خلاصه درس فصل ۳ حسابان یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

از دوبرابرشدن تا فرمول

فرض کن توده‌ای باکتری داریم که جرمش در هر ساعت دو برابر می‌شود. آیا هر ساعت مقدار ثابتی به جرم آن اضافه می‌شود؟ نه؛ هر بار کل مقدار موجود در $2$ ضرب می‌شود.

اگر با $1$ گرم شروع کنیم، جرم در شروع و پایان ساعت‌های بعد به‌ترتیب $1، 2، 4، 8، \ldots$ گرم است. برای رسیدن به جرم پس از $t$ ساعتِ کامل، مقدار اولیه را $t$ بار در $2$ ضرب می‌کنیم؛ توان دقیقاً همین تکرار ضرب را نشان می‌دهد:

در این رابطه، $m(0)$ جرم اولیه و $t$ زمان برحسب ساعت است. اگر جرم اولیه $1$ گرم باشد، رابطه به $m(t)=2^t$ تبدیل می‌شود.

نکتهٔ مهم: دوبرابرشدن یعنی «ضرب در یک ضریب ثابت»، نه «اضافه‌کردن یک مقدار ثابت». درست مثل وقتی که در یک بازی، امتیازت در هر مرحله دو برابر می‌شود: هرچه امتیاز بیشتری داشته باشی، افزایش مرحلهٔ بعد هم بیشتر خواهد بود.

توان‌های حقیقی و نمودار

آیا در رابطهٔ $y=2^x$ فقط می‌توان عددهای صحیح را به جای $x$ گذاشت؟ نه! مثلاً $2^{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}$ و $2^{-1}=\frac{1}{2}$ هم معنا دارند. حتی عدد گنگی مثل $\sqrt{7}$ می‌تواند ورودی باشد. پس دامنهٔ تابع همهٔ اعداد حقیقی است: $D=\mathbb{R}$.

اما خروجی‌ها چه محدودیتی دارند؟ توان منفی، خروجی را منفی نمی‌کند؛ فقط مقدار را معکوس می‌کند. برای هر ورودی حقیقی، $2^x>0$ است. خروجی می‌تواند هر عدد مثبت باشد، ولی هرگز صفر یا منفی نمی‌شود؛ بنابراین برد تابع برابر است با $R=(0,+\infty)$.

روی نمودار، این یعنی همهٔ نقطه‌ها بالای محور افقی‌اند. هرچه $x$ منفی‌تر شود، نمودار به این محور نزدیک‌تر می‌شود، اما آن را قطع نمی‌کند؛ چون نقطه‌ای روی محور افقی باید خروجیِ صفر داشته باشد.

یادت باشد دامنهٔ یک رابطه با محدودیت‌های موقعیت واقعی فرق دارد: در مدل رشد باکتری، زمانِ پس از شروع را نامنفی می‌گیریم، ولی خودِ تابع $y=2^x$ برای ورودی‌های منفی هم تعریف شده است.

پایه و مقدار اولیه

در تابع نمایی، متغیر در توان قرار دارد؛ شکل اصلی آن $f(x)=a^x$ است. عدد ثابتِ $a$ را «پایه» می‌نامیم و باید $a>0$ و $a\ne1$ باشد. مثبت‌بودن پایه اجازه می‌دهد توان‌های حقیقی را به کار ببریم؛ پایهٔ $1$ هم کنار گذاشته می‌شود، چون همیشه خروجیِ ثابتِ $1$ می‌دهد.

حواست باشد: $3^x$ نمایی است، اما $x^3$ نمایی نیست؛ در دومی، متغیر پایه است، نه توان!

حالا اگر مقدار آغازین یک تودهٔ باکتری بیشتر باشد، مدل به صورت $m(t)=k\times2^t$ نوشته می‌شود. به‌طور کلی، $h(x)=ka^x$ با $k\ne0$ رفتار نمایی دارد. چون $a^0=1$، داریم:

$h(0)=k\times a^0=k$

پس ضریب بیرونِ توان، خروجی در ورودیِ صفر را تعیین می‌کند؛ در مدل‌های زمانی، این همان مقدار اولیه است. پایه و مقدار اولیه دو نقش متفاوت دارند: یکی داخل توان‌نویسی است و دیگری کل عبارت توانی را ضرب می‌کند.

