقدر تا $180^\circ$ باقی مانده است؟» اگر زاویهٔ داده‌شده $\alpha$ باشد، مکمل آن برابر است با:

$180^\circ-\alpha$

در اندازه‌گیری رادیانی هم همین رابطه را داریم. چون نیم‌دور برابر با $\pi$ رادیان است، مکمل زاویهٔ $\alpha$ را به‌صورت $\pi-\alpha$ می‌نویسیم؛ در این عبارت، $\alpha$ هم باید برحسب رادیان باشد.

حواست به این تفاوت باشد: «مکمل» و «متمم» یکی نیستند. مجموع دو زاویهٔ مکمل $180^\circ$ است، اما مجموع دو زاویهٔ متمم $90^\circ$ است. بنابراین پیش از کم‌کردن، مشخص کن که دنبال کامل‌کردن نیم‌دور هستی یا یک زاویهٔ قائمه.

نسبت‌های زاویه‌های مکمل

روی دایرهٔ مثلثاتی، نقطهٔ انتهایی زاویهٔ $\alpha$ مختصات $(\cos\alpha,\sin\alpha)$ دارد. برای رسیدن به نقطهٔ زاویهٔ مکملش، یعنی $\pi-\alpha$، آن را نسبت به محور عمودی قرینه می‌کنیم؛ درست مثل تصویر آینه‌ای در دو سوی این محور.

در این قرینه‌سازی، ارتفاع نقطه ثابت می‌ماند، اما مختصهٔ افقی قرینه می‌شود. چون سینوس همان مختصهٔ عمودی و کسینوس همان مختصهٔ افقی است، داریم:

$\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha$

حالا به تانژانت فکر کن: $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$. صورت ثابت مانده و مخرج تغییر علامت داده است؛ پس تانژانت هم تغییر علامت می‌دهد. برای کتانژانت نیز همین اتفاق می‌افتد:

$\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

$\cot(\pi-\alpha)=-\cot\alpha$

این دو رابطه فقط جایی به کار می‌روند که نسبت‌ها تعریف شده باشند.

نکتهٔ کلیدی: «تغییر علامت» یعنی قرینهٔ مقدار قبلی، نه اینکه جواب حتماً منفی باشد!

افزودن نیم‌دور

فرض کن روی لبهٔ چرخ‌وفلک نشسته‌ای. با چرخش نیم‌دور، به نقطهٔ مقابل جای قبلی‌ات می‌رسی. روی دایرهٔ مثلثاتی هم افزودن $\pi$ رادیان، یعنی $180^\circ$، نقطهٔ انتهایی زاویه را به نقطهٔ مقابل می‌برد.

اگر نقطهٔ نخست $P(x,y)$ باشد، نقطهٔ جدید $Q(-x,-y)$ است؛ یعنی هر دو مختصات تغییر علامت می‌دهند. چون کسینوس همان مختصهٔ افقی و سینوس همان مختصهٔ عمودی است، داریم:

$\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha$

اما تانژانت نسبتِ مختصهٔ عمودی به افقی است. با تغییر علامت هر دو، منفی‌ها در تقسیم حذف می‌شوند:

$\dfrac{-y}{-x}=\dfrac{y}{x}$

برای کتانژانت هم همین اتفاق می‌افتد. پس، هرجا این نسبت‌ها تعریف شده باشند:

$\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha$

$\cot(\pi+\alpha)=\cot\alpha$

یادت باشد: نیم‌دور، علامت هر دو مختصه را عوض می‌کند، نه علامت نسبتِ آن‌ها را.

دور کامل و زاویه‌های هم‌انتها

تصور کن عقربه‌ای یک دور کامل بچرخد؛ دوباره به جای قبلی برمی‌گردد. روی دایرهٔ مثلثاتی هم افزودن یا کم‌کردن هر تعداد دور کامل، نقطهٔ انتهایی را عوض نمی‌کند. این زاویه‌ها را هم‌انتها می‌نامیم.

