خلاصه درس فصل ۲ حسابان یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

ماشینِ ورودی و خروجی

فرض کن دستگاهی داریم که هر عددی به آن بدهیم، آن را دو برابر می‌کند. عددی که وارد دستگاه می‌کنیم ورودی است و عددی که دستگاه تحویل می‌دهد خروجی است. دستور «دو برابر کن» هم قاعدهٔ ماشین است.

تابع را هم می‌توان به همین شکل تصور کرد: ورودی وارد می‌شود، ماشین قاعده‌اش را اجرا می‌کند و خروجیِ متناظر به دست می‌آید. برای شناخت این ماشین، فقط دیدن ورودی کافی نیست؛ باید بدانیم ماشین با آن چه می‌کند.

مثلاً دستگاه محاسبهٔ قیمت یک کالا، تعداد سفارش را می‌گیرد و با توجه به قیمت ثابت هر عدد، مبلغ سفارش را تحویل می‌دهد. اینجا «تعداد سفارش» ورودی و «مبلغ سفارش» خروجی است؛ قاعدهٔ دستگاه هم ضرب تعداد در قیمت هر عدد است.

پس هنگام روبه‌رو شدن با یک ماشینِ تابع، سه چیز را از هم جدا کن: چه چیزی وارد می‌شود؟ چه دستوری اجرا می‌شود؟ چه چیزی بیرون می‌آید؟

قانونِ هر ورودی، یک خروجی

ماشین تابع فقط ورودی‌های مجازش را می‌پذیرد؛ مجموعهٔ این ورودی‌ها دامنه نام دارد. مجموعهٔ تمام خروجی‌هایی که واقعاً از ماشین به دست می‌آیند، برد است.

قانون مهم این است: هر ورودیِ مجاز باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد. یعنی ماشین نمی‌تواند برای یک ورودی، گاهی یک جواب و گاهی جواب دیگری بدهد. اما لازم نیست خروجیِ ورودی‌های متفاوت، حتماً متفاوت باشد!

مثلاً ماشینی را در نظر بگیر که عدد ورودی را به توان $2$ می‌رساند و دامنه‌اش $\{-2,0,2\}$ است. ورودی‌های $-2$ و $2$ هر دو خروجیِ $4$ می‌دهند و خروجیِ $0$ هم $0$ است. پس برد ماشین $\{0,4\}$ است؛ خروجیِ تکراری را در مجموعهٔ برد فقط یک‌بار می‌نویسیم.

این ماشین همچنان تابع است، چون برای هر ورودی به‌تنهایی، فقط یک خروجی مشخص دارد.

از دستور ماشین تا ضابطه

برای نوشتن دستور یک ماشین به زبان ریاضی، ورودی را با $x$ و خروجی را با $y$ نشان می‌دهیم. نوشتنِ $y=f(x)$ یعنی «خروجیِ تابع $f$ برای ورودیِ $x$ برابر با $y$ است»؛ $f(x)$ به معنی ضربِ $f$ در $x$ نیست.

ورودیِ $x$ را متغیر مستقل می‌نامیم، چون آن را از دامنه انتخاب می‌کنیم. خروجیِ $y$ متغیر وابسته است، چون مقدارش با ورودی و قاعدهٔ ماشین تعیین می‌شود.

حالا دستور «ورودی را سه برابر کن و سپس $5$ واحد اضافه کن» را به زبان جبر ترجمه کن: سه برابرِ ورودی می‌شود $3x$ و با افزودنِ $5$، ضابطهٔ ماشین به صورت $f(x)=3x+5$ نوشته می‌شود.

ترتیب کارها مهم است: دستور «اول $5$ واحد اضافه کن، سپس سه برابر کن» به صورت $f(x)=3(x+5)$ نوشته می‌شود؛ پرانتز نشان می‌دهد که جمع باید پیش از ضرب انجام شود.

برابری از روی نمودار

فرض کن نمودار دو تابع را روی دو ورق شفاف کشیده‌ای. اگر ورق‌ها را طوری روی هم بگذاری که محورهای مختصات دقیقاً منطبق شوند، چه زمانی می‌توانی بگویی دو تابع برابرند؟ وقتی تمام نمودارها روی هم بیفتند؛ نه اینکه فقط چند نقطهٔ مشترک داشته باشند.

هر نقطهٔ نمودار نشان می‌دهد که تابع به یک ورودی چه خروجی‌ای می‌دهد. پس اگر حتی یک نقطه روی یکی از نمودارها باشد و روی دیگری نباشد، آن دو تابع برابر نیستند.

مثلاً دو نمودار ممکن است همدیگر را قطع کنند. در محل برخورد، برای یک ورودی، خروجی یکسانی دارند؛ اما این فقط یک توافق است، نه برابری کامل! برای تشخیص برابری، باید کل نمودار را ببینی؛ حتی نقطه‌ای حذف‌شده یا بخشی اضافه هم مهم است.

زوج‌ها مهم‌اند، نه ترتیبشان

وقتی تابع را با مجموعه‌ای از زوج‌های مرتب نشان می‌دهیم، هر زوج مثل یک کارتِ «ورودی، خروجی» است. مثلاً $(1,2)$ می‌گوید ورودیِ $1$ به خروجیِ $2$ می‌رود.

برای مقایسهٔ دو تابع، ببین آیا هر زوجِ یکی، در دیگری هم وجود دارد یا نه. جای زوج‌ها در فهرست مهم نیست؛ درست مثل کارت‌هایی که با جابه‌جا کردنشان، محتوایشان تغییر نمی‌کند.

اما حواست باشد: ترتیب زوج‌ها در مجموعه با ترتیب دو عدد داخل هر زوج فرق دارد! جابه‌جا کردن جای دو زوج اشکالی ندارد، ولی $(1,2)$ و $(2,1)$ یکسان نیستند؛ اولی ورودیِ $1$ دارد و دومی ورودیِ $2$.

پس فقط دیدن عددهای یکسان کافی نیست؛ باید ارتباط هر ورودی با خروجی‌اش هم حفظ شده باشد. حالا با همین نگاه، تابع برابر را پیدا کن.