رشد یا کاهش؟

در تابع $f(x)=a^x$، پایه تعیین می‌کند نمودار رو به بالا برود یا رو به پایین:

• اگر $a>1$ باشد، با افزایش $x$، مقدار تابع بیشتر می‌شود؛ پس تابع افزایشی است، مثل $2^x$.
• اگر $0<a<1$ باشد، با افزایش $x$، مقدار تابع کمتر می‌شود؛ پس تابع کاهشی است، مثل $\left(\frac12\right)^x$.

در هر دو حالت، دو ورودی متفاوت خروجی یکسان ندارند؛ بنابراین تابع یک‌به‌یک است. روی نمودار هم هر خط افقی، حداکثر یک نقطهٔ برخورد دارد.

نیمه‌عمر یعنی مدت‌زمانی که طول می‌کشد مقدار یک ماده به نصف مقدارِ ابتدای همان بازه برسد. در مدل کربن کتاب،

$Q(t)=10\left(\frac12\right)^{\frac{t}{5730}}$

هر بار که $5730$ سال می‌گذرد، مقدار کربن نصف می‌شود. دقت کن: در بازه‌های زمانی برابر، نسبتِ باقی‌مانده ثابت است، نه مقدارِ کم‌شده؛ درست مثل دارویی که در هر ساعت، درصد ثابتی از مقدار موجودش از بدن دفع می‌شود.

قوانین توان و مقایسه

قوانین توان فقط مخصوص توان‌های صحیح نیستند؛ برای توان‌های حقیقی هم می‌توانی از آن‌ها استفاده کنی. برای پایهٔ مثبت، قانون‌های مهم این‌ها هستند:

• ضربِ توان‌های هم‌پایه: $a^x a^y=a^{x+y}$
• تقسیمِ توان‌های هم‌پایه: $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$
• توانِ یک توان: $(a^x)^y=a^{xy}$
• توان منفی و صفر: $a^{-x}=\frac{1}{a^x}$ و $a^0=1$

برای مقایسه، اول پایه‌ها را یکسان کن. بعد به پایه نگاه کن: اگر $a>1$ باشد، ترتیب مقدارها با ترتیب توان‌ها یکسان است؛ اگر $0<a<1$ باشد، ترتیب برعکس می‌شود. در نامعادله هم همین قاعده راهنمای توست.

مثلاً در کاهش مقدار دارو، وقتی در هر ساعت کسری ثابت از مقدار قبلی باقی می‌ماند، زمان بیشتر به معنی مقدار کمتر است؛ پس بزرگ‌تر بودن توان همیشه به معنی بزرگ‌تر بودن خروجی نیست!

حواست باشد در ضرب، توان‌ها جمع می‌شوند، نه پایه‌ها؛ همچنین $a^{x+y}$ را نباید با $a^x+a^y$ یکی دانست.

مسیر برگشت تابع نمایی

تابع نمایی را مثل دستگاهی تصور کن که «زمان» می‌گیرد و «جرم باکتری‌ها» را می‌دهد. حالا اگر جرم را بدانیم و زمان را بخواهیم، باید مسیر دستگاه را برعکس برویم؛ این کارِ تابع وارون است.

در وارون، جای ورودی و خروجی عوض می‌شود. پس اگر نقطهٔ $(2,4)$ روی نمودار $f(x)=2^x$ باشد، نقطهٔ $(4,2)$ روی نمودار $f^{-1}$ است. جابه‌جایی مختصات، همان قرینه‌کردن نقطه نسبت به خط $y=x$ است.

این جابه‌جایی برای دامنه و برد هم رخ می‌دهد. تابع $f(x)=2^x$ هر عدد حقیقی را می‌پذیرد، اما فقط عدد مثبت تولید می‌کند؛ بنابراین:

• دامنهٔ $f$ برابر $\mathbb{R}$ و برد آن $(0,+\infty)$ است.
• دامنهٔ $f^{-1}$ برابر $(0,+\infty)$ و برد آن $\mathbb{R}$ است.