هر دور کامل برابر $2\pi$ رادیان یا $360^\circ$ است. پس برای هر عدد صحیح $k$، زاویه‌های $2k\pi+\alpha$ و $\alpha$ هم‌انتها هستند و داریم:

$\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha$

$\cot(2k\pi+\alpha)=\cot\alpha$

اما در عبارت $2k\pi-\alpha$، پس از کنارگذاشتن دورهای کامل، زاویهٔ باقی‌مانده $-\alpha$ است، نه $\alpha$! بنابراین از رابطه‌های زاویهٔ قرینه استفاده می‌کنیم:

$\sin(2k\pi-\alpha)=-\sin\alpha$

$\cos(2k\pi-\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(2k\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

$\cot(2k\pi-\alpha)=-\cot\alpha$

رابطه‌های تانژانت و کتانژانت فقط در صورت تعریف‌شدن آن‌ها معتبرند. نکتهٔ اصلی: دور کامل را حذف کن، اما علامتِ جلوی زاویه را نگه دار.

یک نقطه، زاویه‌های متفاوت

چطور زاویه‌های $45^\circ$ و $405^\circ$ سینوس و کسینوس یکسان دارند؟ عقربه‌ای را تصور کن که از جهت مثبت محور افقی می‌چرخد. برای رسیدن به زاویهٔ دوم، یک دور کامل بیشتر می‌زند، اما سرانجام در همان جهت قبلی می‌ایستد!

روی دایرهٔ مثلثاتی هم این دو زاویه به یک نقطهٔ پایانی می‌رسند؛ به چنین زاویه‌هایی «هم‌انتها» می‌گوییم. دقت کن: خود زاویه‌ها برابر نیستند؛ فقط انتهای کمان‌هایشان یکی است.

اگر نقطهٔ پایانی را $P(x,y)$ بنامیم، کسینوس زاویه همان $x$ و سینوس آن همان $y$ است. پس وقتی نقطهٔ پایانی مشترک باشد، سینوس و کسینوس هم برابرند. تانژانت و کتانژانت نیز از همین مختصات به دست می‌آیند؛ بنابراین آن‌ها هم هرجا تعریف شده باشند برابرند.

پس برای مقایسهٔ نسبت‌های مثلثاتی، فقط بزرگی زاویه مهم نیست؛ باید ببینی حرکت روی دایره کجا تمام می‌شود.

دورهای کامل را کنار بگذار

تصور کن عقربه‌ای چند دور کامل بچرخد و بعد کمی جلوتر برود. برای پیدا کردن جای نهایی عقربه، لازم نیست همهٔ مسیر را دنبال کنی؛ می‌توانی دورهای کامل را کنار بگذاری. روی دایرهٔ مثلثاتی هم همین اتفاق می‌افتد.

هر دور کامل برابر $2\pi$ رادیان است. پس اگر $k\in\mathbb{Z}$ باشد، زاویه‌های $\alpha$ و $2k\pi+\alpha$ هم‌انتها هستند و داریم:

$\sin(2k\pi+\alpha)=\sin\alpha$

$\cos(2k\pi+\alpha)=\cos\alpha$

$\tan(2k\pi+\alpha)=\tan\alpha$

$\cot(2k\pi+\alpha)=\cot\alpha$

دو رابطهٔ آخر را فقط وقتی به کار می‌بریم که نسبت‌ها تعریف شده باشند.

نکتهٔ کاربردی: عدد صحیح $k$ می‌تواند مثبت، منفی یا صفر باشد؛ بنابراین هم افزودن دور کامل و هم کاستن آن مجاز است. برای ساده‌کردن یک زاویهٔ بزرگ یا منفی، آن‌قدر مضرب مناسبی از $2\pi$ به آن اضافه یا از آن کم کن تا به زاویه‌ای آشناتر برسی. مراقب باش: آنچه کنار می‌گذاری باید تعداد صحیحی دور کامل باشد، نه هر مقدار دلخواه.

تفاضل را با قرینه بشناس

در عبارت $2k\pi-\alpha$، اگر دورهای کامل را کنار بگذاریم، زاویهٔ $-\alpha$ باقی می‌ماند، نه $\alpha$! پس باید نسبت‌های زاویهٔ قرینه را بشناسیم.

