خلاصه درس فصل ۱ حسابان یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

یک جمع بلند، چند جفت برابر

فرض کن دگمه‌ها را طوری چیده‌ای که ردیف اول $1$ دگمه، ردیف دوم $2$ دگمه و همین‌طور تا ردیف آخر، $n$ دگمه داشته باشد. برای پیدا کردن تعداد کل، لازم نیست دگمه‌ها را یکی‌یکی بشماری!

مجموع را $S$ بنام و آن را دو بار بنویس؛ بار دوم از آخر به اول:

حالا جمله‌های روبه‌روی هم را جمع کن. جفت اول $1+n$ است، جفت دوم $2+(n-1)$؛ مجموع هر جفت برابر $n+1$ است. چون در هر سطر $n$ جمله داریم، از جمع دو سطر، $n$ جفت به دست می‌آید:

دقت کن: این حاصل، مجموعِ دو نسخه از دگمه‌هاست، نه یک نسخه! پس برای رسیدن به تعداد دگمه‌های اولیه، بر $2$ تقسیم می‌کنیم:

این روش، یک جمع طولانی را به یک ضرب و یک تقسیم تبدیل می‌کند.

مجموع دنبالهٔ حسابی

فرض کن هر هفته مبلغ ثابتی بیشتر از هفتهٔ قبل پس‌انداز می‌کنی. مبلغ‌های هفتگی یک دنبالهٔ حسابی می‌سازند؛ یعنی اختلاف هر جمله با جملهٔ قبلی، مقدار ثابت $d$ است. اگر جملهٔ اول $a$ باشد، جملهٔ آخر در میان $n$ جمله برابر $a+(n-1)d$ است.

برای پیدا کردن مجموع، همان ترفندِ مستقیم و وارونه را به کار می‌بریم:

$S_n=a+(a+d)+\cdots+[a+(n-1)d]$

$S_n=[a+(n-1)d]+\cdots+(a+d)+a$

با جمع‌کردن جمله‌های روبه‌رو، هر جفت حاصل یکسانی دارد: $2a+(n-1)d$. چون $n$ جفت داریم:

$2S_n=n[2a+(n-1)d]$

این مقدار، دو برابر مجموع موردنظر است؛ پس:

$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$

برای استفاده از فرمول، اول $a$، $d$ و $n$ را مشخص کن. یادت باشد تا جملهٔ $n$ام، فقط $n-1$ بار مقدار $d$ به جملهٔ اول اضافه شده است، نه $n$ بار.

اول، آخر و تعداد جمله‌ها

اگر جملهٔ اول و آخر یک دنبالهٔ حسابی را بدانی، لازم نیست همهٔ جمله‌ها را بنویسی. کافی است تعداد جمله‌ها را هم پیدا کنی تا مجموع به دست آید:

این همان فرمول قبلی است؛ چون $a_n=a_1+(n-1)d$، عبارت $2a_1+(n-1)d$ برابر با $a_1+a_n$ می‌شود. یعنی مجموع، برابر است با تعداد جمله‌ها ضرب‌در میانگین جملهٔ اول و آخر.

اما تعداد جمله‌ها را چطور پیدا کنیم؟ از رابطهٔ جملهٔ آخر استفاده می‌کنیم:

حواست به این یکِ اضافه باشد! بین $n$ جمله، فقط $n-1$ فاصله وجود دارد؛ درست مثل چند ایستگاه پشت‌سرهم که تعداد مسیرهای بینشان، یکی کمتر از تعداد ایستگاه‌هاست.

برای جمع مضرب‌های دورقمیِ $4$ هم ابتدا کوچک‌ترین و بزرگ‌ترین مضرب دورقمی را مشخص می‌کنیم، سپس با قدر نسبت $4$ تعداد جمله‌ها را می‌یابیم. حالا همهٔ اطلاعات لازم برای فرمول مجموع آماده است.

آغاز دنبالهٔ هندسی

در دنبالهٔ حسابی، هر بار عدد ثابتی اضافه می‌کردیم؛ اما در دنبالهٔ هندسی، هر جمله را در عدد ثابتی به نام قدر نسبت، یعنی $q$، ضرب می‌کنیم:

$a,\;aq,\;aq^2,\;\ldots$

از جملهٔ اول تا جملهٔ دوم یک بار ضرب می‌کنیم و تا جملهٔ سوم دو بار. پس برای رسیدن به جملهٔ $n$ام، به $n-1$ بار ضرب نیاز داریم:

حواست باشد: توانِ $q$ یک واحد کمتر از شمارهٔ جمله است، چون جملهٔ اول هنوز در $q$ ضرب نشده است.

اگر $q=1$ باشد چه می‌شود؟ ضرب در $1$ مقدار جمله را تغییر نمی‌دهد؛ بنابراین همهٔ جمله‌ها برابر $a$ هستند. مثل وقتی که هر روز مقدار ثابتی پول پس‌انداز می‌کنی: مجموع پس‌انداز، تعداد روزها ضرب‌در مقدار روزانه است. پس:

این رابطهٔ مجموع، مخصوص حالت $q=1$ است؛ نه هر دنبالهٔ هندسی.

جمعی کوتاه برای دنباله‌ای بلند

اگر تعداد گندم‌ها در هر خانهٔ شطرنج دو برابر شود، جمع‌کردن تک‌تک جمله‌ها طولانی است. مجموع دنبالهٔ هندسی راه کوتاه‌تری به ما می‌دهد.

فرض کن جملهٔ اول $a$ و قدر نسبت $q$ باشد. اگر $q=1$، همهٔ جمله‌ها برابر $a$ هستند؛ پس مجموع $n$ جمله می‌شود:

$S_n=na$

اما اگر $q\neq1$، ابتدا مجموع را می‌نویسیم:

$S_n=a+aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}$

حالا دو طرف را در $q$ ضرب می‌کنیم:

$qS_n=aq+aq^2+\cdots+aq^{n-1}+aq^n$

چه چیزی به چشم می‌آید؟ بیشتر جمله‌ها در هر دو سطر مشترک‌اند! با کم‌کردن سطر دوم از سطر اول، جمله‌های مشترک حذف می‌شوند و داریم:

$(1-q)S_n=a-aq^n=a(1-q^n)$

چون $q\neq1$، می‌توانیم بر $1-q$ تقسیم کنیم:

$S_n=a\frac{1-q^n}{1-q}$

حواست به تفاوت این دو باشد: آخرین جملهٔ مجموع $aq^{n-1}$ است، اما در فرمول مجموع، توانِ $q$ برابر $n$ است؛ چون ضرب در $q$ یک جمله جلوتر می‌رود.

