خلاصه درس فصل ۲ هندسه یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

طولپا یعنی چه؟

فرض کن طرحی روی یک ورق شفاف داری و ورق را بدون کشیدن یا تا کردن جابه‌جا می‌کنی. جای طرح عوض می‌شود، اما فاصلهٔ نقطه‌هایش از هم تغییر نمی‌کند. این تصویر خوبی برای فهمیدن تبدیل طولپا است.

تبدیل، به هر نقطهٔ صفحه دقیقاً یک تصویر نسبت می‌دهد. اگر فاصلهٔ هر دو نقطهٔ دلخواه با فاصلهٔ تصویرهایشان برابر باشد، تبدیل را طولپا می‌نامیم؛ یعنی اگر تصویرهای $A$ و $B$، نقطه‌های $A'$ و $B'$ باشند، داریم:

$AB=A'B'$

حالا چرا زاویه هم حفظ می‌شود؟ روی دو ضلع زاویهٔ $AOB$، نقطه‌های $A$ و $B$ را انتخاب کن. در یک تبدیل طولپا، هر سه ضلع مثلث $OAB$ با ضلع‌های متناظر مثلث $O'A'B'$ برابرند. پس دو مثلث به حالت سه‌ضلع هم‌نهشت‌اند و زاویه‌های متناظرشان هم‌اندازه‌اند:

$\angle AOB=\angle A'O'B'$

پس حفظ اندازهٔ زاویه، نتیجهٔ حفظ فاصله‌هاست؛ نه شرطی جداگانه که لازم باشد آن را فرض کنیم.

ساختن تصویر آینه‌ای

فرض کن خطی روی کاغذ، جای آینه باشد. تصویر یک نقطه را کجا می‌گذاری؟ فقط «آن طرف خط» بودن کافی نیست؛ فاصله و راستا هم مهم‌اند.

برای ساختن بازتاب نقطهٔ $A$ نسبت به خط $d$، این مسیر را دنبال کن:

• از $A$ بر خط $d$ عمود رسم کن و پای عمود را $H$ بنام.
• پاره‌خط $AH$ را از سمت $H$ ادامه بده.
• در سوی دیگر محور، نقطهٔ $A'$ را طوری بگذار که $HA'=HA$ باشد.

پس خط $d$ هم بر پاره‌خط $AA'$ عمود است و هم از وسط آن می‌گذرد؛ یعنی عمودمنصف آن است. دقت کن فاصله‌ها را روی خط عمود می‌سنجیم، نه روی یک مسیر مایل دلخواه.

برای بازتاب دادن یک پاره‌خط نیز کافی است تصویر دو سر آن را با همین روش پیدا کنی و به هم وصل کنی؛ لازم نیست تصویر تک‌تک نقطه‌هایش را جداگانه بسازی.

کدام نقطه‌ها جابه‌جا نمی‌شوند؟

تصور کن کاغذی را از روی یک خط تا می‌کنی. نقطه‌هایی که دقیقاً روی خطِ تا هستند، کجا می‌روند؟ همان‌جا می‌مانند! در بازتاب هم نقاط روی محور چنین وضعی دارند.

اگر نقطهٔ $M$ روی محور بازتاب باشد، تصویرش خودِ $M$ است؛ یعنی $S(M)=M$. به چنین نقطه‌ای نقطهٔ ثابت تبدیل می‌گوییم. «ثابت» یعنی نقطه و تصویرش بر هم منطبق‌اند، نه اینکه فقط فاصله‌اش تا محور تغییر نکند.

حالا نقطه‌ای بیرون محور را در نظر بگیر. تصویر آن در سوی دیگر محور قرار می‌گیرد؛ پس نمی‌تواند بر خود نقطه منطبق باشد. بنابراین فقط نقاط روی محور بازتاب ثابت‌اند.

چون روی یک خط بی‌شمار نقطه وجود دارد، هر بازتاب نسبت به خط هم بی‌شمار نقطهٔ ثابت دارد. برای پیدا کردن این نقطه‌ها لازم نیست تصویر تک‌تک نقاط را بسازی؛ کافی است ببینی کدام‌ها روی محورند.

چرا بازتاب طولپاست؟

تصویر آینه‌ای یک خط‌کش، کوتاه‌تر یا بلندتر از خود آن نیست. برای اثبات این ویژگی، از خاصیت عمودمنصف کمک می‌گیریم.

فرض کن $A'$ بازتاب $A$ نسبت به محور $d$ باشد. هر نقطهٔ $M$ روی محور، از $A$ و $A'$ فاصلهٔ برابر دارد؛ چون $d$ عمودمنصف پاره‌خط $AA'$ است. پس $MA=MA'$.

حالا پاره‌خط $AB$ و تصویرش $A'B'$ را در نظر بگیر:

• اگر پاره‌خط، محور را در $M$ قطع کند، نقطهٔ ثابت $M$ بین دو سرِ تصویر هم قرار می‌گیرد. بنابراین طول‌ها از جمع فاصله‌ها به دست می‌آیند:

$AB=AM+MB=A'M+MB'=A'B'$.

• اگر فقط امتداد پاره‌خط به محور برسد، طول هر پاره‌خط از تفاضل فاصله‌های دو سر آن تا $M$ به دست می‌آید. چون این فاصله‌ها در بازتاب برابر می‌مانند، تفاضلشان هم برابر می‌ماند.
• اگر پاره‌خط با محور موازی باشد، دو سر آن به یک فاصله از محورند و همراه تصویرهایشان رأس‌های یک مستطیل را می‌سازند؛ ضلع‌های روبه‌روی مستطیل برابرند.