دو شرط برای برابری

برای تشخیص برابری دو تابع، این دو پرسش را به‌ترتیب بپرس:

• دامنه‌ها یکسان‌اند؟ اگر حتی یک ورودی فقط در دامنهٔ یکی باشد، تابع‌ها برابر نیستند.
• برای هر ورودی از این دامنه، خروجی‌ها یکسان‌اند؟ یکسان بودن خروجی در چند ورودی کافی نیست؛ این شرط باید برای همهٔ ورودی‌های دامنه برقرار باشد.

مثلاً دو دستگاه محاسبهٔ هزینه را تصور کن: یکسان بودن هزینه برای مشتری‌های مشترک کافی نیست؛ باید هر دو دستگاه دقیقاً همان مشتری‌ها را هم بپذیرند!

در تابع‌های $f(x)=\frac{x}{x}$ و $g(x)=1$، خروجی برای هر ورودی ناصفر برابر است؛ اما اولی در $x=0$ تعریف نمی‌شود و دومی تعریف می‌شود. پس برابر نیستند. ساده‌کردن ضابطه، ورودیِ ممنوع را مجاز نمی‌کند.

از طرف دیگر، ظاهر متفاوت ضابطه‌ها مانع برابری نیست: $\sqrt{x^2}=|x|$ برای هر عدد حقیقی برقرار است و هر دو ضابطه روی $\mathbb{R}$ تعریف می‌شوند؛ پس این دو تابع برابرند.

تابع گویا را بشناس

«گویا» در اینجا یعنی تابعی که ضابطه‌اش را می‌توان به شکل نسبت دو چندجمله‌ای نوشت:

$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

هم صورت و هم مخرج باید چندجمله‌ای باشند؛ یعنی توان‌های متغیر در آن‌ها عددهای صحیح نامنفی باشند. همچنین مخرج نباید چندجمله‌ایِ صفر باشد؛ یعنی نباید برای همهٔ ورودی‌ها صفر شود.

مثلاً در $f(x)=\frac{5}{x+2}$، صورت یک چندجمله‌ای ثابت و مخرج یک چندجمله‌ای درجهٔ اول است؛ پس تابع گویاست. حتی $g(x)=\frac{\sqrt{5}x+2}{x^3+1}$ هم گویاست، چون $\sqrt{5}$ فقط یک ضریب ثابت است. رادیکالی‌بودنِ ضریب، چندجمله‌ای‌بودن را به هم نمی‌زند؛ اما $\sqrt{x}$ چندجمله‌ای نیست.

یک نکتهٔ جالب: تابع چندجمله‌ای مثل $h(x)=x^2+3$ هم گویاست، چون می‌توان آن را به صورت $h(x)=\frac{x^2+3}{1}$ نوشت. پس برای تشخیص تابع گویا، فقط دنبال ظاهرِ کسری نباش!

یک ضابطه، دامنه‌های متفاوت

آیا ضابطهٔ یکسان، همیشه نمودار یکسان می‌سازد؟ نه؛ باید دامنه را هم بشناسیم. دامنه مشخص می‌کند چه ورودی‌هایی اجازه دارند وارد تابع شوند. هر نقطهٔ نمودار هم از یک ورودیِ مجاز و خروجیِ آن ساخته می‌شود.

ضابطهٔ $y=\frac{1}{x}$ را در نظر بگیر:

• اگر دامنه $\{1,2,3\}$ باشد، نمودار فقط سه نقطهٔ $(1,1)$، $(2,\frac{1}{2})$ و $(3,\frac{1}{3})$ دارد؛ این نقطه‌ها را به هم وصل نمی‌کنیم.
• اگر دامنه اعداد حقیقیِ مثبت باشد، همهٔ ورودی‌های مثبت، حتی عددهای بین این سه عدد، مجازند؛ پس نمودار یک شاخهٔ پیوسته در ربع اول دارد.
• اگر دامنه $\mathbb{R}-\{0\}$ باشد، ورودی‌های منفی هم مجازند و نمودار شاخه‌ای در ربع سوم نیز دارد.

پس محدودکردن دامنه، نقطه‌های مربوط به ورودی‌های حذف‌شده را از نمودار کنار می‌گذارد؛ اما خروجیِ ورودی‌هایی که باقی مانده‌اند تغییر نمی‌کند.

مخرج نباید صفر شود

برای پیدا کردن دامنهٔ تابع گویا، اول سراغ مخرج برو. تقسیم بر صفر تعریف نشده است؛ پس هر ورودی‌ای که مخرج را صفر کند، نمی‌تواند عضو دامنه باشد. اگر محدودیت دیگری مشخص نشده باشد، بقیهٔ عددهای حقیقی مجازند.

راه کار این است: مخرج را برابر صفر قرار بده، ریشه‌های آن را پیدا کن و آن‌ها را از مجموعهٔ اعداد حقیقی کنار بگذار. دامنه را با $D_f$ نشان می‌دهیم.

حواست باشد صفر شدن صورت به‌تنهایی ممنوع نیست؛ اگر مخرج صفر نباشد، مقدار تابع فقط صفر می‌شود. همچنین اگر عاملی از صورت و مخرج ساده شد، ورودی‌ای که مخرجِ عبارت اولیه را صفر می‌کرد، همچنان از دامنه حذف است؛ ساده‌کردن، آن ورودی را مجاز نمی‌کند.

پس معیار ما ظاهر ساده‌شدهٔ کسر نیست؛ باید ببینیم ضابطهٔ اولیه برای کدام ورودی‌ها تعریف شده است.

ریشهٔ دوم، یک خروجی نامنفی

اگر مساحت یک مربع را بدانی، طول ضلعش را چطور پیدا می‌کنی؟ تابع $y=\sqrt{x}$ شبیه همین کار را انجام می‌دهد: یک عدد نامنفی می‌گیرد و ریشهٔ دوم نامنفی آن را برمی‌گرداند.

نکتهٔ مهم این است که معادلهٔ $y^2=9$ دو پاسخ $3$ و $-3$ دارد، اما عبارت $\sqrt{9}$ فقط برابر $3$ است. علامت رادیکال، خروجی منفی را انتخاب نمی‌کند؛ درست مثل طول ضلع مربع که منفی نیست.