از جهش توپ تا مجموع هندسی

توپی را از روی زمین به بالا پرتاب می‌کنیم؛ تا ارتفاع $10$ متر می‌رود و پس از هر برخورد، تا یک‌چهارم ارتفاع قبلی بالا می‌آید. برای پیدا کردن مسافت، فقط ارتفاع‌ها را جمع نکن! توپ هر ارتفاع را یک بار رو به بالا و یک بار رو به پایین طی می‌کند.

مسیر را با برخوردها دسته‌بندی کن:

• از لحظهٔ پرتاب تا برخورد اول: بالا رفتن و پایین آمدن، در مجموع $2\times10$ متر.
• از برخورد اول تا برخورد دوم: بالا رفتن تا ارتفاع $\frac{10}{4}$ متر و برگشتن به زمین، در مجموع $2\times\frac{10}{4}$ متر.
• برای برخوردهای بعدی نیز همین الگو ادامه دارد.

پس مسافت این بخش‌ها یک دنبالهٔ هندسی با جملهٔ اول $a=20$ و قدر نسبت $q=\frac14$ می‌سازد. تا برخورد پنجم، پنج بخش مسیر داریم؛ بنابراین باید مجموع پنج جملهٔ اول را حساب کنیم.

نکتهٔ مهم: اینجا توپ از زمین پرتاب شده است. اگر از یک ارتفاع رها می‌شد، مسیر پیش از برخورد اول فقط رو به پایین بود و نباید آن را دو برابر می‌کردیم.

بازگشت به معادلهٔ درجهٔ دوم

اگر معادله در نگاه اول شکل آشنایی نداشت، از کجا شروع کنیم؟ همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببریم و جمله‌های هم‌نوع را ساده کنیم تا به شکل زیر برسیم:

$ax^2+bx+c=0\qquad(a\neq0)$

حالا ضرایب $a$، $b$ و $c$ را همراه با علامتشان می‌خوانیم. شرط $a\neq0$ مهم است؛ وگرنه معادله دیگر درجهٔ دوم نیست. همچنین پیش از مرتب‌کردن معادله، نباید ضرایب را از دو طرف آن برداریم.

برای بررسی ریشه‌های حقیقی، ابتدا دلتا را حساب می‌کنیم:

$\Delta=b^2-4ac$

• اگر $\Delta>0$ باشد، معادله دو ریشهٔ حقیقی متمایز دارد.
• اگر $\Delta=0$ باشد، یک ریشهٔ حقیقیِ مضاعف دارد.
• اگر $\Delta<0$ باشد، ریشهٔ حقیقی ندارد؛ چون ریشهٔ دومِ عدد منفی در اعداد حقیقی تعریف نمی‌شود.

در دو حالت اول، مقدار ریشه‌ها از این رابطه به دست می‌آید:

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$

علامت $\pm$ یعنی رابطه را یک بار با جمع و یک بار با تفریق بخوانیم. وقتی دلتا صفر است، این دو محاسبه به یک مقدار می‌رسند.

ریشه‌ها از ضرایب چه می‌گویند؟

آیا برای دانستن جمع دو ریشه، حتماً باید خود ریشه‌ها را پیدا کنیم؟ نه! ضرایب معادله این اطلاعات را به ما می‌دهند.

اگر معادلهٔ $ax^2+bx+c=0$ با $a\neq0$ دو ریشهٔ حقیقی $x_1$ و $x_2$ داشته باشد، داریم:

$S=x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$P=x_1x_2=\frac{c}{a}$

این رابطه‌ها برای ریشهٔ تکراری هم برقرارند؛ کافی است آن ریشه را دو بار در نظر بگیریم. دقت کن که در رابطهٔ جمع، قرینهٔ ضریب $x$ را بر $a$ تقسیم می‌کنیم، اما در رابطهٔ ضرب، خودِ $c$ را بر $a$ تقسیم می‌کنیم.

اگر یکی از ریشه‌ها معلوم باشد، می‌توانیم ریشهٔ دیگر را از جمع یا ضرب ریشه‌ها پیدا کنیم. برای استفاده از ضرب، ریشهٔ معلوم باید ناصفر باشد تا بتوانیم بر آن تقسیم کنیم. اگر ضریبی هم مجهول باشد، پس از یافتن ریشهٔ دیگر، رابطهٔ مناسب را برای تعیین آن به کار می‌بریم.

پیش از هر کاری، همهٔ جمله‌های معادله را به یک طرف ببر؛ این رابطه‌ها فقط وقتی ضرایب را درست نشان می‌دهند که طرف دیگر صفر باشد.

جمع و ضرب، بدون پیدا کردن ریشه‌ها

آیا برای دانستن جمع و ضرب دو ریشه، حتماً باید خودشان را پیدا کنیم؟ نه! ضرایب معادله این اطلاعات را به ما می‌دهند.

معادله را به شکل استاندارد $ax^2+bx+c=0$ با $a\ne0$ بنویس. اگر ریشه‌های آن $x_1$ و $x_2$ باشند، داریم:

چرا این رابطه‌ها برقرارند؟ در فرمول ریشه‌ها، دو عبارت $+\sqrt{\Delta}$ و $-\sqrt{\Delta}$ هنگام جمع حذف می‌شوند؛ بنابراین جمع ریشه‌ها $-\frac{b}{a}$ است. هنگام ضرب هم با استفاده از $\Delta=b^2-4ac$، حاصل به $\frac{c}{a}$ ساده می‌شود.

پس لازم نیست همیشه سراغ محاسبهٔ جداگانهٔ ریشه‌ها بروی؛ اول ببین سؤال فقط جمع یا ضرب آن‌ها را می‌خواهد یا نه.

مراقب علامت‌ها باش: ضریب $b$ را همراه علامتش بردار. مثلاً در عبارت $-5x$، مقدار $b=-5$ است، نه $5$. همچنین در رابطهٔ جمع، علامت منفیِ جلوی $b$ را فراموش نکن؛ هر دو رابطه نیز بر $a$ تقسیم می‌شوند.

از ریشه‌ها به معادله

تا اینجا از ضرایب به جمع و ضرب ریشه‌ها می‌رسیدیم؛ حالا مسیر را برعکس می‌رویم: از جمع و ضرب دو عدد، معادله می‌سازیم.

اگر دو عدد $\alpha$ و $\beta$ ریشه‌های موردنظر باشند، معادلهٔ زیر هر دو را به‌عنوان جواب می‌پذیرد؛ چون با قرار دادن هرکدام، یکی از عامل‌ها صفر می‌شود:

با باز کردن پرانتزها داریم:

پس اگر $S=\alpha+\beta$ و $P=\alpha\beta$ را بدانیم، کافی است بنویسیم:

حواست به علامت باشد: ضریب $x$، قرینهٔ جمع ریشه‌هاست، نه خودِ جمع؛ جملهٔ ثابت هم همان حاصل‌ضرب است.