روی دایرهٔ مثلثاتی، نقطه‌های انتهای دو زاویهٔ $\alpha$ و $-\alpha$ نسبت به محور افقی قرینه‌اند؛ مثل تصویر یک نقطه در آینه‌ای افقی. مختصات افقی ثابت می‌ماند، اما مختصات عمودی قرینه می‌شود. چون کسینوس مختصات افقی و سینوس مختصات عمودی است، داریم:

$\cos(2k\pi-\alpha)=\cos\alpha$

$\sin(2k\pi-\alpha)=-\sin\alpha$

تانژانت برابر نسبت سینوس به کسینوس است؛ بنابراین با قرینه‌شدن فقط صورت، علامت آن عوض می‌شود. برای کتانژانت نیز همین اتفاق می‌افتد:

$\tan(2k\pi-\alpha)=-\tan\alpha$

$\cot(2k\pi-\alpha)=-\cot\alpha$

این رابطه‌ها برای $k\in\mathbb{Z}$ و در صورت تعریف‌شدن نسبت‌ها برقرارند. حواست باشد: علامت مخالف داشتن نسبت‌ها لزوماً به معنی منفی‌بودن جواب نیست؛ اگر نسبت اولیه منفی باشد، قرینهٔ آن مثبت می‌شود.

یک ربع‌دور و جابه‌جایی نسبت‌ها

این بار به‌جای یک دور کامل، فقط $\frac{\pi}{2}$، یعنی یک ربع‌دور، به زاویه اضافه می‌کنیم. چه تغییری در نقطهٔ انتهای کمان رخ می‌دهد؟

نقطهٔ متناظر با زاویهٔ $\theta$ روی دایرهٔ مثلثاتی، مختصات $(\cos\theta,\sin\theta)$ دارد. با یک ربع‌دور چرخش پادساعت‌گرد، مختصات آن به $(-\sin\theta,\cos\theta)$ تبدیل می‌شود؛ درست مثل چرخاندن یک پیکان به‌اندازهٔ یک ربع‌دور به چپ.

چون کسینوس مختصهٔ افقی و سینوس مختصهٔ عمودی است، داریم:

$\sin(\frac{\pi}{2}+\theta)=\cos\theta$

$\cos(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin\theta$

پس فقط علامت‌ها تغییر نمی‌کنند؛ نام نسبت‌ها هم جابه‌جا می‌شود. با تقسیم سینوس بر کسینوس، و برعکس، دو رابطهٔ دیگر به دست می‌آید:

$\tan(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\cot\theta$

$\cot(\frac{\pi}{2}+\theta)=-\tan\theta$

این دو رابطه را فقط وقتی به کار می‌بریم که نسبت‌ها تعریف شده باشند؛ یعنی مخرجِ نسبت مربوط صفر نباشد. برای به‌خاطر سپردن علامت‌ها، به تبدیل مختصات فکر کن، نه اینکه فقط نام نسبت‌ها را عوض کنی.

از زاویه به ورودی تابع

چرا ممکن است دو ماشین‌حساب برای $\sin 2$ جواب‌های متفاوتی نشان دهند؟ یکی شاید روی حالت درجه و دیگری روی حالت رادیان باشد؛ پس پیش از محاسبه باید معنای ورودی را مشخص کنیم.

تا اینجا سینوس را برای زاویه‌ها می‌شناختی. حالا هر عدد حقیقی مثل $3$ یا $\sqrt{2}$ را اندازهٔ یک زاویه بر حسب رادیان در نظر می‌گیریم و سینوس آن زاویه را به دست می‌آوریم. به هر ورودی دقیقاً یک خروجی نسبت داده می‌شود؛ بنابراین $y=\sin x$ یک تابع است.

قرارداد مهم: اگر نشانهٔ درجه یا توضیحی دربارهٔ درجه نباشد، ورودی را رادیانی می‌خوانیم. پس $\sin 2$ یعنی سینوس زاویهٔ $2$ رادیانی، اما $\sin 2^\circ$ یعنی سینوس زاویهٔ $2$ درجه‌ای؛ این دو زاویه یکسان نیستند.

هنگام استفاده از ماشین‌حساب هم حالت آن را با ورودی هماهنگ کن: $RAD$ برای رادیان و $DEG$ برای درجه. نبودن علامت درجه به معنی نامشخص‌بودن ورودی نیست!