پس خروجی‌های مجازِ مسیر رفت، ورودی‌های مجازِ مسیر برگشت‌اند. حواست باشد: وارون تابع با معکوسِ مقدار آن، یعنی $\frac{1}{f(x)}$، فرق دارد!

لگاریتم و شرط‌های تعریف

مسیر برگشت تابع نمایی، نام مخصوصی دارد: تابع لگاریتمی. اگر تابع اصلی $y=a^x$ باشد، وارون آن را با $y=\log_a x$ نشان می‌دهیم و می‌خوانیم «لگاریتمِ $x$ در پایهٔ $a$».

برای استفاده از این تابع، دو چیز را جداگانه بررسی کن:

• پایه: باید $a>0$ و $a\ne1$ باشد. پایهٔ کسری، مثل $\frac{1}{3}$، مجاز است؛ اما پایهٔ منفی یا صفر مجاز نیست. پایهٔ $1$ هم کنار گذاشته می‌شود، چون تابع $y=1^x$ همیشه خروجی یکسان دارد و وارون‌پذیر نیست.
• ورودی: باید $x>0$ باشد؛ چون خروجی تابع نمایی همیشه مثبت است، ورودی تابع وارون آن هم فقط می‌تواند مثبت باشد. پس لگاریتمِ صفر و عددهای منفی در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود.

در مثال رشد باکتری‌ها، جرمِ مثبت را به تابع لگاریتمی می‌دهیم تا زمان را پیدا کنیم. دقت کن: مثبت بودن ورودی، شرط تعریف است؛ نه مثبت بودن جواب لگاریتم.

لگاریتم یعنی کدام توان؟

وقتی می‌بینی $\log_a x$، از خودت بپرس: «پایهٔ $a$ را به چه توانی برسانم تا $x$ به‌دست بیاید؟» پاسخ این پرسش، همان مقدار لگاریتم است. پس دو نوشتار زیر یک معنی دارند:

$y=\log_a x\quad\Longleftrightarrow\quad a^y=x$

در مسئلهٔ رشد باکتری‌ها هم جرم را می‌دانیم و دنبال زمان هستیم؛ یعنی در رابطهٔ نمایی، این بار توان مجهول است. لگاریتم نام همین توان را به ما می‌دهد، نه حاصل ضرب پایه در یک عدد!

توان موردنظر همیشه عدد صحیح مثبت نیست. اگر ورودی به شکل معکوسِ یک توان باشد، از رابطهٔ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ کمک می‌گیریم. اگر رادیکال داشته باشیم، می‌توانیم آن را با توان کسری بنویسیم؛ مثلاً $\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$.

بنابراین مسیر محاسبه روشن است: لگاریتم را یک مجهول بگیر، آن را به تساوی توانی تبدیل کن و توان لازم را پیدا کن.

دو نقطهٔ راهنما

برای شروع رسم نمودار لگاریتمی، لازم نیست جدول بزرگی بسازی؛ دو نقطهٔ مطمئن در اختیار داری!

برای هر پایهٔ مجاز، یعنی $a>0$ و $a\ne1$، می‌دانیم $a^0=1$. پس اگر بپرسیم «پایهٔ $a$ را به چه توانی برسانیم تا $1$ شود؟»، پاسخ صفر است؛ یعنی:

$\log_a1=0$

بنابراین نمودار همیشه از نقطهٔ $(1,0)$ می‌گذرد. دقت کن: ورودی برابر یک است و خروجی برابر صفر، نه برعکس.

از طرف دیگر، چون $a^1=a$، برای رسیدن به خود پایه، توان یک لازم است. پس:

$\log_aa=1$

یعنی نقطهٔ $(a,1)$ هم روی نمودار قرار دارد. این دو نقطه مثل دو نشانی روی نقشه‌اند: شکل کامل مسیر را نشان نمی‌دهند، اما کمک می‌کنند رسم نمودار را درست شروع کنی و جای آن را بررسی کنی.

پایه، جهت نمودار را تعیین می‌کند

آیا لگاریتمِ یک عدد مثبتِ کوچک‌تر از $1$ همیشه منفی است؟ پاسخ به پایه بستگی دارد!