پاره‌خط روی محور هم اصلاً جابه‌جا نمی‌شود. پس در همهٔ حالت‌ها $AB=A'B'$؛ یعنی بازتاب طولپاست و در نتیجه اندازهٔ زاویه‌ها را هم حفظ می‌کند.

طول ثابت، شیب گاهی متفاوت

یک خط مورب را در آینه تصور کن؛ تصویرش ممکن است به سمت دیگری مایل شود، بدون اینکه طول هیچ پاره‌خطی تغییر کند. پس حفظ طول به معنی حفظ شیب نیست.

برای بررسی، خط $n$ را نسبت به محور بازتاب $d$ در نظر بگیر:

• موازی محور: همهٔ نقطه‌های خط در فاصلهٔ یکسانی از محورند. تصویر آن‌ها خطی موازی خط اولیه در سوی دیگر محور می‌سازد؛ پس شیب حفظ می‌شود.
• عمود بر محور: تصویر هر نقطه روی همان خط عمود قرار می‌گیرد؛ بنابراین تصویر خط، خود آن خط است و راستایش تغییر نمی‌کند. البته این به معنی ثابت ماندن تک‌تک نقطه‌هایش نیست!
• نه موازی و نه عمود: خط و تصویرش در نقطه‌ای روی محور به هم می‌رسند، ولی بر هم منطبق نیستند؛ پس راستا و شیب یکسانی ندارند.

بنابراین، بازتاب همیشه طول و اندازهٔ زاویه‌ها را حفظ می‌کند، اما شیب خط را فقط در حالت‌های موازی یا عمود بودن بر محور حفظ می‌کند. برای خط قائم که شیب عددی ندارد، از حفظ راستا صحبت می‌کنیم.

یک دستور برای همهٔ نقطه‌ها

وقتی تصویری را روی صفحهٔ گوشی جابه‌جا می‌کنی، بدون اینکه آن را بچرخانی، همهٔ نقطه‌های تصویر یک دستور مشترک می‌گیرند: به یک اندازه، در یک راستا و در یک جهت حرکت کنید! این همان ایدهٔ انتقال است.

بردار انتقال $\vec{v}$ این دستور را مشخص می‌کند. اگر تصویر نقطهٔ $A$ را $A'$ بنامیم، باید داشته باشیم:

$\overrightarrow{AA'}=\vec{v}$

یعنی برداری که از نقطهٔ اولیه به تصویرش می‌کشیم، با بردار انتقال هم‌اندازه، هم‌راستا و هم‌جهت است. فقط برابر بودن اندازه کافی نیست؛ حرکت در جهت مخالف، دستور دیگری است.

برای پیدا کردن تصویر یک نقطه، ابتدای برداری برابر با $\vec{v}$ را روی آن نقطه قرار بده؛ انتهای بردار، تصویر نقطه است. برای انتقال یک مثلث هم همین کار را برای هر سه رأس انجام بده و تصویر رأس‌ها را به هم وصل کن. برای هیچ رأسی دستور جداگانه‌ای نداریم.

چرا طول‌ها حفظ می‌شوند؟

وقتی یک خط‌کش را بدون چرخاندن روی میز می‌لغزانی، فاصلهٔ دو سرش عوض نمی‌شود. انتقال هم همین ویژگی را دارد؛ بیایید دلیلش را ببینیم.

پاره‌خط $AB$ را انتقال می‌دهیم تا $A'B'$ به دست آید. طبق تعریف انتقال، بردارهای $\overrightarrow{AA'}$ و $\overrightarrow{BB'}$ برابرند.

اگر پاره‌خط با بردار انتقال موازی نباشد، در چهارضلعی $ABB'A'$، دو ضلع روبه‌روی $AA'$ و $BB'$ موازی و مساوی‌اند؛ پس چهارضلعی متوازی‌الاضلاع است. ضلع‌های روبه‌روی دیگرش هم برابرند، یعنی $AB=A'B'$.

اگر پاره‌خط با بردار انتقال موازی باشد، این چهارضلعی تشکیل نمی‌شود؛ همهٔ نقطه‌ها روی یک خط‌اند. برای نمونه، اگر ترتیب نقطه‌ها $A,A',B,B'$ باشد، داریم:

$AB=AA'+A'B$

$A'B'=A'B+BB'$

چون $AA'=BB'$، دو مجموع برابرند. در ترتیب‌های دیگر نیز با جمع یا تفاضل طول‌ها همین نتیجه به دست می‌آید.

پس انتقال فاصلهٔ هر دو نقطه را حفظ می‌کند؛ به چنین تبدیلی طولپا می‌گوییم.

شیب هم تغییر نمی‌کند

وقتی خطی را انتقال می‌دهیم، جای آن ممکن است عوض شود، اما راستای آن تغییر نمی‌کند؛ مثل لبهٔ یک خط‌کش که آن را بدون چرخاندن روی میز می‌لغزانی.

برای دیدن دلیل، دو نقطهٔ متمایز $A$ و $B$ را روی خط انتخاب کن و تصویرشان را $A'$ و $B'$ بنام. دو حالت داریم:

• بردار انتقال با خط موازی نیست: چهارضلعی $ABB'A'$ متوازی‌الاضلاع است؛ پس ضلع‌های روبه‌روی $AB$ و $A'B'$ موازی‌اند. بنابراین خط تصویر با خط اولیه موازی است.
• بردار انتقال با خط موازی است: هر دو نقطه در راستای همان خط جابه‌جا می‌شوند؛ پس تصویرها روی خط اولیه می‌مانند و خط تصویر بر آن منطبق است.