در مجموعهٔ اعداد حقیقی، نمی‌توان از عدد منفی ریشهٔ دوم گرفت؛ پس ورودی‌های مجاز تابع، همهٔ عددهای نامنفی‌اند. از طرف دیگر، خروجی‌ها هم نامنفی‌اند و هر عدد نامنفی می‌تواند خروجی باشد. بنابراین:

• دامنه: $[0,+\infty)$
• برد: $[0,+\infty)$

نمودار از مبدأ شروع می‌شود و به سمت راست و بالا ادامه می‌یابد؛ هیچ بخشی از آن زیر محور افقی نیست.

جابه‌جایی نمودار ریشهٔ دوم

نمودار $y=\sqrt{x}$ را روی یک برگهٔ شفاف تصور کن؛ می‌توانی آن را بدون تغییر شکل، بالا و پایین یا چپ و راست ببری. نقطهٔ آغاز آن $(0,0)$ است.

عدد بیرون رادیکال، خروجی‌ها را تغییر می‌دهد:

• نمودار $y=\sqrt{x}+3$ به‌اندازهٔ $3$ واحد بالا می‌رود؛ آغازش $(0,3)$، دامنه‌اش $[0,+\infty)$ و بردش $[3,+\infty)$ است.
• نمودار $y=\sqrt{x}-3$ به‌اندازهٔ $3$ واحد پایین می‌آید؛ آغازش $(0,-3)$ و بردش $[-3,+\infty)$ است؛ دامنه تغییر نمی‌کند.

عدد داخل رادیکال، جای افقی نمودار را تغییر می‌دهد:

• نمودار $y=\sqrt{x-3}$ به‌اندازهٔ $3$ واحد به راست می‌رود؛ آغازش $(3,0)$ و دامنه‌اش $[3,+\infty)$ است.
• نمودار $y=\sqrt{x+3}$ به‌اندازهٔ $3$ واحد به چپ می‌رود؛ آغازش $(-3,0)$ و دامنه‌اش $[-3,+\infty)$ است.

برد هر دو نمودار اخیر $[0,+\infty)$ می‌ماند. برای اشتباه نکردن در جهت انتقال افقی، بپرس: «زیر رادیکال کجا صفر می‌شود؟» در این نمودارها از نقطهٔ آغاز به سمت راست و بالا حرکت می‌کنیم؛ پس همان نقطه، کران پایین دامنه و برد را نشان می‌دهد.

شرط زیر رادیکال

قبل از رسم نمودار، باید بدانیم چه ورودی‌هایی مجازند. در اعداد حقیقی، عبارت زیر ریشهٔ دوم باید نامنفی باشد؛ یعنی مثبت یا صفر، نه فقط مثبت!

برای تابع $f(x)=\sqrt{3x-5}$، شرط ورود این است:

$3x-5\geq0\quad\Longrightarrow\quad x\geq\frac{5}{3}$

پس دامنه برابر است با $[\frac{5}{3},+\infty)$. سرِ بازه بسته است، چون ریشهٔ دومِ صفر هم تعریف می‌شود.

برای نقطه‌یابی، لازم نیست ورودی‌ها را تصادفی انتخاب کنیم. بهتر است عبارت زیر رادیکال را برابر مربع‌های کامل، مانند $0$، $1$، $4$ و $9$ بگذاریم تا خروجی‌ها ساده شوند. مثلاً با انتخاب $x=3$، عبارت زیر رادیکال $4$ و خروجی $2$ می‌شود؛ پس نقطهٔ $(3,2)$ روی نمودار است.

نمودار از نقطهٔ $(\frac{5}{3},0)$ آغاز می‌شود و به سمت راست و بالا ادامه پیدا می‌کند. چون عبارت $3x-5$ همهٔ مقدارهای نامنفی را می‌گیرد، خروجی نیز هر عدد نامنفی می‌تواند باشد؛ پس برد $[0,+\infty)$ است.

دامنه در دنیای واقعی

آیا هر عددی که بتوانیم در یک فرمول بگذاریم، در دنیای واقعی هم معنی دارد؟ همیشه نه! مدل تقریبی قد کودکان در کتاب، $f(x)=7\sqrt{x}+50$ است؛ در آن $x$ سن کودک برحسب ماه و خروجی، قد برحسب $\text{سانتی‌متر}$ است. این مدل فقط از تولد تا $60$ ماهگی معرفی شده است.

از نظر ریاضی، رادیکال برای هر $x\geq0$ تعریف می‌شود؛ اما دامنهٔ مدل واقعی فقط $[0,60]$ است. مثلاً می‌توان عدد $100$ را در فرمول گذاشت، ولی نمی‌توان نتیجه را پیش‌بینی معتبر این مدل برای قد کودک دانست.

محدود شدن دامنه، برد را هم محدود می‌کند. چون با افزایش سن، مقدار این فرمول افزایش می‌یابد، کمترین و بیشترین خروجی در دو سر بازه‌اند. بنابراین برد مدل $[50,50+7\sqrt{60}]$، یعنی تقریباً از $50$ تا $104.2$ برحسب $\text{سانتی‌متر}$ است.

پس در مسائل واقعی، هم شرط ریاضی فرمول را بررسی کن و هم محدودهٔ کاربرد مدل را.

هر معادله‌ای تابع نیست

معادله می‌تواند رابطه‌ای بین $x$ و $y$ نشان دهد؛ اما برای اینکه $y$ تابعی از $x$ باشد، هر ورودیِ مجاز باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد. مثل دستگاهی که با دریافت یک ورودی مشخص، یک پاسخ مشخص می‌دهد.

در معادلهٔ $y+x^2=4$، با جدا کردن $y$ داریم $y=4-x^2$. هر مقدار $x$ فقط یک مقدار برای $y$ تعیین می‌کند؛ پس این رابطه یک تابع است.

اما در معادلهٔ $x-y^2=4$، داریم $y^2=x-4$. برای هر $x>4$، دو مقدار قرینه برای $y$ به دست می‌آید. بنابراین $y$ تابعی از $x$ نیست؛ حتی اگر در ورودی $x=4$ فقط یک خروجی داشته باشد!