مثلاً برای پیدا کردن طول و عرض یک مستطیل، نصف محیط به ما جمع دو بُعد و مساحت به ما حاصل‌ضربشان را می‌دهد. بنابراین می‌توانیم معادله‌ای بسازیم که ریشه‌هایش طول و عرض مستطیل باشند.

ریشهٔ معادله و صفر تابع

تابع را مثل دستگاهی در نظر بگیر که ورودی می‌گیرد و خروجی می‌دهد. بعضی ورودی‌ها باعث می‌شوند خروجی دقیقاً $0$ شود؛ این ورودی‌ها را صفرهای تابع می‌نامیم. پس برای پیدا کردن صفرهای تابع $f$، معادلهٔ $f(x)=0$ را حل می‌کنیم؛ البته هر جواب باید در دامنهٔ تابع باشد.

روی نمودار، خروجی همان ارتفاع یا مؤلفهٔ $y$ است. هر نقطه روی محور $x$ها ارتفاع $0$ دارد؛ بنابراین صفرهای تابع، طول نقاط برخورد نمودار با محور $x$ها هستند، نه خودِ آن نقطه‌ها. مثلاً اگر نمودار از نقطهٔ $(3,0)$ بگذرد، عدد $3$ یک صفر تابع است.

لازم نیست نمودار حتماً از محور عبور کند؛ تماس با محور هم کافی است. نمودار $f(x)=(x-1)^2$ در $x=1$ به محور می‌رسد و همان‌جا برمی‌گردد، پس یک صفر دارد. اما نمودار $g(x)=x^2+1$ همیشه بالای محور است و صفر حقیقی ندارد.

صفر تابع کجاست؟

فرض کن تابع یک دستگاه است: ورودی می‌گیرد و خروجی می‌دهد. وقتی می‌پرسیم «صفرهای این تابع چیست؟»، دنبال ورودی‌هایی هستیم که خروجی دستگاه را صفر می‌کنند؛ نه لزوماً خودِ عدد صفر!

پس برای یافتن صفرهای تابع $f$، باید معادلهٔ $f(x)=0$ را حل کنیم. هر جواب باید در دامنهٔ تابع هم باشد؛ ورودیِ غیرمجاز، صفر تابع نیست.

روی نمودار، هر نقطه به شکل $(x,f(x))$ است. اگر خروجی صفر شود، نقطه به شکل $(x,0)$ درمی‌آید و روی محور افقی قرار می‌گیرد. بنابراین صفرهای تابع، طولِ نقاط برخورد نمودار با محور افقی‌اند، نه مختصات کامل آن نقاط.

حواست باشد «برخورد» همیشه به معنی عبور از محور نیست: گاهی نمودار فقط محور را لمس می‌کند و برمی‌گردد؛ آن طول هم صفر تابع است. اگر نمودار هیچ نقطهٔ مشترکی با محور افقی نداشته باشد، تابع صفر حقیقی ندارد.

از صفرهای سهمی تا ضابطه

صفرهای سهمی مثل نشانیِ دو نقطه از مسیر آن‌اند؛ کمک می‌کنند ضابطه را بسازیم، اما به‌تنهایی کافی نیستند. اگر صفرهای تابع درجهٔ دوم $r$ و $s$ باشند، می‌نویسیم:

$f(x)=a(x-r)(x-s)$

در این رابطه $a\ne 0$ است. برای تعیین مقدار $a$، به اطلاعات دیگری مثل مختصات یک نقطهٔ دیگر از نمودار نیاز داریم. پس دو سهمی می‌توانند صفرهای یکسان داشته باشند، ولی بازشدگی یا جهت شاخه‌هایشان متفاوت باشد.

از شکل سهمی چه اطلاعاتی می‌گیریم؟

• شاخه‌های رو به بالا یعنی $a>0$؛ شاخه‌های رو به پایین یعنی $a<0$.
• چون $f(0)=c$ است، عرضِ محل برخورد با محور عمودی همان $c$ است.
• طول رأس برابر $-\frac{b}{2a}$ است؛ پس با دانستن سمتِ رأس نسبت به محور عمودی و علامت $a$، می‌توان علامت $b$ را بررسی کرد.

دقت کن: علامت $b$ را نباید فقط از جهت شاخه‌ها حدس زد؛ جای رأس هم مهم است.

یک صفر، سرنخ صفرهای دیگر

اگر یکی از صفرهای یک چندجمله‌ای را بدانیم، انگار سرِ نخ یک گره را پیدا کرده‌ایم؛ می‌توانیم مسئله را به معادله‌ای با درجهٔ کمتر تبدیل کنیم.

فرض کن $r$ یکی از صفرهای چندجمله‌ای $p(x)$ باشد؛ یعنی $p(r)=0$. در این صورت، $x-r$ یکی از عامل‌های چندجمله‌ای است. پس تقسیم $p(x)$ بر $x-r$ باقی‌مانده ندارد و می‌توان نوشت:

$p(x)=(x-r)q(x)$

در اینجا $q(x)$ خارج‌قسمت است و درجه‌اش یکی کمتر از درجهٔ $p(x)$ است. حالا برای پیدا کردن صفرها، از این نکته استفاده می‌کنیم: حاصل‌ضرب وقتی صفر است که دست‌کم یکی از عامل‌ها صفر باشد. بنابراین:

$p(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-r=0\ \text{یا}\ q(x)=0$

عامل اول همان صفرِ معلوم را می‌دهد؛ حل معادلهٔ $q(x)=0$ هم صفرهای دیگر را، اگر وجود داشته باشند، مشخص می‌کند. مراقب علامت باش: اگر صفرِ معلوم $-3$ باشد، عامل متناظر $x-(-3)=x+3$ است، نه $x-3$.

نام تازه برای عبارت تکراری

گاهی ظاهر یک معادله ترسناک است، اما درون آن یک الگوی آشنا پنهان شده! مثلاً برای پیدا کردن صفرهای تابع
$f(x)=(x^2-1)^2+(x^2-1)-2$
باید خروجی را برابر صفر بگذاریم. عبارت $x^2-1$ هم به توان دو رسیده و هم به‌تنهایی آمده است. اگر موقتاً آن را $t$ بنامیم، یعنی $t=x^2-1$، معادله به شکل آشنای $t^2+t-2=0$ درمی‌آید.

این کار مثل گذاشتن یک برچسب کوتاه روی یک نام طولانی است؛ عبارت عوض نشده، فقط نامش ساده‌تر شده است.

اما پیدا کردن $t$ پایان کار نیست! سؤال دربارهٔ صفرهای تابع، یعنی مقدارهای $x$ است. پس هر مقدار به‌دست‌آمده برای $t$ را در رابطهٔ $t=x^2-1$ قرار می‌دهیم و برای $x$ حل می‌کنیم.