پس انتقال، شیب خط را حفظ می‌کند؛ جابه‌جایی را با چرخش اشتباه نگیر! برای خط عمودی هم راستا حفظ می‌شود و تصویر همچنان عمودی است، هرچند شیب عددیِ خط عمودی تعریف نمی‌شود.

دوران را چگونه بسازیم؟

وقتی عقربهٔ ساعت می‌چرخد، نوک آن جابه‌جا می‌شود، اما فاصله‌اش از مرکز ساعت ثابت می‌ماند. در دوران هم همین اتفاق می‌افتد: برای مشخص‌کردن تصویر یک نقطه، باید مرکز، اندازهٔ زاویه و جهت چرخش را بدانیم.

برای ساختن تصویر نقطهٔ $A$ در دوران به مرکز $O$ و زاویهٔ $\alpha$:

• نیم‌خط $OA$ را رسم کن.
• از این نیم‌خط، در جهت خواسته‌شده، زاویه‌ای به اندازهٔ $\alpha$ بساز.
• روی نیم‌خط جدید، نقطهٔ $A'$ را چنان علامت بزن که $OA'=OA$ باشد.

پس دو شرط را هم‌زمان بررسی می‌کنیم: زاویه و جهت چرخش درست باشد و فاصله از مرکز تغییر نکند. تنها رسم زاویه کافی نیست؛ نقطهٔ تصویر نباید به مرکز نزدیک‌تر یا از آن دورتر شود.

خودِ مرکز، یعنی $O$، هنگام دوران سر جای خود می‌ماند. برای دوران‌دادن یک چندضلعی هم کافی است تصویر رأس‌هایش را با همین روش بسازی و سپس آن‌ها را به همان ترتیب به هم وصل کنی.

چرخیدن بدون تغییر اندازه

وقتی درِ اتاق می‌چرخد، فاصلهٔ دو نقطه روی آن تغییر نمی‌کند. دوران هندسی هم همین ویژگی را دارد: شکل می‌چرخد، اما طول پاره‌خط‌هایش ثابت می‌ماند. به این ویژگی «طول‌پا بودن» می‌گوییم.

برای فهم دلیل، پاره‌خط $AB$ و تصویرش $A'B'$ را در دورانی به مرکز $O$ در نظر بگیر. ابتدا فرض کن $O$ روی خط $AB$ نیست. مرکز را به دو سر پاره‌خط و تصویرهایشان وصل کن. طبق تعریف دوران داریم:

$OA=OA'$ و $OB=OB'$

از طرفی، چون هر دو نیم‌خط $OA$ و $OB$ به یک اندازه و در یک جهت می‌چرخند، زاویهٔ بین آن‌ها تغییر نمی‌کند؛ پس:

$\angle AOB=\angle A'OB'$

بنابراین مثلث‌های $OAB$ و $OA'B'$ به حالت ضلع، زاویه، ضلع هم‌نهشت‌اند و نتیجه می‌گیریم $AB=A'B'$.

اگر مرکز روی پاره‌خط یا امتداد آن باشد، به‌جای هم‌نهشتی، از جمع یا تفاضل فاصله‌های دو سر تا مرکز استفاده می‌کنیم؛ باز هم همان برابری به دست می‌آید. پس دورتر بودن یک پاره‌خط از مرکز، باعث کشیده‌تر شدن تصویرش نمی‌شود.

ردیابی مرکز دوران

فرض کن طرحی را روی کاغذ چرخانده‌اند و فقط طرح اولیه و تصویرش را داری. چطور مرکز پنهانِ این چرخش را پیدا کنی؟

نقطهٔ $A$ و تصویرش $A'$ را در نظر بگیر. از تعریف دوران می‌دانیم $OA=OA'$. پس مرکز دوران، یعنی $O$، از دو سر پاره‌خط $AA'$ فاصلهٔ برابر دارد. هر نقطه‌ای که از دو سر یک پاره‌خط فاصلهٔ برابر داشته باشد، روی عمودمنصف آن است. بنابراین مرکز دوران روی عمودمنصف $AA'$ قرار می‌گیرد؛ نه لزوماً روی خود پاره‌خط!

اما یک عمودمنصف به‌تنهایی مرکز را مشخص نمی‌کند. برای پیدا کردن مرکز:

• دو نقطه و تصویرهای متناظرشان، مانند $A$ و $A'$ و نیز $B$ و $B'$، را انتخاب کن.
• عمودمنصف‌های $AA'$ و $BB'$ را رسم کن.
• اگر این دو عمودمنصف متمایز باشند، محل تقاطعشان همان مرکز دوران است.

این روش برای دورانی است که نقطه‌ها را به جای اولیه برنگرداند؛ همچنین نقطه‌های انتخابی نباید خودِ مرکز باشند. اگر دو عمودمنصف بر هم منطبق شدند، جفت نقطهٔ متناظر دیگری انتخاب کن.

از دو بازتاب تا یک دوران

فرض کن دو خط $d_1$ و $d_2$ در نقطهٔ $O$ یکدیگر را قطع می‌کنند. نقطهٔ $A$ را اول نسبت به $d_1$ بازتاب می‌دهیم تا $A'$ ساخته شود؛ بعد همین تصویر را نسبت به $d_2$ بازتاب می‌دهیم تا $A''$ به دست آید.

نتیجهٔ این دو بازتاب، یک دوران حول $O$ است. چرا؟ چون $O$ روی هر دو خط بازتاب است، در هر دو بازتاب ثابت می‌ماند و فاصله‌ها از آن حفظ می‌شوند؛ پس $OA=OA'=OA''$. از طرف دیگر، هر خط بازتاب نیمساز زاویهٔ میان نیم‌خطِ وصل‌کنندهٔ مرکز به نقطه و نیم‌خطِ وصل‌کنندهٔ مرکز به تصویر آن است. در نتیجه، چرخش نهایی دو برابر زاویهٔ بین دو خط می‌شود.