فرق مهم: نماد $\sqrt{x-4}$ فقط ریشهٔ نامنفی را نشان می‌دهد؛ ولی حل معادلهٔ $y^2=x-4$ ممکن است هر دو مقدار مثبت و منفی را شامل شود. پس دیدن یک معادله کافی نیست؛ باید یکتایی خروجی را بررسی کنیم.

هزینه‌هایی که پله‌پله عوض می‌شوند

اگر کمی به وزن بستهٔ پستی اضافه کنی، آیا هزینه حتماً بیشتر می‌شود؟ نه! تا وقتی وزن در همان بازهٔ تعرفه بماند، هزینه ثابت است. تابع پله‌ای همین رفتار را دارد: روی هر بازه ثابت می‌ماند و نمودارش از پاره‌خط‌های افقی ساخته می‌شود.

در جدول پست، اگر وزن بسته برحسب کیلوگرم در بازهٔ $0<x\le2$ باشد، هزینهٔ ارسال $5$ هزار تومان است؛ در بازهٔ $2<x\le5$، هزینه $10$ هزار تومان می‌شود.

برای خواندن ضابطه، اول بازه‌ای را پیدا کن که ورودی در آن قرار دارد؛ سپس مقدار ثابت همان بازه را بخوان. علامت‌های مرزی مهم‌اند: وزن دقیقاً $2$ کیلوگرم در بازهٔ اول است، نه دوم.

برای رسم نمودار، روی هر بازه یک پاره‌خط افقی در ارتفاع هزینه بکش. سرِ شامل‌شده با علامت $\le$ را با نقطهٔ توپر و سرِ شامل‌نشده با علامت $<$ را با نقطهٔ توخالی نشان بده. بنابراین پلهٔ اول از سمت چپ توخالی و از سمت راست توپر است.

جزء صحیح؛ مراقب منفی‌ها باش!

اگر عددی بین دو عدد صحیح باشد، جزء صحیحش کدام است؟ عدد صحیحِ سمت چپ روی محور؛ نه لزوماً نزدیک‌ترین عدد صحیح!

جزء صحیحِ $x$ را با $[x]$ نشان می‌دهیم. برای پیدا کردن آن، بزرگ‌ترین عدد صحیحی را انتخاب می‌کنیم که از خودِ $x$ بیشتر نباشد؛ یعنی $[x]\le x$.

برای عدد مثبت، کار آشناست: چون $3\le 3.49<4$، داریم $[3.49]=3$. اما برای عدد منفی دقت کن: عدد $-2.8$ بین $-3$ و $-2$ است. عدد $-2$ از آن بزرگ‌تر است و نمی‌تواند جزء صحیحش باشد؛ پس $[-2.8]=-3$.

بنابراین، جزء صحیح گرفتن با حذف قسمت اعشاری یا گرد کردن فرق دارد. روی محور، از جای عدد به سمت چپ برو تا به اولین عدد صحیح برسی. اگر خودِ عدد صحیح باشد، همان‌جا می‌مانی؛ مثلاً $[-4]=-4$.

پله‌های تابع جزء صحیح

حالا جزء صحیح را به‌صورت یک تابع ببینیم: هر عدد حقیقی را وارد می‌کنی و جزء صحیح آن را تحویل می‌گیری؛ یعنی $f(x)=[x]$.

برای شناخت نمودار، عدد صحیح دلخواهی مثل $n$ را در نظر بگیر. هرگاه $n\le x<n+1$ باشد، بزرگ‌ترین عدد صحیحی که از $x$ بیشتر نیست، همان $n$ است. پس:

$[x]=n\qquad x\in[n,n+1),\quad n\in\mathbb{Z}$

بنابراین نمودار از پاره‌خط‌های افقی با طول $1$ تشکیل می‌شود. سرِ چپ هر پله توپر و سرِ راست آن توخالی است؛ چون ابتدای بازه به همان پله تعلق دارد، اما انتهای آن وارد پلهٔ بعدی می‌شود. این الگو در سمت منفی محور هم برقرار است.

برای هر عدد حقیقی می‌توان جزء صحیح پیدا کرد؛ پس دامنه $D_f=\mathbb{R}$ است. خروجی‌ها فقط عددهای صحیح‌اند و هر عدد صحیح هم خروجی تابع می‌شود؛ پس برد $R_f=\mathbb{Z}$ است. حواست باشد: افقی بودن هر پله به معنی ثابت بودن تابع روی تمام دامنه نیست!

وقتی داخل جزء صحیح تغییر می‌کند

در تابع $f(x)=[2x]$، اول ورودی در $2$ ضرب می‌شود و بعد جزء صحیح می‌گیریم؛ پس نباید آن را با $2[x]$ یکی بدانیم.

برای پیدا کردن پله‌ای با ارتفاع $n$، باید عبارتِ داخل جزء صحیح بین $n$ و $n+1$ باشد:

$n\le 2x<n+1$

با تقسیم همهٔ طرف‌ها بر $2$ به دست می‌آید:

$\frac{n}{2}\le x<\frac{n+1}{2}$

بنابراین عرض هر پله $\frac{1}{2}$ است؛ یعنی نسبت به نمودار $y=[x]$، پله‌ها باریک‌ترند. هر پله در سمت چپ نقطهٔ پر و در سمت راست نقطهٔ توخالی دارد.

حواست به انتهای دامنه باشد! اگر دامنهٔ رسم $[-1,2]$ باشد، پلهٔ آخر پیش از انتهای دامنه روی بازهٔ $\frac{3}{2}\le x<2$ قرار می‌گیرد و ارتفاعش $3$ است؛ اما خودِ $x=2$ در این بازه نیست. چون انتهای دامنه بسته است، باید مقدار $f(2)=[4]=4$ را جداگانه حساب کنیم و نقطهٔ پرِ $(2,4)$ را هم بگذاریم.

برگشتن از خروجی به ورودی

فرض کن طول ضلع یک مربع را می‌دانی و مساحتش را پیدا می‌کنی. اگر طول ضلع $3$ باشد، مساحت $9$ می‌شود؛ پس این ارتباط را با زوج مرتب $(3,9)$ نشان می‌دهیم. مؤلفهٔ اول ورودی و مؤلفهٔ دوم خروجی است.