خواندن نمودار کسینوس

نمودار کسینوس مثل یک راهنمای تصویری است: ورودی را به آن می‌دهی و خروجی را از روی ارتفاع منحنی می‌خوانی. ورودی روی محور افقی است؛ خروجی، مؤلفهٔ عمودی نقطهٔ روی منحنی است.

برای پیدا کردن $\cos a$، ابتدا عدد $a$ را روی محور افقی پیدا کن. از آنجا خطی عمودی در نظر بگیر تا به منحنی $y=\cos x$ برسی؛ سپس از نقطهٔ برخورد، افقی به سمت محور عمودی برو و مقدار خروجی را بخوان. اگر نقطه زیر محور افقی باشد، خروجی منفی است؛ منظور از ارتفاع، فاصلهٔ بدون علامت نیست!

برای جهت‌یابی روی نمودار، این سه نقطه کمک می‌کنند: نمودار در $x=0$ خروجی $1$ دارد، در $x=\frac{\pi}{2}$ به خروجی $0$ می‌رسد و در $x=\pi$ خروجی $-1$ دارد.

لازم نیست ورودی زاویه‌ای آشنا باشد؛ برای ورودی‌هایی مثل $\sqrt{2}$ هم همین مسیر را دنبال می‌کنیم. فقط مقدار خوانده‌شده از نمودار معمولاً تقریبی است. برای بررسی با ماشین‌حساب نیز باید حالت رادیان، یعنی $\mathrm{RAD}$، فعال باشد.

محدودهٔ خروجی و تکرار موج

آیا هر عددی را می‌توان به سینوس یا کسینوس داد؟ بله! ورودی می‌تواند منفی، مثبت یا صفر باشد؛ پس دامنهٔ هر دو تابع، مجموعهٔ اعداد حقیقی است. اما خروجی آزاد نیست: همیشه $-1\leq\sin x\leq1$ و $-1\leq\cos x\leq1$. هر دو تابع به دو سر این بازه هم می‌رسند؛ بنابراین بردشان دقیقاً $[-1,1]$ است.

برای فهم این محدودیت، دایرهٔ مثلثاتی را تصور کن: سینوس و کسینوس مختصات نقطه‌ای روی دایره‌ای با شعاع $1$ هستند؛ هیچ‌کدام از این مختصات از $1$ بیشتر یا از $-1$ کمتر نمی‌شود.

موج‌ها تکرار می‌شوند. با یک دور کامل روی دایره، دوباره به همان نقطه می‌رسی؛ پس برای هر عدد حقیقی $x$ داریم:

$\sin(x+2\pi)=\sin x$

$\cos(x+2\pi)=\cos x$

بنابراین با جابه‌جایی نمودار به‌اندازهٔ $2\pi$ در راستای افقی، شکل آن تغییر نمی‌کند. مثل ارتفاع یک صندلی چرخ‌وفلک که پس از هر دور کامل دوباره همان مقدار قبلی می‌شود؛ البته ارتفاع واقعی صندلی، خودِ سینوس نیست!

ساختن نمودارهای تازه

اگر شکل موج سینوس یا کسینوس را بشناسی، لازم نیست برای هر تابع تازه از اول جدول مقدار بسازی؛ می‌توانی همان موج را جابه‌جا یا قرینه کنی.

جابه‌جایی افقی: در $y=\cos(x+a)$، با فرض $a>0$، نمودار کسینوس به اندازهٔ $a$ به چپ می‌رود. در $y=\cos(x-a)$، همین جابه‌جایی به راست است. برای تشخیص جهت، بپرس: «ورودی داخل پرانتز کجا صفر می‌شود؟»

منفیِ بیرون تابع: در $y=-\cos x$، خروجی هر نقطه قرینه می‌شود؛ یعنی نمودار نسبت به محور افقی قرینه می‌شود، نه اینکه به چپ یا راست برود.

قدرمطلقِ خروجی: در $y=|\sin x|$، بخش‌های بالای محور افقی دست‌نخورده می‌مانند و بخش‌های پایین آن به بالا برمی‌گردند. پس هیچ خروجی منفی باقی نمی‌ماند.

برای ترکیب تبدیل‌ها، مرحله‌به‌مرحله پیش برو: در $y=-\cos(x+\frac{\pi}{2})$، ابتدا موج کسینوس را به اندازهٔ $\frac{\pi}{2}$ به چپ ببر؛ سپس نمودار حاصل را نسبت به محور افقی قرینه کن. تغییر داخل پرانتز روی جای افقی و تغییر بیرون تابع روی خروجی اثر می‌گذارد.