در پایان، جواب‌ها را بررسی می‌کنیم: اگر به مربعِ یک عدد حقیقی برابر با عددی منفی برسیم، آن مسیر جواب حقیقی ندارد. همچنین هنگام حل رابطه‌ای مثل $x^2=m$ برای $m>0$، باید هر دو مقدار $x=\pm\sqrt{m}$ را در نظر بگیریم.

جواب‌ها در محل تلاقی

تا اینجا برای یافتن صفرهای تابع، دنبال برخورد نمودار با محور افقی بودیم. حالا اگر دو طرف معادله، دو تابع باشند چه؟

برای حل معادلهٔ $f(x)=g(x)$، نمودار هر دو تابع را در یک دستگاه مختصات رسم می‌کنیم. در هر نقطهٔ مشترک، دو نمودار برای یک ورودی، خروجی یکسانی دارند؛ پس برابری برقرار است. بنابراین طولِ هر نقطهٔ تلاقی، یعنی مختصهٔ $x$ آن، یک جواب معادله است؛ نه عرض نقطه و نه زوج مرتبِ مختصات آن.

مثلاً اگر دو نمودار هزینهٔ دو طرح اینترنت را برحسب میزان مصرف نشان دهند، طول نقطهٔ تلاقی می‌گوید در چه میزان مصرفی هزینه‌ها برابر می‌شوند.

با شمردن نقاط تلاقی، تعداد جواب‌ها را می‌فهمیم. اگر نمودارها هیچ نقطهٔ مشترکی نداشته باشند، معادله جواب ندارد. مقدار جواب‌ها را هم از محور افقی می‌خوانیم؛ البته دقتِ رسم ممکن است فقط اجازهٔ خواندن جواب تقریبی را بدهد.

جواب معادله کجای نمودار است؟

فرض کن نمودار دو تابع را روی یک صفحه می‌بینی. در نقطه‌ای که دو نمودار به هم می‌رسند، هم مختصهٔ افقی یکسان است و هم مختصهٔ عمودی. یعنی برای یک ورودی مشترک، خروجی دو تابع برابر شده است؛ درست همان چیزی که معادلهٔ $f(x)=g(x)$ می‌خواهد!

پس جواب معادله، مختصهٔ افقی نقطهٔ مشترک است؛ یعنی مقدار $x$، نه مقدار $y$. در کتاب، به مختصهٔ افقی «طول نقطه» هم گفته می‌شود.

برای تصور بهتر، دو نمودار را مثل گزارش هزینهٔ دو روش ارسال بسته در نظر بگیر: محور افقی وزن بسته و محور عمودی هزینه است. نقطهٔ مشترک نشان می‌دهد در یک وزن مشخص، هزینهٔ دو روش برابر می‌شود. اگر سؤال «در چه وزنی؟» باشد، باید عدد روی محور افقی را بخوانی، نه هزینه را.

برعکس هم درست است: هر مقدار $x$ که معادله را برقرار کند، روی دو نمودار نقطه‌ای مشترک می‌سازد.

از معادله به دو نمودار

برای شروع حل هندسی، لازم نیست همهٔ عبارت‌ها را به یک طرف معادله ببری. هر طرف معادله را یک تابع در نظر بگیر. مثلاً برای معادلهٔ $|x|=x^2-2x$، دو تابع ما $y=|x|$ و $y=x^2-2x$ هستند.

بعد، نمودار هر دو تابع را در یک دستگاه مختصات، با مقیاس یکسان رسم کن. نمودار اول شکلی شبیه حرف V دارد و نمودار دوم یک سهمی است. می‌توانی برای رسم، از شکل آشنای تابع‌ها و چند نقطهٔ کمکی استفاده کنی.

حالا نقاط مشترک را پیدا کن و از هرکدام، مختصهٔ افقی را روی محور $x$ بخوان. در پایان، برای بررسی جواب خوانده‌شده، آن را در دو طرف معادله جای‌گذاری کن؛ باید دو مقدار برابر به دست بیاید.

این کار شبیه مقایسهٔ هزینهٔ دو سرویس با نمودار است: هر نمودار یک هزینه را نشان می‌دهد و نقطهٔ مشترک جایی است که هزینه‌ها برابر می‌شوند.

شمارش و تقریب ریشه‌ها

نمودارها همیشه جواب‌های مرتب و صحیح به ما نمی‌دهند؛ گاهی نقطهٔ مشترک بین دو خط شبکه قرار می‌گیرد. در این حالت هم می‌توانیم تعداد جواب‌ها را بشماریم و مقدار تقریبی هر جواب را از روی محور افقی بخوانیم.

مثل خواندن جای یک نقطه روی خط‌کش است: اگر نقطه دقیقاً روی درجه‌بندی نباشد، جای آن را تخمین می‌زنی. مثلاً اگر مختصهٔ افقی یک نقطهٔ مشترک بین $1.4$ و $1.5$ باشد، ریشه نیز در همین بازه است؛ نباید آن را یک مقدار دقیق معرفی کنیم.

برای معادلهٔ $x^2-x-1=|x-1|$ نیز پس از رسم دو نمودار، اول همهٔ نقاط مشترک را پیدا می‌کنیم و بعد مختصهٔ افقی آن‌ها را می‌خوانیم. بزرگ‌نمایی یا رسم دقیق‌تر، تخمین را بهتر می‌کند؛ اما ندیدن نقطهٔ مشترک در یک پنجرهٔ کوچک، به‌تنهایی ثابت نمی‌کند که معادله هیچ جوابی ندارد.

از غلظت تا معادله

وقتی به آب‌نمک، نمک اضافه می‌کنی، فقط جرم نمک زیاد نمی‌شود؛ جرم کل محلول هم افزایش پیدا می‌کند. برای ساختن معادله باید هر دو تغییر را حساب کنیم.

غلظت نمک را با این نسبت می‌سنجیم:

$\text{غلظت نمک}=\frac{\text{جرم نمک}}{\text{جرم کل محلول}}$

در مسئلهٔ مخزن ماهی‌ها، ابتدا $200$ کیلوگرم محلول با غلظت $4\%$ داریم؛ پس جرم نمک موجود برابر است با:

$200\times\frac{4}{100}=8\quad\text{کیلوگرم}$

اگر $x$ کیلوگرم نمک خالص اضافه کنیم، جرم نمک به $8+x$ کیلوگرم و جرم کل محلول به $200+x$ کیلوگرم می‌رسد. بنابراین برای رسیدن به غلظت $7\%$ باید بنویسیم:

$\frac{8+x}{200+x}=\frac{7}{100}$

فعلاً هدف ما ساختن معادله است، نه حل آن. اشتباه رایج این است که نمک افزوده‌شده را فقط در صورت حساب کنیم؛ درحالی‌که همان نمک روی ترازو هم به جرم کل محلول اضافه می‌شود!