حالا مسیر را برعکس کن: مساحت را داری و می‌خواهی به طول ضلع برگردی. زوج مرتبِ مسیر برگشت $(9,3)$ است. این جابه‌جایی، پایهٔ ساختن وارون یک رابطه است.

برای ساختن وارون، جای دو مؤلفه را در تک‌تک زوج‌های مرتب عوض می‌کنیم؛ نه اینکه فقط ترتیب نوشتن زوج‌ها را تغییر بدهیم. مثلاً زوج $(2,4)$ در رابطهٔ اولیه، در وارون به $(4,2)$ تبدیل می‌شود.

وارون تابع $f$ را با نماد $f^{-1}$ نشان می‌دهیم. دقت کن: این نماد به معنی $\frac{1}{f}$ نیست؛ اینجا دربارهٔ جابه‌جایی ورودی و خروجی صحبت می‌کنیم.

آیا وارون هم تابع است؟

جابه‌جا کردن مؤلفه‌های زوج‌های مرتب همیشه یک رابطهٔ وارون می‌سازد؛ اما آیا این رابطه حتماً تابع است؟ برای پاسخ، همان قانون آشنای تابع را بررسی کن: هر ورودی باید دقیقاً یک خروجی داشته باشد.

مثلاً اگر رابطه‌ای عددهای $-2$ و $2$ را هر دو به $4$ بفرستد، در وارون آن، ورودیِ $4$ به دو خروجیِ $-2$ و $2$ می‌رسد. پس این وارون، تابع نیست؛ چون نمی‌تواند برای ورودیِ $4$ یک پاسخ مشخص بدهد.

اما از مساحت یک مربع می‌توان به طول ضلع آن برگشت؛ چون طول ضلع مثبت است، دو پاسخ مثبت و منفی نداریم.

اگر وارونِ تابع $f$ خودش تابع باشد، می‌گوییم $f$ وارون‌پذیر است و $f^{-1}$ را «تابع وارون» آن می‌نامیم. حواست باشد: نماد $f^{-1}$ به معنی $\frac{1}{f}$ نیست؛ اینجا منظور، برگشتن از خروجی به ورودی است.

یک‌به‌یک؛ شرط وارون‌پذیری

فرض کن هر دانش‌آموز مدرسه یک کد مخصوص خودش دارد. با دیدن کد، فقط یک دانش‌آموز را پیدا می‌کنی. اما اگر دو دانش‌آموز کد مشترک داشته باشند، دیگر از روی کد نمی‌توانی صاحب آن را مشخص کنی.

تابع یک‌به‌یک هم همین ویژگی را دارد: ورودی‌های متفاوت، خروجی‌های متفاوت دارند. برای بررسی آن در یک نمودار پیکانی، ببین آیا دو پیکان از دو ورودی مختلف به یک خروجی رسیده‌اند یا نه. اگر چنین اتفاقی بیفتد، تابع یک‌به‌یک نیست.

مثلاً در رابطهٔ $f=\{(1,5),(2,10),(3,15)\}$ هیچ خروجی‌ای تکرار نشده است؛ پس تابع یک‌به‌یک است. هنگام برگشتن از هر خروجی، فقط به یک ورودی می‌رسیم؛ بنابراین وارون هم تابع است.

نتیجه: یک تابع دقیقاً زمانی وارون‌پذیر است که یک‌به‌یک باشد. مهم، متفاوت بودن خروجی‌ها برای ورودی‌های متفاوت است؛ نه بزرگ‌تر بودن خروجی از ورودی.

ورودی متفاوت، خروجی متفاوت

اگر ماشینِ مربع‌کردن، خروجی $9$ بدهد، ورودی می‌تواند $3$ یا $-3$ باشد. پس از روی خروجی نمی‌توانیم ورودی را با اطمینان پیدا کنیم؛ دو ورودی متفاوت به یک خروجی رسیده‌اند.

در تابع یک‌به‌یک چنین اتفاقی نمی‌افتد: هر دو ورودی متفاوت، خروجی‌های متفاوت دارند. بنابراین هر خروجیِ موجود در برد، فقط به یک ورودی مربوط است و مسیر برگشت مبهم نیست. به همین دلیل، تابع یک‌به‌یک وارون‌پذیر است.

برای تصور بهتر، به نسبت‌دادن کد ملی به اعضای یک کلاس فکر کن. هر فرد یک کد ملی دارد و دو فرد متفاوت، کد ملی یکسان ندارند؛ پس این تابع یک‌به‌یک است. اما نسبت‌دادن ماه تولد به افراد، اگر دو نفر هم‌ماه باشند، یک‌به‌یک نیست.

حواست باشد: «تابع بودن» فقط می‌خواهد هر ورودی یک خروجی داشته باشد؛ «یک‌به‌یک بودن» علاوه بر آن می‌خواهد خروجیِ ورودی‌های متفاوت تکرار نشود.

آزمون خط افقی

اگر به‌جای فهرست ورودی‌ها و خروجی‌ها، نمودار تابع را داشته باشیم، چطور یک‌به‌یک بودن را تشخیص بدهیم؟ کافی است خط‌های افقی را در نظر بگیریم؛ یعنی خط‌هایی موازی محور $x$ها.

روی هر خط افقی، مقدار $y$ ثابت است. پس اگر یک خط افقی نمودار را در دو نقطه قطع کند، دو ورودی متفاوت پیدا کرده‌ایم که خروجی یکسان دارند؛ در نتیجه تابع یک‌به‌یک نیست.

مثلاً نمودار دمای یک اتاق در طول روز را تصور کن. اگر خط افقیِ مربوط به یک دمای مشخص، نمودار را در دو نقطه قطع کند، یعنی اتاق در دو زمان متفاوت همان دما را داشته است. پس تابع دما برحسب زمان، در آن بازه یک‌به‌یک نیست.

معیار اصلی: هر خط افقی باید نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند. «حداکثر یک نقطه» یعنی صفر یا یک نقطه؛ لازم نیست همهٔ خط‌های افقی حتماً به نمودار برسند!