سینوس در بازوی روبات

تصور کن بازوی یک روبات باید گیره را به قفسه‌ای بالاتر برساند. طول بازو ثابت است، اما با چرخیدن آن، ارتفاع گیره تغییر می‌کند. چطور این ارتفاع را مدل کنیم؟

اگر بازو با خط افقی زاویهٔ $\theta$ بسازد، یک مثلث قائم‌الزاویه در نظر بگیر: خود بازو وتر است و فاصلهٔ عمودی گیره از محل اتصال بازو، ضلع مقابل زاویه است. پس اگر طول بازو $L$ و این فاصلهٔ عمودی $l$ باشد، داریم:

$\sin\theta=\frac{l}{L}\quad\Rightarrow\quad l=L\sin\theta$

اما محل اتصال بازو معمولاً روی زمین نیست! اگر ارتفاع پایه $b$ باشد، برای یافتن ارتفاع گیره از زمین باید ارتفاع پایه را هم اضافه کنیم:

$h=b+L\sin\theta$

در بازهٔ $0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$، هرچه بازو از حالت افقی به حالت عمودی نزدیک‌تر شود، گیره بالاتر می‌رود. طول بازو را با ارتفاع عمودی آن اشتباه نگیر؛ این دو فقط وقتی بازو عمودی است برابر می‌شوند.

سینوس و کسینوسِ مجموع

آیا سینوسِ مجموع دو زاویه، برابر مجموع سینوس‌های آن‌هاست؟ نه؛ برای ترکیب زاویه‌ها به رابطه‌ای نیاز داریم که هم سینوس و هم کسینوس را درگیر کند.

برای سینوسِ مجموع، دو حاصل‌ضرب «سینوسِ یکی در کسینوسِ دیگری» را با هم جمع می‌کنیم:

$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

برای کسینوسِ مجموع، حاصل‌ضرب سینوس‌ها را از حاصل‌ضرب کسینوس‌ها کم می‌کنیم:

$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

برای به‌خاطر سپردن ساختارشان، به جفت‌ها نگاه کن: در رابطهٔ سینوس، هر حاصل‌ضرب یک سینوس و یک کسینوس دارد؛ در رابطهٔ کسینوس، نسبت‌های هم‌نام کنار هم هستند. همچنین، با اینکه زاویه‌ها در هر دو رابطه جمع شده‌اند، علامت میان حاصل‌ضرب‌ها در رابطهٔ کسینوس منفی است.

این رابطه‌ها فقط مخصوص زاویه‌های تند نیستند و برای همهٔ زاویه‌ها برقرارند. پس پیش از جای‌گذاری مقدارها، اول مشخص کن با سینوسِ مجموع روبه‌رویی یا کسینوسِ مجموع.

از مجموع به تفاضل

اگر دو چرخش خلاف جهت هم باشند، زاویهٔ نهایی با تفاضل آن‌ها توصیف می‌شود. برای محاسبهٔ سینوس و کسینوس این زاویه، لازم نیست از صفر شروع کنیم؛ تفاضل را به شکل جمع با زاویهٔ قرینه می‌نویسیم:

$\alpha-\beta=\alpha+(-\beta)$

یادت هست که برای زاویه‌های قرینه داریم:

$\sin(-\beta)=-\sin\beta$

$\cos(-\beta)=\cos\beta$

پس در رابطهٔ سینوسِ مجموع، به‌جای $\beta$، زاویهٔ $-\beta$ را می‌گذاریم. فقط سینوسِ آن تغییر علامت می‌دهد و نتیجه می‌شود:

$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta$

در رابطهٔ کسینوسِ مجموع هم همین جایگزینی را انجام می‌دهیم. این بار منفیِ فرمول در منفیِ سینوس ضرب می‌شود؛ بنابراین:

$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta$

نکتهٔ یادآوری: در سینوسِ تفاضل، بین دو حاصل‌ضرب علامت منفی است؛ اما در کسینوسِ تفاضل، علامت مثبت داریم. تفاضلِ زاویه‌ها به معنی تفاضلِ سینوس‌ها یا کسینوس‌ها نیست!