آب کمتر، غلظت بیشتر

اگر هیچ نمکی نداشته باشیم، چطور آب مخزن را شورتر کنیم؟ راهش این است که بخشی از آب را تبخیر کنیم. هنگام تبخیر آبِ محلول، نمک باقی می‌ماند؛ پس جرم نمک تغییر نمی‌کند، اما جرم کل محلول کمتر می‌شود. در نتیجه، سهم نمک از محلول بیشتر می‌شود.

در مخزن مسئله، ابتدا $200$ کیلوگرم محلول داریم که $8$ کیلوگرم آن نمک است. اگر $y$ کیلوگرم آب تبخیر شود:

• جرم نمک همچنان $8$ کیلوگرم است.
• جرم کل محلول به $200-y$ کیلوگرم می‌رسد.

پس برای رسیدن به غلظت $7\%$ می‌نویسیم:

$\displaystyle \frac{8}{200-y}=\frac{7}{100}$

دقت کن: از مخرج کم می‌کنیم، نه از صورت؛ چون آب خارج شده است، نه نمک. شبیه وقتی که آبِ غذا روی اجاق کم می‌شود و غذا، بدون افزودن نمک، شورتر به نظر می‌رسد.

حذف مخرج‌ها و حل معادله

معادلهٔ غلظت را ساخته‌ایم؛ حالا چطور از کسرها خلاص شویم؟ راهش این است که همهٔ جمله‌های دو طرف را در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها ضرب کنیم. با این کار، مخرج‌ها ساده می‌شوند و معادله‌ای بدون کسر می‌ماند.

برای همان مسئلهٔ افزودن نمک داریم:

$\frac{x+8}{200+x}=\frac{7}{100}$

مخرج‌ها $200+x$ و $100$ هستند؛ پس دو طرف را در $100(200+x)$ ضرب می‌کنیم و به این رابطه می‌رسیم:

$100(x+8)=7(200+x)$

دقت کن: ضریب $100$ در تمام عبارت $x+8$ ضرب می‌شود، نه فقط در $x$. برای ادامهٔ حل، پرانتزها را باز می‌کنیم، جمله‌های دارای مجهول را یک طرف و عددها را طرف دیگر می‌بریم.

اگر مخرجی تجزیه‌پذیر باشد، اول آن را تجزیه کن تا عامل مشترک را بیهوده دوبار حساب نکنی؛ مثلاً برای مخرج‌های $x$ و $x(x+1)$، کوچک‌ترین مضرب مشترک همان $x(x+1)$ است.

هر ریشه‌ای جواب نیست

وقتی مخرج‌ها را حذف می‌کنی و معادلهٔ جدید را حل می‌کنی، هنوز یک کار مهم مانده است: بررسی جواب‌ها در معادلهٔ اولیه و شرایط مسئله.

دو صافی برای پذیرش جواب داریم:

• مخرج‌های اولیه نباید صفر شوند. مثلاً اگر مخرجی برابر $x+2$ باشد، مقدار $x=-2$ مجاز نیست؛ حتی اگر از حل معادلهٔ بدون کسر به دست آمده باشد. تقسیم بر صفر تعریف نشده است. بهتر است مقدارهای ممنوع را پیش از حذف مخرج‌ها مشخص کنی.
• جواب باید در دنیای مسئله معنا داشته باشد. اگر $y$ جرم آب تبخیرشده از مخزن باشد، مقدار منفی برای آن پذیرفتنی نیست. همچنین نمی‌توان بیشتر از آب موجود در مخزن، آب تبخیر کرد؛ حتی اگر مخرج نسبت هنوز صفر نشده باشد.

پس هر عددی که از حل معادله به دست می‌آید، ابتدا فقط یک «نامزدِ جواب» است. آن را در معادلهٔ اولیه بررسی کن و از خودت بپرس: «آیا این مقدار در موقعیت مسئله هم شدنی است؟»

رادیکال و جواب‌های اضافی

چطور ممکن است عددی از محاسبات به دست بیاید، اما جواب معادله نباشد؟ نکته این است: از $2=-2$ نمی‌توان دفاع کرد، ولی مربع هر دو طرف برابر است! پس به توان دو رساندن ممکن است تفاوت علامت‌ها را پنهان کند.

در مسئلهٔ مرغ دریایی، اگر فاصلهٔ افقی مسیر پرواز را $x$ بگیریم، فیثاغورس طول مسیر هوایی را $\sqrt{36+x^2}$ می‌دهد. با جمع انرژی مسیر هوایی و آبی، به معادلهٔ $14\sqrt{36+x^2}+10(12-x)=180$ می‌رسیم. چون محل فرود بین تصویر مرغ روی آب و ماهی است، باید $0\le x\le12$ باشد.

برای حل چنین معادله‌هایی، این مسیر را دنبال کن:

• شرط‌ها را مشخص کن: زیر رادیکالِ ریشهٔ دوم باید نامنفی باشد؛ محدودیت‌های مسئله هم مهم‌اند.
• رادیکال را تنها کن: سپس طرفین را به توان دو برسان و معادلهٔ بدون رادیکال را حل کن.
• پاسخ‌ها را آزمایش کن: هر عددِ به‌دست‌آمده فعلاً یک «نامزد جواب» است؛ باید در معادلهٔ اصلی و شرط‌های مسئله پذیرفته شود.

مثلاً در $\sqrt{x+2}=x-4$، علاوه بر $x+2\ge0$، باید $x-4\ge0$ هم برقرار باشد؛ چون ریشهٔ دوم نمی‌تواند منفی باشد.

قدر مطلق؛ فاصله از صفر

روی محور اعداد، نقطه‌های $3$ و $-3$ هر دو به یک اندازه از صفر فاصله دارند؛ پس $|3|=|-3|=3$. قدر مطلق، فاصله از صفر است و فاصله هیچ‌وقت منفی نمی‌شود. مثلاً اگر موجودی و بدهی را با عددهای مثبت و منفی نشان دهیم، قدر مطلق فقط اندازهٔ آن‌ها را نشان می‌دهد، نه موجودی یا بدهکار بودن را.

برای برداشتن علامت قدر مطلق، باید علامتِ کل عبارت داخل آن را بدانیم:

$|a|=\begin{cases}a & a\geq 0\\-a & a<0\end{cases}$

یعنی عبارت نامنفی بدون تغییر بیرون می‌آید، اما عبارت منفی با علامت مخالف نوشته می‌شود. دقت کن: $-a$ همیشه منفی نیست! وقتی $a$ منفی باشد، $-a$ مثبت است.