اگر $a>1$ باشد، نمودار $y=\log_a x$ صعودی است؛ یعنی وقتی از چپ به راست روی نمودار حرکت می‌کنی، ارتفاع آن بیشتر می‌شود. چون نمودار از $(1,0)$ می‌گذرد، برای $0<x<1$ زیر محور افقی است و لگاریتم منفی می‌شود؛ برای $x>1$ بالای محور است و لگاریتم مثبت می‌شود.

اما اگر $0<a<1$ باشد، نمودار نزولی است: با افزایش ورودی، خروجی کاهش می‌یابد. در این حالت برای $0<x<1$ لگاریتم مثبت و برای $x>1$ منفی است؛ درست برعکس حالت قبل!

برای به‌خاطر سپردن جهت، به تابع نماییِ متناظر فکر کن: پایهٔ بزرگ‌تر از $1$ با افزایش توان، مقدار را بیشتر می‌کند؛ پایهٔ بین $0$ و $1$ آن را کمتر می‌کند. تابع لگاریتمیِ وارون هم همین جهت تغییر را حفظ می‌کند.

پس پیش از تشخیص علامت لگاریتم، هم جای پایه نسبت به $1$ و هم جای ورودی نسبت به $1$ را بررسی کن.

دو مقدار پایه‌ای

لگاریتم را مثل یک پرسش دربارهٔ توان بخوان: $\log_a b$ یعنی «پایهٔ $a$ را به چه توانی برسانیم تا $b$ به دست بیاید؟» برای مجازبودن پایه باید $a>0$ و $a\neq1$ باشد؛ عدد داخل لگاریتم هم باید مثبت باشد.

حالا اگر عدد داخل لگاریتم برابر $1$ باشد، دنبال توانی هستیم که حاصلش $1$ شود. چون هر پایهٔ مجاز به توان صفر برابر یک است، داریم:

$\log_a1=0$

اگر عدد داخل لگاریتم خودِ پایه باشد، چه؟ چون $a^1=a$، نتیجه می‌گیریم:

$\log_a a=1$

راه به‌خاطرسپردن: جواب لگاریتم، «توان» است، نه عدد داخل آن. پس دیدن $1$ داخل لگاریتم نباید تو را به جواب $1$ برساند؛ از خودت بپرس «کدام توان، این عدد را می‌سازد؟»

از ضرب به جمع

لگاریتم می‌تواند ضربِ داخل خودش را به جمعِ دو لگاریتم تبدیل کند؛ به شرط آنکه هر دو عدد مثبت باشند و پایه‌ها یکسان و مجاز باشند:

$\log_c(ab)=\log_c a+\log_c b$

در این رابطه، $a,b>0$ و $c>0$ و $c\neq1$ است.

چرا چنین رابطه‌ای داریم؟ فرض کن $x=\log_c a$ و $y=\log_c b$. طبق تعریف لگاریتم، یعنی $a=c^x$ و $b=c^y$. پس:

$ab=c^x\times c^y=c^{x+y}$

بنابراین توانی که پایهٔ $c$ را به $ab$ می‌رساند، برابر $x+y$ است؛ یعنی لگاریتمِ حاصل‌ضرب، مجموع لگاریتم‌هاست.

حواست به جای ضرب باشد: این ویژگی دربارهٔ ضربِ عددهای *داخل* لگاریتم است، نه ضربِ دو لگاریتم در یکدیگر. همچنین برای جمعِ داخل لگاریتم، چنین قاعده‌ای نداریم؛ پس $\log_c(a+b)$ را نمی‌توان به $\log_c a+\log_c b$ تبدیل کرد.

توان به ضریب تبدیل می‌شود

اگر عددِ داخل لگاریتم توان داشته باشد، می‌توانیم توان را بیرون بیاوریم و به ضریب تبدیل کنیم:

$\log_a(b^n)=n\log_a b$

شرط استفاده از این ویژگی این است که $a>0$، $a\neq1$ و $b>0$ باشد. این رابطه برای هر توان حقیقی $n$ برقرار است.

چرا چنین می‌شود؟ برای توانِ دوم، $b^2$ همان حاصل‌ضرب $b$ در خودش است. پس ویژگی ضرب می‌گوید:

$\log_a(b^2)=\log_a b+\log_a b=2\log_a b$

یعنی تکرارِ ضرب در داخل لگاریتم، به تکرارِ جمع در بیرون تبدیل می‌شود.