اگر زاویهٔ بین خط‌ها $\theta$ باشد، زاویهٔ دوران $2\theta$ است. جهت را هم فراموش نکن: از خطِ بازتاب اول به خطِ بازتاب دوم نگاه کن؛ دوران در همان جهت، با دو برابر زاویه انجام می‌شود. اگر ترتیب بازتاب‌ها را عوض کنی، جهت دوران برعکس می‌شود. این نتیجه برای همهٔ نقاط شکل برقرار است، نه فقط یک رأس.

تصویر یک نقطه را پیدا کن

فرض کن نقطهٔ $O$ روی صفحه ثابت است و می‌خواهیم تصویر نقطهٔ $M$ را در تجانس با نسبت $k\ne 0$ پیدا کنیم. تصویر را $M'$ می‌نامیم. برای تعیین جای آن، دو پرسش داریم: چقدر از مرکز فاصله دارد؟ در کدام طرف مرکز است؟

ابتدا خط گذرنده از $O$ و $M$ را رسم کن؛ تصویر هم روی همین خط قرار می‌گیرد. سپس فاصلهٔ تصویر از مرکز را با رابطهٔ زیر پیدا کن:

$OM'=|k|\times OM$

قدر مطلق باعث می‌شود فاصله همیشه نامنفی باشد. حالا علامت نسبت را بررسی کن:

• اگر $k>0$ باشد، تصویر روی نیم‌خط $OM$ است؛ یعنی $M$ و $M'$ در یک طرف مرکزند.
• اگر $k<0$ باشد، تصویر در طرف دیگر مرکز است؛ یعنی $O$ بین $M$ و $M'$ قرار می‌گیرد.

مثل این است که روی یک مسیر مستقیم، فاصله‌ات از یک نشانه را تغییر بدهی: قدر مطلق نسبت می‌گوید چقدر دور شوی و علامت آن می‌گوید کدام طرف نشانه بایستی. نسبت منفی، فاصلهٔ منفی نمی‌سازد؛ طرف تصویر را عوض می‌کند.

اندازه‌ها چگونه تغییر می‌کنند؟

فرض کن یک طرح مربعی را با تجانس بزرگ یا کوچک می‌کنی. همهٔ طول‌ها در $|k|$ ضرب می‌شوند؛ یعنی برای هر پاره‌خط داریم:

$A'B'=|k|\times AB$

اما مساحت چطور؟ مساحت مربع از ضرب طول ضلع در خودش به دست می‌آید؛ پس وقتی هر ضلع در $|k|$ ضرب شود، مساحت در $|k|^2=k^2$ ضرب می‌شود. این قاعده برای هر شکل برقرار است:

$S'=k^2S$

بنابراین برای تشخیص تغییر اندازه، به قدر مطلق نسبت نگاه کن:

• اگر $0<|k|<1$ باشد، تصویر کوچک‌تر می‌شود؛ این حالت انقباض است.
• اگر $|k|>1$ باشد، تصویر بزرگ‌تر می‌شود؛ این حالت انبساط است.

منفی بودن نسبت، به‌تنهایی نشانهٔ کوچک شدن نیست؛ علامت فقط طرف قرار گرفتن تصویر نسبت به مرکز را تعیین می‌کند.

تجانس تنها وقتی طول‌پا است که $|k|=1$؛ یعنی $k=1$ یا $k=-1$. در این دو حالت، طول‌ها و مساحت تغییر نمی‌کنند.

خط‌ها و زاویه‌های پایدار

اگر تصویر یک مثلث در تجانس بزرگ‌تر یا کوچک‌تر شود، آیا گوشه‌هایش هم بازتر یا بسته‌تر می‌شوند؟ نه؛ تجانس اندازهٔ زاویه‌ها را حفظ می‌کند. برای فهمیدن دلیلش، اول به خط‌ها نگاه کنیم.

خطی مثل $AB$ را در نظر بگیر. اگر مرکز تجانس، یعنی $O$، روی این خط باشد، تصویر نقطه‌های خط هم روی همان خط قرار می‌گیرد؛ پس خط و تصویرش منطبق‌اند. اگر مرکز بیرون خط باشد، تصویر خط با آن موازی است. بنابراین در هر دو حالت، شیب خط تغییر نمی‌کند.

حالا زاویهٔ $\widehat{ABC}$ را تصور کن. در تصویر آن، هر ضلع با ضلع متناظر خود موازی یا هم‌خط است. اگر نسبت تجانس منفی باشد، جهت هر دو ضلع با هم برعکس می‌شود، نه فقط یکی؛ پس باز هم اندازهٔ زاویه همان می‌ماند:

$\widehat{A'B'C'}=\widehat{ABC}$

مثلاً در بزرگ‌کردن یک طرح با تجانس، ضلع‌های یک گوشه بلندتر می‌شوند، اما میزان بازشدگی آن گوشه تغییر نمی‌کند. تغییر طول را با تغییر زاویه اشتباه نگیر!

تشابه کافی نیست

دو عکس از یک تصویر می‌توانند اندازه‌های متفاوتی داشته باشند و همچنان متشابه باشند. اما آیا حتماً یکی با تجانس از دیگری به دست آمده است؟ نه؛ جای قرار گرفتن آن‌ها هم مهم است.