دامنه را محدود کن

اگر تابعی یک‌به‌یک نباشد، همیشه لازم نیست ضابطه‌اش را عوض کنیم؛ گاهی کافی است فقط بخشی از دامنه را نگه داریم تا خروجی تکراری نداشته باشیم.

مثلاً نمودار $y=|x+3|$ شکلی شبیه حرف V دارد و رأس آن در $x=-3$ است. وقتی هر دو شاخه را نگه داریم، بعضی خط‌های افقی نمودار را در دو نقطه قطع می‌کنند؛ یعنی دو ورودی متفاوت، خروجی یکسان دارند.

حالا دامنه را به $x\geq -3$ محدود کن. فقط شاخهٔ سمت راست، همراه با رأس، باقی می‌ماند. روی این شاخه، با افزایش ورودی، خروجی هم افزایش می‌یابد؛ پس هیچ خروجی‌ای تکرار نمی‌شود و تابع جدید یک‌به‌یک است. نگه داشتن شاخهٔ سمت چپ، یعنی دامنهٔ $x\leq -3$، هم انتخاب مناسبی است.

نکته: هر محدودکردنی کافی نیست؛ بخش باقی‌مانده باید آزمون خط افقی را بگذراند. ضابطه همان است، اما چون ورودی‌های مجاز تغییر کرده‌اند، تابع جدیدی ساخته‌ایم.

وارون؛ مسیر برگشت

تابع را مثل ماشینی در نظر بگیر که ورودی را به خروجی تبدیل می‌کند. تابع وارون، مسیر همین ماشین را برعکس می‌رود: خروجی تابع اصلی را می‌گیرد و ورودی متناظر با آن را برمی‌گرداند.

اگر تابع $f$ یک‌به‌یک باشد، هر خروجی آن فقط از یک ورودی به دست آمده است؛ پس در مسیر برگشت، بین چند ورودی مردد نمی‌شویم. درست مثل پیدا کردن یک دانش‌آموز از روی کد ملی او: هر کد، ما را به یک فرد مشخص برمی‌گرداند.

وارون تابع $f$ را با $f^{-1}$ نشان می‌دهیم. رابطهٔ رفت‌وبرگشت این است:

بنابراین دامنهٔ وارون، برد تابع اصلی است؛ چون وارون باید خروجی‌های تابع اصلی را دریافت کند. برد وارون هم دامنهٔ تابع اصلی است. دقت کن که نماد $f^{-1}$ به معنی تابع وارون است، نه کسر $\frac{1}{f}$.

وارون؛ مسیر برگشت

فرض کن دستگاهی عدد ورودی را دو برابر می‌کند و بعد $5$ واحد به آن می‌افزاید. اگر ورودی $3$ باشد، خروجی $11$ می‌شود. برای برگشتن از خروجی به ورودی، باید کارها را با ترتیب برعکس انجام دهیم: اول $5$ واحد کم کنیم و بعد بر $2$ تقسیم کنیم.

تابع وارون همین مسیر برگشت است؛ پس اگر $f(3)=11$، آن‌وقت $f^{-1}(11)=3$. دقت کن که نماد $f^{-1}$ به معنی وارون تابع است، نه معکوسِ عددِ خروجی یعنی $\frac{1}{f(x)}$.

حالا به ورودی‌ها و خروجی‌های مجاز فکر کن: هر خروجی تابع اصلی، یک ورودی برای وارون است؛ پس دامنهٔ وارون، همان برد تابع اصلی است. همچنین خروجی‌های وارون، ورودی‌های تابع اصلی‌اند؛ بنابراین:

$D_{f^{-1}}=R_f \qquad R_{f^{-1}}=D_f$

این برگشت وقتی تابع است که $f$ یک‌به‌یک باشد؛ وگرنه ممکن است یک خروجی به چند ورودی برگردد و پاسخ یکتایی نداشته باشیم.

از رابطه تا ضابطهٔ وارون

برای پیدا کردن ضابطهٔ وارون یک تابع یک‌به‌یک، باید ورودی قبلی را برحسب خروجی قبلی پیدا کنیم. مثل وقتی که می‌دانی دستگاهی با یک عدد چه کرده و می‌خواهی مسیرش را برعکس بروی.

از رابطهٔ $y=f(x)$ شروع کن. با انجام عمل‌های مناسب در دو طرف تساوی، $x$ را تنها کن تا برحسب $y$ نوشته شود. حالا عبارتی که به دست آمده، همان $f^{-1}(y)$ است؛ چون خروجی قبلی، یعنی $y$، را می‌گیرد و ورودی قبلی، یعنی $x$، را برمی‌گرداند.

در پایان فقط نام ورودی را عوض کن: اگر ضابطه را به شکل $f^{-1}(y)$ نوشته‌ای، می‌توانی نام متغیر آن را به $x$ تغییر دهی و آن را به صورت $f^{-1}(x)$ بنویسی. این تغییر نام، محاسبهٔ تازه‌ای نیست و تابع را عوض نمی‌کند.

یادت باشد $f^{-1}(x)$ به معنی وارون تابع است، نه کسر $\frac{1}{f(x)}$.

وارون در آینهٔ نمودار

فرض کن نمودار یک تابع یک‌به‌یک را داری، اما ضابطه‌اش را نمی‌دانی. آیا باز هم می‌توانی نمودار وارونش را رسم کنی؟ بله؛ کافی است جای ورودی و خروجی هر نقطه را عوض کنی.

اگر نقطهٔ $(a,b)$ روی نمودار $f$ باشد، یعنی $f(a)=b$. تابع وارون مسیر را برمی‌گردد، پس $f^{-1}(b)=a$؛ بنابراین نقطهٔ $(b,a)$ روی نمودار وارون قرار می‌گیرد.

این جابه‌جایی مختصات، همان قرینه‌کردن نسبت به خط $y=x$ است. این خط را مثل یک آینه در نظر بگیر: تصویر نمودار تابع در این آینه، نمودار وارون آن است؛ نه قرینهٔ آن نسبت به محور افقی یا عمودی!