یک نتیجهٔ کاربردی هم داریم: چون $\log_a a=1$، پس $\log_a(a^n)=n$. این با تعریف لگاریتم هم سازگار است: پایهٔ $a$ را به چه توانی برسانیم تا $a^n$ شود؟ به توان $n$!

حواست به جای توان باشد: در $\log_a(b^n)$، عددِ داخل لگاریتم توان دارد؛ اما در $(\log_a b)^n$، خودِ مقدار لگاریتم به توان رسیده است. ویژگی بالا فقط دربارهٔ حالت اول است.

لگاریتمِ بدون پایه

اگر در یک عبارت، کنار نماد لگاریتم پایه‌ای ندیدی، پایه فراموش نشده است! طبق قرارداد، پایهٔ آن $10$ است؛ یعنی $\log b=\log_{10}b$. به این نوع لگاریتم، «لگاریتم اعشاری» می‌گوییم.

پس ویژگی‌های ضرب و توان که یاد گرفتی، برای این نماد هم برقرارند؛ فقط باید یادت باشد همهٔ لگاریتم‌ها در پایهٔ $10$ هستند. به‌ویژه، چون $10^1=10$، داریم $\log 10=1$.

این قرارداد کمک می‌کند از یک مقدار معلوم، مقدار تازه‌ای پیدا کنی. مثلاً اگر لگاریتم یکی از عامل‌های مثبتِ یک حاصل‌ضرب را بدانی و حاصل‌ضرب آن‌ها $10$ باشد، مجموع لگاریتم‌هایشان باید $1$ شود. بنابراین لازم نیست مقدار لگاریتمِ عامل دیگر را جداگانه با ماشین‌حساب پیدا کنی؛ می‌توانی آن را برحسب مقدار معلوم بنویسی.

دقت کن: نوشته‌نشدن پایه به معنی آزادبودن انتخاب پایه نیست؛ همیشه همان پایهٔ قراردادی است.

از تقسیم به تفریق

در ویژگی ضرب دیدی که ضربِ داخل لگاریتم به جمع تبدیل می‌شود. حالا برای تقسیم، به‌جای جمع، تفریق داریم؛ البته ترتیب صورت و مخرج مهم است:

$\log_c\frac{a}{b}=\log_c a-\log_c b$

این رابطه وقتی مجاز است که $a>0$، $b>0$، $c>0$ و $c\neq1$ باشد. یعنی لگاریتمِ صورت را می‌نویسیم و لگاریتمِ مخرج را از آن کم می‌کنیم؛ همه با همان پایه.

چرا چنین است؟ تقسیم را می‌توان به شکل ضرب در وارون نوشت: $\frac{a}{b}=a\times b^{-1}$. با استفاده از ویژگی‌های ضرب و توان داریم:

$\log_c(a\times b^{-1})=\log_c a+(-1)\log_c b$

پس همان تفاضل به دست می‌آید. دقت کن که این ویژگی دربارهٔ تقسیمِ داخل لگاریتم است، نه تقسیم دو لگاریتم؛ بنابراین نباید سمت راست را به شکل $\frac{\log_c a}{\log_c b}$ نوشت.

از برابری لگاریتم‌ها تا معادله

فرض کن دو نفر می‌گویند: «عدد $3$ را به توان‌هایی رساندیم و هر دو به یک عدد رسیدیم.» آیا توان‌هایشان می‌تواند متفاوت باشد؟ نه؛ چون تابع نمایی با پایهٔ معتبر، برای توان‌های متفاوت خروجی یکسان ندارد.

لگاریتم هم همین ارتباط را از جهت برعکس بیان می‌کند: $\log_a u$ یعنی توانی که باید به $a$ بدهیم تا $u$ به دست آید. پس اگر دو لگاریتم پایهٔ یکسان داشته باشند و برابر باشند، عبارت‌های داخلشان هم برابرند:

این رابطه با شرط‌های $a>0$، $a\ne1$ و $u,v>0$ به کار می‌رود. بنابراین، در معادله‌ای مانند $\log_3(x+2)=\log_3 7$، گام اصلی این است که بنویسیم $x+2=7$.