در تجانس، زاویه‌ها حفظ می‌شوند و همهٔ طول‌ها با یک ضریب مشترک تغییر می‌کنند؛ پس شکل و تصویرش همیشه متشابه‌اند. ولی تشابه به‌تنهایی وجود یک مرکز تجانس را تضمین نمی‌کند.

برای بررسی تجانس، رأس‌های متناظر را به هم وصل کن. اگر مرکز تجانسی وجود داشته باشد، خط‌های اتصال باید از آن مرکز بگذرند؛ همچنین نسبت فاصلهٔ تصویر هر رأس از مرکز به فاصلهٔ همان رأس از مرکز باید یکسان باشد و جای نقطه‌ها با علامت نسبت سازگار بماند.

مثلاً یک مثلث را فقط به اندازه‌ای غیرصفر جابه‌جا کن. مثلث جدید با قبلی هم‌نهشت و در نتیجه متشابه است؛ اما خط‌های اتصال رأس‌های متناظر، موازی و دست‌کم دو تای آن‌ها متمایزند؛ پس مرکز مشترکی ندارند. بنابراین این دو مثلث، با این تناظر، متشابه‌اند ولی متجانس نیستند.

چه نقطه‌هایی ثابت می‌مانند؟

فرض کن تصویری را با ابزاری بزرگ می‌کنی، اما مقیاس را دقیقاً برابر اندازهٔ اولیه می‌گذاری؛ هیچ نقطه‌ای جابه‌جا نمی‌شود! در تجانس هم اگر $k=1$ باشد، تصویر هر نقطه همان نقطه است. به تبدیلی که همهٔ نقطه‌های صفحه را ثابت نگه دارد، «تبدیل همانی» می‌گوییم.

چرا این اتفاق می‌افتد؟ برای هر نقطهٔ $M$ غیر از مرکز $O$، چون نسبت مثبت است، تصویر روی نیم‌خط $OM$ قرار می‌گیرد و چون $OM'=OM$، چاره‌ای جز $M'=M$ نیست.

حالا اگر $k\ne1$ باشد، چه؟ مرکز تجانس همیشه ثابت است، چون فاصله‌اش از خودش صفر است. اما هیچ نقطهٔ دیگری ثابت نمی‌ماند: اگر $k>0$ باشد، فاصلهٔ آن از مرکز تغییر می‌کند؛ اگر $k<0$ باشد، تصویر به طرف دیگر مرکز می‌رود.

به‌ویژه در $k=-1$، با اینکه فاصله از مرکز حفظ می‌شود، نقطه‌های غیرمرکزی جابه‌جا می‌شوند؛ پس این تجانس همانی نیست. یادت باشد: ثابت ماندن یک نقطه با ثابت ماندن همهٔ صفحه فرق دارد.

بازتاب و تقسیم برابر

فرض کن می‌خواهی کیکی را بین دو نفر تقسیم کنی؛ چطور مطمئن می‌شوی سهم‌ها برابرند؟ اگر نمای بالای کیک خط تقارن داشته باشد، راه ساده‌ای داری: برش روی همان خط!

در بازتاب، شکل و اندازه عوض نمی‌شوند. اگر با تا کردن تصویر کیک روی یک خط، دو طرف دقیقاً روی هم بیفتند، آن خط، خط تقارن است. پس دو بخش هم‌نهشت‌اند و مساحت برابری دارند. برای کیکی با ضخامت یکسان، این یعنی دو سهم برابر.

اما اگر شکل اولیه خط تقارن آشکاری نداشت چه؟ مانند ایدهٔ کیک کتاب، گاهی می‌توان بخشی از شکل را در ذهن بازتاب داد و با جابه‌جاکردن آن، شکلی هم‌مساحت ساخت که تقسیمش آسان‌تر باشد. سپس باید این تقسیم را در شکل اصلی دنبال کرد.

نکتهٔ مهم: هر خطی که از وسط شکل بگذرد، لزوماً خط تقارن نیست؛ معیار این است که دو طرف با بازتاب دقیقاً بر هم منطبق شوند.

زمین بزرگ‌تر، حصار ثابت

فرض کن دور زمینی حصار کشیده‌ای، اما بخشی از مرز آن مثل یک فرورفتگی به داخل زمین آمده است. آیا می‌شود با همان مقدار حصار، زمین بیشتری محصور کرد؟

یک پنج‌ضلعی $ABCDE$ را تصور کن که رأس $C$ به داخل آن فرورفته است. دو ضلع $BC$ و $CD$ دو لبهٔ این فرورفتگی‌اند. حالا $C$ را نسبت به خط $BD$ بازتاب بده و تصویرش را $C'$ بنام؛ یعنی فرورفتگی را به سمت بیرون برگردان.

بازتاب طول‌ها را حفظ می‌کند و چون $B$ و $D$ روی خط بازتاب‌اند، داریم:

$BC=BC' \qquad CD=C'D$

پس با جایگزینی دو ضلع قبلی با $BC'$ و $C'D$، مقدار حصار عوض نمی‌شود. سه ضلع دیگر هم دست‌نخورده‌اند و زمین همچنان پنج ضلع دارد.

اما مساحت بیشتر می‌شود: مثلثی که قبلاً از زمین کم شده بود، حالا به بیرون آن اضافه می‌شود. در این حالتِ ساده که ضلع‌های تازه با بقیهٔ مرز برخورد نمی‌کنند، افزایش مساحت برابر دو برابر مساحت مثلث $BCD$ است، نه فقط یک برابر آن.