برای رسم، ابتدا خط $y=x$ را کم‌رنگ بکش. سپس چند نقطهٔ مشخص از نمودار اصلی انتخاب کن، مختصاتشان را جابه‌جا کن و شکل قرینه را رسم کن. نقطه‌هایی که روی خود خط $y=x$ هستند، با این جابه‌جایی سر جای خود می‌مانند؛ چون دو مختصه‌شان برابر است.

انتخاب دامنه، انتخاب شاخه

تابع $f(x)=x^2$ روی همهٔ عددهای حقیقی یک‌به‌یک نیست؛ چون دو ورودیِ قرینه، خروجی یکسان دارند. پس از روی خروجی نمی‌توان فهمید ورودی کدام بوده است. محدود کردن دامنه می‌تواند این ابهام را از بین ببرد: اگر فقط ورودی‌های نامنفی یا فقط ورودی‌های نامثبت را نگه داریم، تابع یک‌به‌یک می‌شود.

مثلاً مساحت مربع از روی طول ضلع به‌دست می‌آید. هنگام برگشت از مساحت به طول ضلع، مقدار منفی را انتخاب نمی‌کنیم؛ چون طول ضلع منفی نیست. در محاسبهٔ وارون هم دامنه تعیین می‌کند کدام شاخه مجاز است.

وقتی از رابطهٔ $y=x^2$ به $x=\pm\sqrt{y}$ می‌رسیم، نباید هر دو علامت را در ضابطهٔ وارون نگه داریم. اگر دامنهٔ تابع اصلی $[0,+\infty)$ باشد، شاخهٔ نامنفی را انتخاب می‌کنیم؛ اگر دامنه $(-\infty,0]$ باشد، شاخهٔ نامثبت را.

معیار انتخاب شاخه: خروجی وارون باید در دامنهٔ تابع اصلی قرار بگیرد. در عبارت‌های انتقال‌یافته نیز علامتِ عبارت زیر توان را از روی همین دامنه بررسی می‌کنیم.

یک ورودی، جمع دو خروجی

از لحظهٔ دیدن مانع تا توقف خودرو، دو مسافت طی می‌شود: مسافتِ زمان عکس‌العمل راننده و مسافتِ پس از ترمز گرفتن. برای یافتن فاصلهٔ کامل، باید این دو مسافت را در یک سرعت یکسان جمع کنیم، نه در دو سرعت متفاوت.

اگر این مسافت‌ها را تابع‌های $f(x)$ و $g(x)$ بدهند، تابع مجموع چنین است:

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

یعنی ورودیِ $x$ را به هر دو تابع می‌دهیم و سپس خروجی‌ها را جمع می‌کنیم. نماد $f+g$ نام تابع جدید است و $(f+g)(x)$ خروجی آن برای ورودیِ $x$ است.

اما اگر یکی از تابع‌ها برای ورودی انتخاب‌شده خروجی نداشته باشد، جمع هم تعریف نمی‌شود. پس فقط ورودی‌هایی مجازند که در دامنهٔ هر دو تابع باشند:

$D_{f+g}=D_f\cap D_g$

علامت $\cap$ یعنی اشتراک؛ همان بخش مشترک دو مجموعه. همچنین، در مسئله‌های واقعی باید محدودیت موقعیت را هم در نظر بگیریم؛ مثلاً سرعت خودرو منفی نیست.

تفاضل، ضرب و شرط تقسیم

برای تفاضل و ضرب دو تابع هم، مثل جمع، ورودی را ثابت نگه می‌داریم و عمل را روی خروجی‌ها انجام می‌دهیم:

$(f-g)(x)=f(x)-g(x)$

$(fg)(x)=f(x)g(x)$

در هر دو حالت، ورودی باید در دامنهٔ هر دو تابع باشد؛ پس دامنهٔ حاصل، $D_f\cap D_g$ است. مثلاً اگر دو تابع درآمد و هزینهٔ یک فروشگاه را نشان دهند، با کم‌کردن هزینه از درآمد، تابع سود ساخته می‌شود.

برای تقسیم هم خروجی‌ها را تقسیم می‌کنیم:

$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

اما این‌بار یک شرط اضافه داریم: خروجی تابعِ مخرج نباید صفر باشد. بنابراین ابتدا اشتراک دامنه‌ها را پیدا می‌کنیم و سپس هر ورودی‌ای را که $g(x)=0$ می‌کند، کنار می‌گذاریم.

دقت کن: صفرشدن صورت به‌تنهایی مشکلی ندارد. همچنین اگر با ساده‌کردن کسر، عامل مشترکی حذف شود، ورودیِ ممنوعِ تابع اولیه همچنان ممنوع می‌ماند.

جمع توابع روی نمودار

اگر ضابطهٔ دو تابع را نداشته باشیم، باز هم می‌توانیم از روی نمودارهایشان، نمودار جمع را بسازیم. کافی است در هر ورودی مشترک، ارتفاع‌های علامت‌دار دو نمودار را جمع کنیم.

یک مقدار $x$ در اشتراک دامنه‌ها انتخاب کن. روی خط عمودیِ گذرنده از آن، مقدارهای $f(x)$ و $g(x)$ را از دو نمودار بخوان. سپس نقطه‌ای با همان طولِ $x$ و عرضِ $f(x)+g(x)$ مشخص کن. با تکرار این کار، شکل نمودار جمع معلوم می‌شود:

$(x,\,f(x)+g(x))$

حواست باشد «ارتفاع» اینجا علامت دارد: نقطهٔ بالای محور افقی مقدار مثبت و نقطهٔ پایین آن مقدار منفی دارد. پس نمودار جمع لزوماً بالاتر از هر دو نمودار نیست؛ خروجی منفی می‌تواند جمع را پایین بیاورد.

طول‌ها را جمع نمی‌کنیم! هر دو خروجی باید به یک ورودی تعلق داشته باشند؛ درست مثل جمع‌کردن دو هزینه برای یک روز مشخص، نه هزینه‌های دو روز متفاوت.