زاویهٔ ناآشنا، زاویه‌های آشنا

برای پیدا کردن مقدار دقیق یک نسبت مثلثاتی، لازم نیست مقدار آن را از قبل حفظ باشی. گاهی کافی است زاویهٔ ناآشنا را با زاویه‌هایی بسازی که سینوس و کسینوسشان را می‌دانی؛ مثل وقتی برای ساختن یک مبلغ، از چند اسکناسِ در دسترس استفاده می‌کنی.

مثلاً نوشتنِ $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ راه استفاده از رابطهٔ سینوس مجموع را باز می‌کند. برای زاویهٔ $15^\circ$ هم می‌توان از $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ کمک گرفت.

انتخابِ تجزیه مهم است: نوشتنِ $75^\circ=50^\circ+25^\circ$ درست است، اما وقتی نسبت‌های دو زاویهٔ سمت راست را نمی‌دانیم، کمکی به محاسبه نمی‌کند.

بعد از انتخاب زاویه‌های آشنا، ابتدا رابطهٔ مناسب را بنویس و سپس مقدار نسبت‌ها را جای‌گذاری کن. حواست باشد سینوسِ مجموع، جمعِ سینوس‌ها نیست! اگر هم تانژانت خواسته شد، می‌توانی سینوس و کسینوس همان زاویه را پیدا کنی و از $\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$، به شرط $\cos\theta\ne0$، استفاده کنی.

علامت‌ها را از ربع بگیر

گاهی برای محاسبهٔ سینوس یا کسینوسِ مجموع دو زاویه، فقط کسینوس هر زاویه را داریم. پیش از استفاده از فرمول مجموع، باید سینوس‌های لازم را پیدا کنیم؛ اما دانستن اندازه کافی نیست، علامت هم مهم است!

از اتحاد $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ نتیجه می‌گیریم:

$\sin\theta=\pm\sqrt{1-\cos^2\theta}$

کدام علامت را انتخاب کنیم؟ ربع زاویه تصمیم می‌گیرد:

• در ربع اول و دوم، سینوس مثبت است.
• در ربع سوم و چهارم، سینوس منفی است.

پس اگر کسینوس زاویه‌ای منفی باشد ولی انتهای کمانش در ربع دوم قرار بگیرد، سینوس آن مثبت است. منفی بودن کسینوس به معنی منفی بودن سینوس نیست؛ مثل نشانی روی نقشه، هر ربع علامت‌های مشخص خودش را دارد.

مسیر کار این است: ابتدا با اتحاد، اندازهٔ نسبتِ مجهول را پیدا کن؛ سپس علامتش را از ربع بگیر؛ در پایان، نسبت‌ها را با علامت درست در رابطهٔ مجموع یا تفاضل جای‌گذاری کن.

از مجموع تا زاویهٔ دوبرابر

اگر دو زاویه در رابطه‌های مجموع برابر باشند، چه اتفاقی می‌افتد؟ کافی است به‌جای $\beta$، زاویهٔ $\alpha$ را بگذاریم؛ آن‌وقت $\alpha+\alpha=2\alpha$ و داریم:

$\sin 2\alpha=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$

برای کسینوس هم به دست می‌آوریم:

$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$

حالا اتحاد آشنای $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$ به کمکمان می‌آید. با جایگزین کردن یکی از مربع‌ها، دو شکل دیگر همین رابطه به دست می‌آید:

$\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha-1$

$\cos 2\alpha=1-2\sin^2\alpha$

کدام شکل را انتخاب کنیم؟ اگر فقط کسینوس زاویه را می‌دانی، شکلِ شاملِ کسینوس مناسب‌تر است؛ اگر فقط سینوس را می‌دانی، شکلِ شاملِ سینوس.

این رابطه‌ها مسیر برگشت هم دارند: برای یافتن نسبت‌های زاویهٔ $22.5^\circ$ می‌توان از کسینوس زاویهٔ $45^\circ$ کمک گرفت، چون $2\times22.5^\circ=45^\circ$. پس از یافتن مربعِ نسبت، علامتِ خود نسبت را با توجه به ربع زاویه انتخاب می‌کنیم.