راز کوتاه‌ترین مسیر

خانهٔ $A$ و اسطبل $B$ در یک سمت ساحل مستقیم $d$ هستند. می‌خواهیم نقطهٔ $M$ روی ساحل را طوری انتخاب کنیم که مسیر $AM+MB$ کمترین طول را داشته باشد. آیا باید همهٔ نقطه‌های ساحل را امتحان کنیم؟

ترفند هرون این است: مسیر شکسته را صاف کن! ابتدا قرینهٔ $A$ نسبت به ساحل را رسم کن و آن را $A'$ بنام. سپس پاره‌خط $A'B$ را بکش؛ محل برخورد آن با ساحل، همان $M$ مطلوب است.

چرا؟ چون هر نقطهٔ روی خط بازتاب از $A$ و $A'$ فاصلهٔ برابر دارد؛ پس $AM=A'M$. بنابراین:

$AM+MB=A'M+MB=A'B$

حالا نقطهٔ دیگری مثل $N$ روی ساحل انتخاب کن. باز هم $AN=A'N$، اما این بار مسیر از $A'$ به $B$ شکسته است. طبق نامساوی مثلث:

$AN+NB=A'N+NB>A'B$

پس هیچ انتخاب دیگری مسیر کوتاه‌تری نمی‌دهد. دقت کن: $A'$ فقط ابزار رسم و استدلال است؛ مسیر واقعی همچنان از خانه به ساحل و سپس به اسطبل می‌رود، نه به آن سوی رودخانه.

کنارگذاشتن بخش ثابت مسیر

فرض کن جاده‌ای از شهر $A$ به شهر $B$ می‌سازیم که باید بخشی از آن در امتداد ساحل مستقیم رودخانه باشد. مسیر را $A\to C\to D\to B$ می‌نامیم. طول و جهت بخش ساحلی $CD$ ثابت است؛ فقط جای آن را می‌توانیم عوض کنیم. چطور این بخش ثابت را موقتاً کنار بگذاریم؟

شهر $B$ را خلاف جهت حرکت از $C$ به $D$، به‌اندازهٔ طول $CD$ انتقال بده و تصویرش را $B'$ بنام. با همین انتقال، $D$ روی $C$ می‌افتد؛ پس پاره‌خط $DB$ به $CB'$ تبدیل می‌شود. چون انتقال طول را حفظ می‌کند، داریم:

$DB=CB'$

بنابراین طول مسیر اصلی برابر است با:

$AC+CD+DB=AC+CB'+CD$

چون $CD$ ثابت است، کافی است مسیر شکستهٔ $ACB'$ را کوتاه‌ترین کنیم. این همان مسئلهٔ هرون است: بازتاب $A$ را نسبت به ساحل پیدا کن و آن را به $B'$ وصل کن؛ محل برخورد این خط با ساحل، نقطهٔ $C$ است.

در پایان، از $C$ به‌اندازهٔ طول بخش ساحلی و در جهت تعیین‌شده پیش برو تا $D$ پیدا شود. بخش ثابت حذف نشده؛ فقط برای پیدا کردن مسیر، موقتاً کنار گذاشته شده است.

شکل ثابت، نقطه‌ها جابه‌جا

یک مثلث متساوی‌الاضلاعِ کاغذی را روی کاغذ بگذار و دورش خط بکش. حالا آن را حول مرکزش به اندازهٔ $120^\circ$ بچرخان. مثلث دوباره دقیقاً داخل همان خط قرار می‌گیرد؛ اما هر رأس به جای رأس دیگری رفته است!

در اینجا کل شکل بر خودش منطبق شده، نه اینکه تک‌تک نقطه‌ها سر جای قبلی خود مانده باشند. این تفاوت، کلید شناخت تبدیل تقارنی است.

تبدیل تقارنی یک شکل، تبدیلی طول‌پاست که تصویر آن شکل را دقیقاً بر خود شکل منطبق کند. طول‌پا یعنی فاصلهٔ هر دو نقطه در اثر تبدیل تغییر نکند. پس فقط شبیه‌بودن تصویر به شکل اولیه کافی نیست؛ تصویر باید دقیقاً همان جای شکل اولیه را بپوشاند.

اگر شکل را $F$ و تبدیل را $T$ بنامیم، این شرط را به‌صورت $T(F)=F$ می‌نویسیم. این رابطه دربارهٔ مجموعهٔ نقطه‌های شکل است؛ لازم نیست تصویر هر نقطه، خود همان نقطه باشد.

بازتاب و دوران

یک مثلث متساوی‌الاضلاع کاغذی را روی طرحی هم‌اندازهٔ خودش تصور کن. برای منطبق‌کردن دوبارهٔ آن بر طرح، دو راه داریم:

بازتاب: خطی از یک رأس و وسط ضلع مقابل بگذران. اگر مثلث را نسبت به این خط بازتاب دهیم، آن رأس ثابت می‌ماند و دو رأس دیگر جایشان عوض می‌شود؛ اما کل مثلث بر خودش منطبق است. پس این خط، محور تقارن بازتابی است. مثلث متساوی‌الاضلاع سه محور از این نوع دارد.

دوران: این بار مثلث را حول محل برخورد نیمسازهایش بچرخان. در جهت خلاف حرکت عقربه‌های ساعت، با زاویه‌های $120^\circ$، $240^\circ$ و $360^\circ$ دوباره بر خودش منطبق می‌شود. برای معرفی هر دوران، باید مرکز و زاویهٔ آن را مشخص کنیم.

برای شمارش، فقط یک جهت چرخش را در نظر می‌گیریم و زاویه‌ها را در بازهٔ $0<\alpha\leq360^\circ$ انتخاب می‌کنیم. مثلاً دوران $120^\circ$ ساعت‌گرد همان نتیجهٔ دوران $240^\circ$ پادساعت‌گرد را دارد؛ پس آن‌ها را دو تبدیل جدا نمی‌شماریم.