حواست باشد: این کار «حذف یک عامل مشترک» نیست؛ از ویژگی لگاریتم استفاده می‌کنیم. یکسان بودن پایه‌ها را پیش از برابر قرار دادن عبارت‌های داخل بررسی کن.

هر ریشه‌ای پذیرفتنی نیست

گاهی حل جبری یک معادلهٔ لگاریتمی، ریشه‌ای به ما می‌دهد که در معادلهٔ اصلی قابل استفاده نیست! دلیلش این است که لگاریتم در اعداد حقیقی فقط برای ورودیِ مثبت تعریف می‌شود؛ نه صفر و نه عدد منفی.

پس هر ریشه‌ای که پیدا می‌کنی، فعلاً یک «نامزد جواب» است. برای پذیرفتن آن، باید مقدار تمام عبارت‌های داخل لگاریتم‌های معادلهٔ اصلی را بررسی کنی. اگر حتی یکی از آن‌ها صفر یا منفی شود، آن ریشه کنار گذاشته می‌شود.

مثلاً اگر در معادله عبارت $\log_5(x-2)$ وجود داشته باشد، شرط آن $x-2>0$، یعنی $x>2$ است. دقت کن: لازم نیست خودِ مجهول همیشه مثبت باشد؛ عبارت داخل لگاریتم باید مثبت باشد.

روش مطمئن این است: ابتدا شرط مثبت‌بودن ورودی‌ها را بنویس، سپس ریشه‌های جبری را پیدا کن و در پایان، ریشه‌های مجاز را در معادلهٔ اصلی بیازما.

یک لگاریتم به جای چند عبارت

اگر یک طرف معادله چند عبارت لگاریتمی داشته باشد، چطور آن را با طرف دیگر مقایسه کنیم؟ راهش این است که عبارت‌ها را به یک لگاریتم تبدیل کنیم؛ البته پایه‌ها باید یکسان و معتبر باشند.

دو خاصیت به کمکمان می‌آیند:

• ضریبِ لگاریتم می‌تواند توانِ عبارت داخل آن شود: $k\log_a u=\log_a(u^k)$.
• تفاضلِ دو لگاریتم، لگاریتمِ خارج‌قسمت است: $\log_a u-\log_a v=\log_a\left(\frac{u}{v}\right)$.

در این رابطه‌ها باید $u,v>0$ و نیز $a>0$ و $a\ne1$ باشد.

مثلاً برای ساده‌کردن عبارت زیر، اول ضریب را به توان تبدیل می‌کنیم و بعد تفریق را به تقسیم:

شرط عبارت اولیه همچنان $x>0$ است؛ مثبت‌بودنِ $x^2$ اجازه نمی‌دهد مقدار منفی برای $x$ بپذیریم.

حالا اگر طرف دیگر معادله هم یک لگاریتم با همین پایه باشد، می‌توانیم عبارت‌های داخلشان را برابر بگذاریم. اشتباه رایج: تفریقِ لگاریتم‌ها به معنی تفریقِ عبارت‌های داخلشان نیست!

پیدا کردن زمان با لگاریتم

اگر مدل جمعیت را داشته باشیم، با جای‌گذاری سال می‌توانیم جمعیت آن سال را پیش‌بینی کنیم. اما اگر بپرسیم «جمعیت در چه سالی به مقدار مشخصی می‌رسد؟»، این بار مجهول در توان قرار دارد.

در مدل کتاب، جمعیت با تابع $g(x)=0.008(1.01376)^x$ برآورد می‌شود؛ $x$ خودِ سال میلادی است، نه تعداد سال‌های گذشته از آغاز جدول. برای یافتن سال رسیدن جمعیت به $8\times10^9$ نفر، ابتدا می‌نویسیم:

پس از جدا کردن عبارت نمایی، از دو طرف لگاریتم می‌گیریم. ابزار اصلی ما خاصیت زیر است:

این خاصیت، مجهول را از توان به یک ضریب تبدیل می‌کند؛ حالا می‌توان آن را با تقسیم به دست آورد. پس لگاریتم پلی است از «زمانِ پنهان در توان» به معادله‌ای ساده‌تر. یادت باشد سال به‌دست‌آمده پیش‌بینی مدل است، نه تضمینی دربارهٔ جمعیت واقعی.