اگر داخل قدر مطلق چند جمله باشد، اول علامت کل عبارت را بررسی کن؛ نمی‌توان قدر مطلق را جداگانه روی هر جمله اجرا کرد. مثلاً چون $\sqrt{3}<\sqrt{5}$، عبارت $\sqrt{3}-\sqrt{5}$ منفی است؛ پس:

$|\sqrt{3}-\sqrt{5}|=-(\sqrt{3}-\sqrt{5})=\sqrt{5}-\sqrt{3}$

از تعیین علامت تا نمودار

نمودار پایهٔ $y=|x|$ شبیه حرف V است و رأس آن مبدأ مختصات است. برای رسم $y=|x-1|+2$، همین نمودار را یک واحد به راست و دو واحد به بالا می‌بریم؛ پس رأس جدید نقطهٔ $(1,2)$ است.

اگر انتقال کافی نبود، تعیین علامت کمک می‌کند. در تابعی مثل $f(x)=|x-1|+|x+2|$، ابتدا صفرِ عبارت‌های داخل قدر مطلق، یعنی $1$ و $-2$، را روی محور مشخص می‌کنیم. این نقاط مرز بازه‌هایی هستند که باید جداگانه بررسی شوند.

در هر بازه از خودت بپرس: «هر عبارت داخل قدر مطلق مثبت است یا منفی؟» عبارت نامنفی بدون تغییر بیرون می‌آید؛ عبارت منفی با علامت مخالف. به این ترتیب، در هر بازه یک ضابطهٔ خطی به دست می‌آید و فقط قسمت مربوط به همان بازه را رسم می‌کنیم، نه تمام خط را.

پس نقشهٔ راه این است: پیداکردن مرزها ← تعیین علامت ← حذف قدر مطلق ← رسم تکه‌های نمودار.

قواعد قدر مطلق و نامساوی‌ها

قدر مطلق فاصله است، پس هرگز منفی نمی‌شود. به همین دلیل، ریشهٔ دومِ مربع یک عدد، قدر مطلق آن است، نه لزوماً خود آن عدد:

$\sqrt{x^2}=|x|$

همچنین $|-x|=|x|$ و $|x|^2=x^2$؛ یعنی دو عدد قرینه فاصلهٔ یکسانی از صفر دارند.

در ضرب و تقسیم می‌توان قدر مطلق را میان عامل‌ها پخش کرد:

$|ab|=|a||b|$

$\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}\quad(b\ne0)$

اما برای جمع چنین تساویِ همیشگی‌ای نداریم؛ به‌جای آن، «نامساوی مثلث» برقرار است:

$|a+b|\le|a|+|b|$

تصور کن در یک راهروی مستقیم، مقداری جلو و سپس مقداری عقب بروی؛ فاصلهٔ نهایی‌ات از نقطهٔ شروع، از مجموع طول دو حرکت بیشتر نمی‌شود.

برای نامعادله‌ها هم به فاصله فکر کن. اگر $c>0$ باشد:

• $|x|<c$ یعنی $-c<x<c$؛ داخلِ بازه.
• $|x|>c$ یعنی $x<-c$ یا $x>c$؛ بیرونِ بازه.

با تبدیل $<$ و $>$ به $\le$ و $\ge$، مرزها هم به پاسخ اضافه می‌شوند. سرانجام، هر عدد میان قرینهٔ قدر مطلق و قدر مطلق خودش قرار دارد: $-|a|\le a\le|a|$.

حل معادله‌های قدر مطلقی

فرض کن روی یک خیابان مستقیم، فاصله‌ات از یک نشانی مشخص معلوم باشد؛ معمولاً می‌توانی در دو سوی آن نشانی قرار بگیری. معادلهٔ $|x-a|=c$ هم همین معنا را دارد: فاصلهٔ $x$ از $a$ برابر $c$ است. اگر $c\geq 0$ باشد، دو حالت $x-a=c$ یا $x-a=-c$ را بررسی می‌کنیم؛ اگر $c<0$ باشد، جوابی نداریم.

وقتی دو طرف قدر مطلق دارند، برابر بودن فاصله‌ها یعنی عبارت‌های داخل آن‌ها یا برابرند یا قرینهٔ یکدیگرند. پس برای $|f(x)|=|g(x)|$، دو معادلهٔ $f(x)=g(x)$ و $f(x)=-g(x)$ را حل می‌کنیم.

اما اگر طرف دیگر قدر مطلق ندارد، مثل $|x-1|=4-3x$، ابتدا حواست باشد که آن طرف باید نامنفی باشد. می‌توانی بر اساس علامت $x-1$ حالت‌بندی کنی: در بازهٔ $x\geq1$ قدر مطلق را با $x-1$ و در بازهٔ $x<1$ با $-(x-1)$ جایگزین کن.

هر پاسخ فقط وقتی پذیرفتنی است که شرط حالت خودش را داشته باشد. جای‌گذاری در معادلهٔ اصلی هم یک بررسی نهایی مطمئن است.

قدر مطلق یعنی فاصله

روی محور اعداد، چطور دو نقطهٔ متفاوت می‌توانند هر دو به فاصلهٔ $3$ از نقطهٔ $7$ باشند؟ کمی فکر کن: از نقطهٔ ثابت می‌توان هم به چپ رفت و هم به راست!

فاصله جهت ندارد و هیچ‌وقت منفی نیست. قدر مطلق هم دقیقاً همین ویژگی را دارد؛ بنابراین فاصلهٔ نقطهٔ $x$ از نقطهٔ $a$ را با $|x-a|$ نشان می‌دهیم. فرقی ندارد کدام نقطه سمت راست دیگری باشد؛ قدر مطلق، مقدار فاصله را به ما می‌دهد.

مثلاً اگر خانه‌ای در نقطهٔ $a$ از یک خیابان مستقیم باشد، عبارت $|x-a|$ فاصلهٔ جای تو از خانه را نشان می‌دهد، نه جهت حرکتت را.

حالا شرط پرسش آغازین را به زبان ریاضی بنویسیم: «فاصلهٔ $x$ از $7$ برابر $3$ است» یعنی $|x-7|=3$. داخل قدر مطلق، اختلاف جای دو نقطه است؛ بیرون آن، اندازهٔ فاصله. پس پیش از حل‌کردن، می‌توانیم جملهٔ مربوط به فاصله را به یک معادله تبدیل کنیم.

دو حالت برای برابری

دو عدد چطور می‌توانند قدر مطلق یکسان داشته باشند؟ قدر مطلق، فاصله از صفر است؛ پس دو عدد با فاصلهٔ یکسان از صفر، یا برابرند یا قرینهٔ هم. مثلاً $5$ و $-5$ برابر نیستند، اما قدر مطلق هر دو $5$ است.

همین فکر برای عبارت‌های جبری هم کاربرد دارد. در معادلهٔ

$|f(x)|=|g(x)|$

باید هر دو حالت را بررسی کنیم:

• حالت برابر بودن: $f(x)=g(x)$
• حالت قرینه بودن: $f(x)=-g(x)$

هر معادله را جداگانه حل می‌کنیم؛ سپس جواب‌های هر دو را در یک مجموعه می‌گذاریم. اگر جوابی تکرار شد، فقط یک بار آن را می‌نویسیم.