همانی را دوباره نشمار

یک عکس را روی صفحهٔ گوشی تصور کن. اگر آن را یک دور کامل بچرخانی، نه‌تنها کادر عکس، بلکه هر نقطهٔ آن دقیقاً به جای اولش برمی‌گردد. این ویژگیِ تبدیل همانی است: هر نقطه را به خود همان نقطه می‌برد.

در تقارن‌های دیگر ممکن است نقطه‌ها جابه‌جا شوند و فقط کل شکل بر خودش منطبق بماند؛ اما در تقارن همانی، تک‌تک نقطه‌ها سر جای خودشان هستند. پس هر شکلی تقارن همانی دارد، حتی شکلی نامنظم که هیچ خط تقارنی ندارد.

سه توصیف آشنا برای همانی داریم:

• دوران با زاویهٔ $360^\circ$؛
• انتقال با بردار صفر؛
• تجانس با نسبت $k=1$.

این‌ها سه اسم و توصیف برای یک نتیجه‌اند، نه سه تبدیل متفاوت؛ چون تصویر هر نقطه در هر سه دقیقاً یکسان است. بنابراین اگر دوران $360^\circ$ را شمرده‌ای، نباید انتقال با بردار صفر و تجانس با نسبت $k=1$ را دوباره به تعداد تقارن‌ها اضافه کنی.

نیم‌دور و مرکز تقارن

یک مستطیل کاغذی را تصور کن. اگر آن را حول محل برخورد قطرهایش نیم‌دور بچرخانی، دوباره دقیقاً جای قبلی‌اش را می‌پوشاند؛ هر رأس به جای رأس روبه‌رو می‌رود. پس این نقطه، مرکز تقارن مستطیل است.

نیم‌دور همان دوران با زاویهٔ $180^\circ$ است. اگر این دوران حول یک نقطه، شکل را بر خودش منطبق کند، شکل تقارن مرکزی دارد و آن نقطه مرکز تقارن آن است. لازم نیست هر نقطه سر جای خودش بماند؛ کافی است شکلِ نهایی با شکلِ اولیه منطبق شود.

برای بررسی یک نقطهٔ پیشنهادی، می‌توانی از نقطه‌ای روی شکل شروع کنی: درست در سوی مقابلِ مرکز و با همان فاصله، باید نقطه‌ای از شکل وجود داشته باشد. این شرط باید برای همهٔ نقطه‌های شکل برقرار باشد، نه فقط چند نقطهٔ انتخابی.

حواست باشد: داشتن تقارن دورانی با یک زاویهٔ دیگر، به‌تنهایی داشتن مرکز تقارن را ثابت نمی‌کند؛ آزمونِ مرکز تقارن، همان نیم‌دور است.

الگوی چندضلعی‌های منتظم

یک قابِ چندضلعی منتظم را تصور کن؛ همهٔ ضلع‌ها و زاویه‌هایش برابرند. اگر آن را حول مرکز بچرخانی تا هر رأس جای رأس بعدی بنشیند، دوباره بر خودش منطبق می‌شود. چون رأس‌ها به‌طور یکنواخت دور مرکز قرار دارند، کوچک‌ترین زاویهٔ دورانِ مثبت برابر است با:

$\frac{360^\circ}{n}$

با تکرار این گام تا یک دور کامل، $n$ تقارن دورانی داریم؛ دوران $360^\circ$ هم جزو آن‌هاست.

این شکل $n$ محور تقارن بازتابی هم دارد. اگر $n$ فرد باشد، هر محور از یک رأس و وسط ضلع روبه‌رو می‌گذرد. اگر $n$ زوج باشد، نیمی از محورها از رأس‌های روبه‌رو و نیم دیگر از وسط ضلع‌های روبه‌رو می‌گذرند. پس تعداد کل تبدیل‌های تقارنی برابر $2n$ است.

اما مرکز تقارن چطور؟ باید دوران $180^\circ$ یکی از دوران‌های مجاز باشد؛ یعنی با تعداد صحیحی گام به نیم‌دور برسیم. این تعداد گام برابر $\frac{n}{2}$ است و فقط برای $n$ زوج عدد صحیح می‌شود. پس فقط چندضلعی‌های منتظم با تعداد ضلع زوج مرکز تقارن دارند.

تقارنی که همیشه هست

یک کاغذ با شکلی دلخواه روی میز بگذار و جای آن را مشخص کن. اگر کاغذ را یک دور کامل بچرخانی، شکل دوباره دقیقاً در جای اولش قرار می‌گیرد؛ حتی اگر شکلی نامنظم باشد!

تبدیلی که هر نقطه را در جای خودش باقی بگذارد، تبدیل همانی نام دارد. دوران $360^\circ$، انتقال با بردار صفر و تجانس با نسبت $k=1$ همگی همین اثر را دارند. پس این‌ها سه تقارن متفاوت نیستند؛ سه راه برای توصیف یک تبدیل‌اند.

در شمارش تقارن‌های دورانی، همانی را دقیقاً یک بار حساب می‌کنیم. مثلاً دوران‌های $360^\circ$ و $720^\circ$ هر دو هر نقطه را به جای اولیه‌اش برمی‌گردانند؛ بنابراین دو تبدیل متفاوت به شمار نمی‌آیند. حتی شکلی که با هیچ دوران کوچک‌تر از یک دور کامل بر خودش منطبق نمی‌شود، باز هم تقارن همانی دارد.