دو ماشین پشت سر هم

فرض کن دو دستگاه تبدیل دما داری: دستگاه اول فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند و دستگاه دوم سانتی‌گراد را به کلوین. برای تبدیل مستقیم فارنهایت به کلوین، کافی است خروجی دستگاه اول را به ورودی دستگاه دوم بدهی؛ این همان ترکیب توابع است.

در فعالیت کتاب، این دو دستگاه چنین‌اند:

$f(x)=\frac{5}{9}(x-32)$

$g(x)=x+273$

اگر ورودی اولیه $x$ باشد، بعد از دستگاه اول به $f(x)$ می‌رسیم. حالا همین خروجی وارد دستگاه دوم می‌شود و نتیجه $g(f(x))$ است. پس در این عبارت، اول تابع داخل پرانتز، یعنی $f$، و بعد $g$ اجرا می‌شود.

حواست باشد: در جمع توابع، یک ورودی یکسان را به هر دو تابع می‌دهیم و خروجی‌ها را جمع می‌کنیم؛ اما اینجا دو تابع زنجیروار کار می‌کنند. برای ممکن بودن این زنجیره هم باید خروجی دستگاه اول، ورودیِ مجاز دستگاه دوم باشد.

دو ماشین پشت سر هم

فرض کن دماسنجی دما را به فارنهایت نشان می‌دهد، اما تو دما را به کلوین می‌خواهی. دو ماشین در اختیار داری: ماشین $f$ فارنهایت را به سانتی‌گراد تبدیل می‌کند و ماشین $g$ سانتی‌گراد را به کلوین.

برای رسیدن به نتیجه، خروجی ماشین $f$ را مستقیم به ورودی ماشین $g$ وصل می‌کنیم. پس لازم نیست عدد میانی را خودمان دوباره وارد کنیم؛ دو ماشین مثل یک ماشین تازه کار می‌کنند. این اجرای پشت‌سرهم را ترکیب توابع می‌نامیم.

اگر ورودی اولیه $x$ باشد، ماشین اول $f(x)$ را تحویل می‌دهد. حالا همین مقدار وارد ماشین دوم می‌شود و خروجی نهایی $g(f(x))$ است:

$x \xrightarrow{f} f(x) \xrightarrow{g} g(f(x))$

نکتهٔ اصلی این است: ورودی ماشین دوم، خروجی ماشین اول است، نه ورودی اولیه. برای خواندن $g(f(x))$ از داخل پرانتز شروع کن: اول $f$ اجرا می‌شود و بعد $g$.

جای‌گذاری در تابع بیرونی

در عبارت $g(f(x))$، تابع $g$ «تابع بیرونی» است؛ یعنی روی خروجی تابع $f$ کار می‌کند. برای نوشتن ضابطهٔ ترکیب، هر جا در ضابطهٔ $g$ ورودی می‌بینی، تمام عبارت $f(x)$ را جای آن بگذار. اگر این عبارت چند جمله دارد، آن را داخل پرانتز بنویس تا عملی روی بخشی از آن جا نماند.

ماشین‌های تبدیل دما را به یاد بیاور: تابع $g$ به هر ورودی خود $273$ واحد اضافه می‌کند. پس وقتی ورودی‌اش به‌جای $x$، عبارت $f(x)$ باشد، خروجی‌اش می‌شود:

با جای‌گذاری ضابطهٔ تبدیل فارنهایت به سانتی‌گراد داریم:

این یک دستور مستقیم برای تبدیل فارنهایت به کلوین است. دقت کن: علامت $\circ$ نشانهٔ ترکیب است، نه ضرب؛ اینجا خروجی یک تابع را به تابع دیگر می‌دهیم، نه اینکه دو خروجی را در هم ضرب کنیم.

ترتیب را عوض کنیم؟

پوشیدن جوراب و سپس کفش را تصور کن؛ اگر ترتیب را برعکس کنی، نتیجه همان نمی‌شود! در ترکیب توابع هم ترتیب اجرا مهم است: در $f\circ g$ ابتدا $g$ اجرا می‌شود، اما در $g\circ f$ ابتدا $f$.

برای دیدن تفاوت، فرض کن $f$ به ورودی یک واحد اضافه کند و $g$ ورودی را دو برابر کند. در $g\circ f$، اول یک واحد اضافه می‌کنیم و بعد همهٔ حاصل را دو برابر می‌کنیم؛ پس آن یک واحدِ اضافه‌شده هم دو برابر می‌شود. اما در $f\circ g$، اول ورودی را دو برابر می‌کنیم و بعد فقط یک واحد اضافه می‌کنیم. بنابراین نتیجه‌ها یکسان نیستند.

البته این یعنی دو ترتیب لزوماً برابر نیستند، نه اینکه هرگز برابر نمی‌شوند. برای بررسی برابری، باید هر دو ترکیب را جداگانه بسازی و مقایسه کنی؛ جابه‌جاکردن نام تابع‌ها به‌تنهایی مجاز نیست.

دو شرط برای دامنه

برای عبور از دو ماشین پشت سر هم، باید از هر دو مرحله اجازهٔ عبور بگیری! در ترکیب $(g\circ f)(x)$، اول تابع $f$ اجرا می‌شود؛ پس:

• ورودی $x$ باید در دامنهٔ $f$ باشد.
• خروجی $f(x)$ باید در دامنهٔ $g$ قرار بگیرد.

این دو شرط را کوتاه می‌نویسیم:

$D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}$

ساده‌کردن عبارت، ورودیِ ممنوع را مجاز نمی‌کند. مثلاً اگر $f(x)=\sqrt{x-1}$ و $g(x)=x^2+3$ باشند، ماشین اول فقط ورودی‌های $x\geq 1$ را می‌پذیرد. خروجی آن هم عددی حقیقی است و برای ماشین دوم مشکلی ندارد. بنابراین دامنهٔ ترکیب $[1,\infty)$ است.

حالا اگر ضابطهٔ ترکیب را ساده کنیم، داریم:

$(g\circ f)(x)=(\sqrt{x-1})^2+3=x+2$

اما همچنان شرط $x\geq 1$ پابرجاست؛ چون برای اجرای ترکیب باید از رادیکالِ مرحلهٔ اول عبور کنیم. پس همیشه ضابطه و دامنه را با هم نگه دار.