دقت کن: لازم نیست یک مقدارِ $x$ هر دو حالت را هم‌زمان برقرار کند؛ برقرار بودن یکی از دو حالت کافی است. همچنین علامت منفیِ حالت دوم به کل عبارت تعلق دارد؛ مثلاً قرینهٔ $2x-3$ برابر $-(2x-3)$ است، نه $-2x-3$.

هر جواب را بپذیریم؟

در معادله‌ای که فقط یک طرف آن قدر مطلق دارد، هر عددی که از محاسبه به دست می‌آید لزوماً جواب نیست! قدر مطلق همیشه نامنفی است؛ پس طرف دیگر هم باید نامنفی باشد.

برای معادلهٔ $|x-1|=4-3x$، پیش از حل می‌دانیم که باید $4-3x\geq0$ باشد. همچنین اگر قدر مطلق را با تعریف آن باز کنیم، دو حالت داریم:

• اگر $x\geq1$ باشد، عبارت $|x-1|$ را با $x-1$ جایگزین می‌کنیم.
• اگر $x<1$ باشد، آن را با $1-x$ جایگزین می‌کنیم.

جواب هر حالت باید شرط همان حالت را داشته باشد. اگر عدد به‌دست‌آمده شرط را نداشت، آن را کنار می‌گذاریم.

در روش به توان دو رساندن هم مراقب باش: دو عدد قرینه، مثل $2$ و $-2$، مربع یکسان دارند، ولی برابر نیستند! پس ممکن است معادلهٔ جدید جواب اضافی داشته باشد. هر جواب پیشنهادی را در معادلهٔ اصلی جای‌گذاری کن؛ فقط وقتی دو طرف برابر شدند، آن را بپذیر.

دیدن جواب روی نمودار

قدر مطلق، مقدار منفی را مثبت می‌کند و مقدار نامنفی را تغییر نمی‌دهد. پس برای رسم $y=|f(x)|$ از روی نمودار $y=f(x)$، این کارها را انجام بده:

• بخش‌های روی محور افقی و بالای آن را دست‌نخورده نگه دار.
• بخش‌های زیر محور افقی را مثل تصویر در آینه، نسبت به همان محور به بالا برگردان.

در این قرینه‌سازی، طول هر نقطه ثابت می‌ماند و فقط علامت عرضِ نقاط پایین محور عوض می‌شود؛ بنابراین نمودار جدید هیچ بخشی زیر محور افقی ندارد. حواست باشد که قرار نیست کل نمودار را قرینه کنی!

حالا نمودار چه کمکی به حل معادله می‌کند؟ در معادلهٔ $|f(x)|=g(x)$ دنبال جاهایی هستیم که دو نمودارِ $y=|f(x)|$ و $y=g(x)$ ارتفاع یکسان دارند؛ یعنی یکدیگر را قطع می‌کنند. جواب‌های معادله، طول نقاط تقاطع‌اند، نه عرض آن‌ها. اگر دو نمودار هیچ نقطهٔ مشترکی نداشته باشند، معادله هم جوابی ندارد.

فاصله روی محور

فرض کن دو ایستگاه روی یک جادهٔ مستقیم قرار دارند. برای پیدا کردن فاصله‌شان، مهم نیست از کدام ایستگاه شروع کنی؛ طول مسیر در هر دو جهت یکسان است.

روی محور اعداد هم فاصله یعنی طول پاره‌خط بین دو نقطه، نه جهت حرکت. اگر مختصات دو نقطهٔ $A$ و $B$ برابر $x_A$ و $x_B$ باشد، داریم:

$|AB|=|x_B-x_A|$

یعنی مختصات یکی را از دیگری کم می‌کنیم و قدر مطلقِ نتیجه را می‌گیریم. قدرمطلق باعث می‌شود فاصله منفی نباشد؛ اگر دو نقطه یکی باشند، فاصله‌شان صفر است.

چرا ترتیب تفریق مهم نیست؟ با جابه‌جا کردن دو نقطه، فقط علامت تفاضل عوض می‌شود و قدرمطلق آن ثابت می‌ماند:

$|x_B-x_A|=|x_A-x_B|$

پس اگر حاصل تفریق منفی شد، محاسبه لزوماً اشتباه نیست؛ فقط هنوز باید قدرمطلق را اعمال کنی.

فاصله در صفحه

روی نقشهٔ مختصاتی، برای رفتن از یک نقطه به نقطهٔ دیگر می‌توانی ابتدا افقی و سپس عمودی حرکت کنی؛ اما فاصلهٔ مستقیم دو نقطه، مجموع این دو مسیر نیست.

دو نقطهٔ $A(x_1,y_1)$ و $B(x_2,y_2)$ را در نظر بگیر. اگر از آن‌ها خط‌های افقی و عمودی رسم کنیم، یک مثلث قائم‌الزاویه می‌سازیم که پاره‌خط $AB$ وتر آن است. طول ضلع افقی برابر $|x_2-x_1|$ و طول ضلع عمودی برابر $|y_2-y_1|$ است.

طبق رابطهٔ فیثاغورس داریم:

$AB^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$

چون فاصله نامنفی است، ریشهٔ نامنفی را می‌گیریم:

$AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

پس راه کار این است: تفاضل طول‌ها و تفاضل عرض‌ها را جداگانه حساب کن، هرکدام را به توان دو برسان، جمع کن و جذر بگیر. منفی شدن یک تفاضل اشکالی ندارد؛ توان دوم آن نامنفی می‌شود.

هم‌فاصله بودن و عمودمنصف

فرض کن دو خانه در دو سر یک پاره‌خط باشند و بخواهیم جایی برای یک ایستگاه پیدا کنیم که از هر دو خانه به یک اندازه فاصله داشته باشد. آیا فقط وسط پاره‌خط مناسب است؟ نه؛ نقطه‌های دیگری هم این ویژگی را دارند!

عمودمنصف خطی است که از وسط پاره‌خط می‌گذرد و بر آن عمود است. هر نقطه روی این خط از دو سر پاره‌خط فاصلهٔ برابر دارد؛ برعکس، هر نقطه‌ای که از دو سر پاره‌خط هم‌فاصله باشد، روی عمودمنصف آن است.

پس برای بررسی جای نقطهٔ $P$ نسبت به عمودمنصف پاره‌خط $AB$، لازم نیست ابتدا معادلهٔ خط را پیدا کنیم؛ کافی است بررسی کنیم آیا $PA=PB$ است یا نه.

یک راه کوتاه‌تر هم داریم: مقایسهٔ مربع فاصله‌ها. چون فاصله‌ها نامنفی‌اند، برابری $PA^2$ و $PB^2$ دقیقاً به معنای برابری خود فاصله‌هاست؛ بنابراین می‌توانیم محاسبهٔ ریشه‌ها را کنار بگذاریم. دقت کن: روی عمودمنصف بودن لزوماً به معنای وسط پاره‌خط بودن نیست.