الگوی تقارن چندضلعی‌های منتظم

فرض کن یک قابِ چندضلعی منتظم را دور مرکزش می‌چرخانی. برای اینکه هر رأس جای رأس بعدی بنشیند، باید یک دور کامل را به تعداد ضلع‌ها تقسیم کنی. پس کوچک‌ترین زاویهٔ دورانِ مثبت برابر است با $\frac{360^\circ}{n}$.

با تکرار همین چرخش، زاویه‌های تقارن دورانی به دست می‌آیند:

$\frac{360^\circ}{n},\;2\times\frac{360^\circ}{n},\;\ldots,\;n\times\frac{360^\circ}{n}=360^\circ$

بنابراین $n$ تقارن دورانی داریم؛ دوران همانی هم در همین شمارش آمده است و نباید دوباره شمرده شود.

برای بازتاب‌ها، جای خط‌ها به زوج یا فرد بودن تعداد ضلع‌ها بستگی دارد:

• اگر تعداد ضلع‌ها فرد باشد، از هر رأس و وسط ضلع مقابلش یک خط بازتاب می‌گذرد.
• اگر تعداد ضلع‌ها زوج باشد، نیمی از خط‌های بازتاب از رأس‌های روبه‌رو و نیمی از وسط ضلع‌های روبه‌رو می‌گذرند.

در هر دو حالت، تعداد خط‌های بازتاب $n$ است. پس تعداد کل تبدیل‌های تقارنی یک $n$ضلعی منتظم برابر است با:

$n+n=2n$

مرکز تقارن و زوج‌بودن

یک کاشی به شکل چندضلعی منتظم را تصور کن. اگر آن را دور مرکزش به اندازهٔ $180^\circ$ بچرخانی و دقیقاً جای قبلی‌اش قرار بگیرد، آن نقطه مرکز تقارن کاشی است. پس برای تشخیص مرکز تقارن، باید نیم‌دور را بررسی کنیم؛ نه هر دوران دلخواهی را.

در یک $n$ضلعی منتظم، کوچک‌ترین زاویهٔ دورانِ غیرهمانی برابر $\frac{360^\circ}{n}$ است. برای اینکه نیم‌دور هم از دوران‌های تقارنی باشد، باید تعداد صحیحی از این گام‌ها برداریم. تعداد گام‌های لازم برابر است با:

$\frac{180^\circ}{360^\circ/n}=\frac{n}{2}$

این تعداد فقط وقتی عدد صحیح است که $n$ زوج باشد. در این حالت، هر رأس با نیم‌دور روی رأس روبه‌رویش می‌افتد. اگر $n$ فرد باشد، برای هر رأس، رأسِ درست روبه‌رو وجود ندارد.

بنابراین، یک چندضلعی منتظم دقیقاً وقتی مرکز تقارن دارد که تعداد ضلع‌هایش زوج باشد. حواست باشد: داشتن تقارن دورانی به‌تنهایی برای داشتن مرکز تقارن کافی نیست؛ زاویهٔ $180^\circ$ باید در میان زاویه‌های تقارن باشد.

خط بازتاب یا مرکز تقارن؟

برای بررسی هر شکل، دو پرسش جدا بپرس: «آیا با تا کردن روی خطی، دو نیمه بر هم منطبق می‌شوند؟» و «آیا با دوران $180^\circ$ حول نقطه‌ای، شکل روی خودش می‌افتد؟» اولی خط بازتاب را نشان می‌دهد و دومی مرکز تقارن را.

در شکل‌های زیر، حالت‌های ویژه را کنار می‌گذاریم؛ مثلاً منظور از متوازی‌الاضلاع معمولی، شکلی است که مستطیل یا لوزی نباشد.

در مستطیل، خط‌های گذرنده از وسط ضلع‌های مقابل، خط بازتاب‌اند؛ در لوزی، قطرها این نقش را دارند. مرکز تقارن هر دو، محل برخورد قطرهاست.

پس این دو ویژگی الزاماً همراه نیستند: یک قاب متوازی‌الاضلاعیِ معمولی با نیم‌دور روی خودش می‌افتد، اما خط بازتاب ندارد؛ مثلث متساوی‌الساقین درست برعکس است. البته دوران همانی برای همهٔ این شکل‌ها وجود دارد.

از دو بازتاب تا نیم‌دور

دو خط عمود بر هم را در نظر بگیر که در نقطهٔ $O$ به هم می‌رسند؛ یکی افقی و دیگری عمودی. اگر نقطه‌ای را ابتدا نسبت به خط افقی و سپس نسبت به خط عمودی بازتاب دهیم، کجا می‌رود؟

بازتاب اول، نقطه را به طرف دیگر خط افقی می‌برد و فاصله‌اش از آن خط را حفظ می‌کند. بازتاب دوم هم همین کار را نسبت به خط عمودی انجام می‌دهد. در پایان، نقطه و تصویر نهایی‌اش در دو سوی $O$ قرار دارند و $O$ وسط پاره‌خط وصل‌کنندهٔ آن‌هاست. این دقیقاً اثر یک دوران $180^\circ$ حول $O$ است.

حالا اگر هر دو خط، خط بازتاب یک شکل باشند، هر بازتاب شکل را بر خودش منطبق می‌کند؛ پس انجام پیاپی آن‌ها هم شکل را بر خودش منطبق می‌کند. بنابراین $O$ مرکز تقارن شکل است.

مثلاً در یک قاب مستطیلی، خط‌های گذرنده از وسط ضلع‌های روبه‌رو، دو خط بازتاب عمود بر هم‌اند؛ پس محل برخوردشان مرکز تقارن قاب است.