پیدا کردن زمان با لگاریتم

فرض کن مدل رشد جمعیت را داری. اگر سال را بدانی، کافی است آن را در فرمول بگذاری؛ اما اگر جمعیتِ هدف را بدانی و دنبال سال باشی، مجهول در توان قرار می‌گیرد. اینجا لگاریتم به کمکمان می‌آید.

در مدل کتاب، جمعیت جهان در پایان سال $x$ با رابطهٔ زیر برآورد می‌شود:

برای پیدا کردن سال رسیدن جمعیت به مقدار دلخواهِ $P$، ابتدا می‌نویسیم:

سپس دو طرف را بر ضریب تقسیم می‌کنیم و لگاریتم می‌گیریم:

قانون $\log(a^x)=x\log a$، مجهول را از توان به ضریب تبدیل کرده است؛ حالا می‌توان $x$ را پیدا کرد.

دقت کن: در این مدل، $x$ خودِ سال تقویمی است، نه تعداد سال‌های گذشته از سال $1900$. همچنین نتیجه، پیش‌بینیِ مدل است، نه تضمینی دربارهٔ جمعیت واقعی.

ریشتر و انرژی زمین‌لرزه

وقتی می‌شنوی بزرگی یک زمین‌لرزه بیشتر از دیگری بوده، آیا انرژی آن هم به همان نسبت بیشتر است؟ مقیاس ریشتر لگاریتمی است، نه خطی. رابطهٔ کتاب میان بزرگی زمین‌لرزه و انرژی آزادشده چنین است:

$\log E=11.8+1.5M$

در این رابطه، $M$ بزرگی زمین‌لرزه و $E$ مقدار انرژی برحسب $\mathrm{Erg}$، یعنی «ارگ»، است. همچنین $\log$ لگاریتم در مبنای $10$ است. پس می‌توان همین رابطه را به شکل نمایی نوشت:

$E=10^{11.8+1.5M}$

به جایگاه $M$ دقت کن: بزرگی زمین‌لرزه در توان قرار دارد. بنابراین، اگر در خبرها بزرگی دو زمین‌لرزه را مقایسه می‌کنی، نباید نسبت این دو عدد را نسبت انرژی‌هایشان بدانی.

مثلاً با افزایش بزرگی به اندازهٔ $1$ واحد، لگاریتم انرژی به اندازهٔ $1.5$ افزایش می‌یابد؛ یعنی خود انرژی در $10^{1.5}$، حدود $32$، ضرب می‌شود! پس افزایش اندکی در عدد بزرگی می‌تواند با افزایش بسیار زیاد انرژی همراه باشد.

نیمه‌عمر و کاهش جرم

نیمه‌عمر یعنی مدت‌زمانی که طول می‌کشد جرم یک نمونه به نصف مقدار قبلی برسد. پس در هر نیمه‌عمر، نصفِ جرم باقی‌مانده را داریم؛ نه اینکه هر بار مقدار ثابتی از جرم اولیه کم شود.

اگر جرم اولیه $m_0$ و نیمه‌عمر $T$ باشد، در زمان $t$ تعداد نیمه‌عمرهای سپری‌شده برابر $\frac{t}{T}$ است. بنابراین:

$m(t)=m_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

دقت کن که $t$ و $T$ باید با یک واحد زمانی بیان شوند. این مدل فقط برای تعداد صحیح نیمه‌عمرها نیست؛ جرم را در زمان‌های بین آن‌ها هم برآورد می‌کند.

حالا اگر جرم هدف $m$ معلوم و زمان نامعلوم باشد، ابتدا دو طرف را بر جرم اولیه تقسیم می‌کنیم:

$\frac{m}{m_0}=\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}$

با لگاریتم گرفتن، مجهول از توان بیرون می‌آید:

$t=T\frac{\log(m/m_0)}{\log(1/2)}$

برای جرمی کمتر از جرم اولیه، هر دو لگاریتم منفی‌اند؛ پس زمان به‌درستی مثبت به دست می‌آید.