پیدا کردن نقطهٔ وسط

اگر دو دوست از دو سر یک مسیر مستقیم حرکت کنند و بخواهند درست وسط مسیر به هم برسند، محل ملاقاتشان کجاست؟ روی نقشهٔ مختصاتی، برای پیدا کردن این نقطه باید در هر دو جهت افقی و عمودی، نیمهٔ راه را پیدا کنیم.

فرض کن دو سر پاره‌خط، $A(x_A,y_A)$ و $B(x_B,y_B)$ باشند. اگر $M$ وسط پاره‌خط باشد، طول آن میانگین طول‌های دو سر و عرض آن میانگین عرض‌های دو سر است:

پس طول را با طول و عرض را با عرض جمع کن و هر مجموع را بر $2$ تقسیم کن. مختصات منفی هم با همان علامت خود وارد جمع می‌شوند.

دقت کن: اینجا به دنبال «جای نقطه» هستیم، نه «اندازهٔ فاصله»؛ بنابراین قدرمطلق نمی‌گیریم. منفی بودن یکی از مختصات وسط هیچ اشکالی ندارد. همچنین، اگر دو سر پاره‌خط هم‌عرض باشند، عرض نقطهٔ وسط نیز همان مقدار خواهد بود.

فاصله یعنی کوتاه‌ترین راه

تصور کن کنار یک جادهٔ مستقیم ایستاده‌ای و می‌خواهی با کمترین پیاده‌روی به جاده برسی. می‌توانی مسیرهای زیادی انتخاب کنی، اما مسیر عمود بر جاده کوتاه‌ترین است؛ پس طول همین مسیر را فاصلهٔ تو از جاده می‌نامیم.

حالا نقطهٔ $A$ را بیرون خط $d$ در نظر بگیر. از $A$ بر خط عمود رسم کن و محل برخورد را $H$ بنام. فاصلهٔ نقطه از خط، طول پاره‌خط $AH$ است، نه طول هر پاره‌خطی که نقطه را به خط وصل کند.

چرا مسیر مایل بلندتر است؟ نقطهٔ دیگری مثل $M$ روی خط انتخاب کن. مثلث $AHM$ در $H$ قائم‌الزاویه است. پاره‌خط مایل $AM$ وتر این مثلث است و وتر از هر ضلع دیگر بلندتر است؛ بنابراین $AM>AH$.

پس برای مشخص‌کردن فاصله، اول دنبال پای عمود بگرد، نه یک نقطهٔ دلخواه روی خط!

از معادله تا فاصله

برای پیدا کردن طول مسیر عمود، لازم نیست هر بار معادلهٔ عمود و محل برخورد دو خط را پیدا کنیم. یک فرمول، این کار را کوتاه می‌کند.

اگر نقطهٔ ما $A(x_0,y_0)$ و معادلهٔ خط $ax+by+c=0$ باشد، فاصله برابر است با:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

اول معادله را آماده کن: همهٔ جمله‌ها را به یک طرف ببر تا طرف دیگر صفر شود. مثلاً برای خط $y=2x+3$ می‌نویسیم $2x-y+3=0$؛ پس ضرایب عبارت‌اند از $a=2$، $b=-1$ و $c=3$. علامت منفی هم بخشی از ضریب است!

بعد جای‌گذاری کن: در صورت کسر، مختصات نقطه را به‌جای $x$ و $y$ بگذار و قدرمطلقِ حاصل را بگیر. در مخرج، فقط ضریب‌های $x$ و $y$ را مربع کن، جمع کن و جذر بگیر؛ ثابتِ $c$ در مخرج نمی‌آید.

چرا قدرمطلق؟ چون حاصل جای‌گذاری ممکن است منفی باشد، اما فاصله منفی نیست. اگر حاصل صفر شود، نقطه روی خط قرار دارد و فاصله‌اش از خط صفر است.

یک فاصله، دو خط

تا اینجا معادلهٔ خط را می‌دانستیم و فاصله را حساب می‌کردیم. حالا اگر فاصله معلوم باشد، اما ثابتِ معادلهٔ خط را ندانیم، چه می‌کنیم؟ باز هم از همان فرمول فاصله کمک می‌گیریم؛ این بار مجهول در صورتِ کسر باقی می‌ماند.

برای خط $ax+by+k=0$ و نقطهٔ $A(x_0,y_0)$، اگر فاصلهٔ معلوم $r$ باشد، می‌نویسیم:

$d=\frac{|ax_0+by_0+k|}{\sqrt{a^2+b^2}}=r$

پس:

$|ax_0+by_0+k|=r\sqrt{a^2+b^2}$

اگر فاصله مثبت باشد، دو حالت را باید بررسی کنیم: عبارت داخل قدرمطلق می‌تواند برابرِ مقدارِ مثبتِ سمت راست یا قرینهٔ آن باشد. هر حالت، یک مقدار برای $k$ می‌دهد.

تصور کن می‌خواهیم جاده‌ای مستقیم با جهت مشخص بسازیم که فاصله‌اش از یک خانه مقدار معینی باشد. جاده می‌تواند در یک سوی خانه یا سوی دیگر آن قرار بگیرد؛ به همین دلیل دو خط موازی به دست می‌آید. اگر فاصله صفر باشد، دو حالت یکی می‌شوند و خط از خودِ نقطه می‌گذرد.

فاصلهٔ دو خط موازی

دو خط موازی را مثل دو لبهٔ یک جادهٔ مستقیم تصور کن؛ فاصلهٔ عمودی آن‌ها در همه‌جا یکسان است. پس کافی است یک نقطه روی یکی از خط‌ها انتخاب کنیم و فاصلهٔ آن را از خط دیگر حساب کنیم.

اگر معادله‌های دو خط به صورت $ax+by+c=0$ و $ax+by+c'=0$ باشند، نقطهٔ $P(x_0,y_0)$ روی خط اول، رابطهٔ $ax_0+by_0=-c$ را برقرار می‌کند. با جای‌گذاری این رابطه در فرمول فاصلهٔ نقطه از خط دوم، داریم:

$d=\frac{|ax_0+by_0+c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{|-c+c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

بنابراین فاصلهٔ دو خط برابر است با:

$\boxed{d=\frac{|c-c'|}{\sqrt{a^2+b^2}}}$

پیش از استفاده از این فرمول، ضرایب متناظرِ دو معادله باید یکسان باشند. موازی بودن به‌تنهایی کافی نیست؛ گاهی باید یکی از معادله‌ها را در عددی ضرب کنیم تا ضرایب $x$ و $y$ در هر دو معادله دقیقاً برابر شوند.