خلاصه درس فصل ۳ هندسه یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

ارتفاع و دو قسمتِ وتر

یک مثلث $ABC$ بکش که زاویهٔ $A$ در آن قائمه باشد؛ پس ضلع روبه‌روی آن، یعنی $BC$، وتر است. از $A$ بر وتر عمود کن و پای عمود را $H$ بنام. حالا وتر به دو پاره‌خط $BH$ و $CH$ تقسیم شده و داریم: $BC=BH+CH$.

سه رابطهٔ آشنا، طول ضلع‌ها و ارتفاع را به این دو قسمت پیوند می‌دهند:

• $AB^2=BC\cdot BH$: مربع هر ضلعِ قائم، برابر حاصل‌ضرب وتر در قسمتِ کنار همان ضلع است.
• $AC^2=BC\cdot CH$: برای ضلع قائمِ دیگر هم همین الگو برقرار است.
• $AH^2=BH\cdot CH$: مربع ارتفاع وارد بر وتر، برابر حاصل‌ضرب دو قسمت وتر است.

راه تشخیص: برای ضلع قائم، «وترِ کامل و قسمتِ کنار آن ضلع» را انتخاب کن؛ برای ارتفاع، «دو قسمت وتر» را.

این رابطه‌ها از تشابه مثلث‌های کوچک با مثلث اصلی به دست می‌آیند. فعلاً هنگام استفاده، اول جای زاویهٔ قائمه و پای ارتفاع را مشخص کن تا پاره‌خط‌ها را جابه‌جا نگیری.

وتر را درست پیدا کن

در یک مثلث قائم‌الزاویه، از کجا بفهمیم کدام ضلع وتر است؟ وتر همیشه روبه‌روی زاویهٔ قائمه است و بلندترین ضلع مثلث هم هست؛ پس به ظاهر شکل یا افقی و مایل بودن ضلع‌ها تکیه نکن.

در مثلث $ABC$ که در رأس $A$ قائم است، ضلع‌های $AB$ و $AC$ بر هم عمودند و $BC$ وتر است. قضیهٔ فیثاغورس می‌گوید:

$AB^2+AC^2=BC^2$

یعنی مجموع مربع‌های دو ضلعِ عمود بر هم، برابر مربع وتر است. مثلاً وقتی نردبانی به دیوار تکیه دارد و زمین و دیوار بر هم عمودند، خود نردبان نقش وتر را دارد.

پیش از حساب کردن، مجهول را پیدا کن: اگر وتر مجهول باشد، مربع دو ضلع دیگر را جمع می‌کنیم؛ اما اگر یکی از ضلع‌های عمود بر هم مجهول باشد، مربع ضلعِ معلوم را از مربع وتر کم می‌کنیم. در پایان هم جذر می‌گیریم تا خودِ طول به دست آید، نه مربع آن.

یک مساحت، دو روش

یک قطعهٔ مثلثی مقوا را تصور کن؛ با چرخاندنش، مساحت آن عوض نمی‌شود، ولی می‌توانی ضلع دیگری را قاعده بگیری. از همین نکته برای پیدا کردن ارتفاع استفاده می‌کنیم.

در مثلث $ABC$ که در رأس $A$ قائم است، $H$ پای ارتفاع روی وتر است. اگر $AB$ را قاعده بگیریم، $AC$ ارتفاعِ مربوط به آن است؛ چون این دو ضلع بر هم عمودند. پس مساحت برابر است با:

$S=\frac{AB\cdot AC}{2}$

حالا اگر وتر، یعنی $BC$، قاعده باشد، ارتفاعِ مربوط به آن $AH$ است:

$S=\frac{BC\cdot AH}{2}$

هر دو عبارت، مساحت همان مثلث هستند. با برابر قرار دادن آن‌ها و حذف عامل $\frac{1}{2}$ داریم:

$AB\cdot AC=BC\cdot AH$

بنابراین، وقتی طول سه ضلع را داریم، ارتفاع وارد بر وتر از این رابطه به دست می‌آید:

$AH=\frac{AB\cdot AC}{BC}$

یادت باشد: هر قاعده را باید با ارتفاعِ عمود بر همان قاعده همراه کنی، نه با هر ضلع دلخواه.

از فیثاغورس تا کسینوس‌ها

اگر دو مسیر از یک نقطه جدا شوند، برای پیدا کردن فاصلۀ انتهای آن‌ها همیشه مثلث قائم‌الزاویه نداریم. اما می‌توانیم با رسم ارتفاع، از فیثاغورس کمک بگیریم!

در مثلث $ABC$ بگذار $a=BC$، $b=AC$ و $c=AB$. ابتدا زاویۀ $A$ را تند بگیر و ارتفاع $BH$ را بر خط $AC$ رسم کن. از نسبت‌های مثلثاتی داریم:

$AH=c\cos A$ و $BH=c\sin A$.

پس $CH^2=(b-c\cos A)^2$؛ چه پای ارتفاع روی ضلع باشد، چه روی امتداد آن. حالا فیثاغورس در مثلث قائم‌الزاویۀ $BHC$ می‌دهد:

$a^2=(c\sin A)^2+(b-c\cos A)^2$.

با بازکردن پرانتز و استفاده از $\sin^2 A+\cos^2 A=1$ می‌رسیم به:

$\boxed{a^2=b^2+c^2-2bc\cos A}$

اگر $A$ باز باشد، پای ارتفاع روی امتداد $AC$ در سمت $A$ می‌افتد. این بار $AH=-c\cos A$ است؛ بنابراین باز هم $CH=b-c\cos A$ و همان رابطه به دست می‌آید.

پس ارتفاع، پلِ رسیدن از فیثاغورس به رابطه‌ای برای مثلث‌های غیرقائم است.

کدام ضلع، کدام زاویه؟

برای استفاده از قضیۀ کسینوس‌ها، اول ضلع موردنظر را پیدا کن؛ زاویه‌ای که در فرمول می‌آید باید روبه‌روی همان ضلع باشد. این زاویه، بین دو ضلع دیگر قرار دارد.

در مثلث $ABC$، اگر $a=BC$، $b=AC$ و $c=AB$ باشد، برای پیدا کردن $a$ می‌نویسیم:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$

چرا زاویۀ $A$؟ چون هم روبه‌روی ضلع $a$ است و هم بین ضلع‌های $b$ و $c$ قرار دارد. پس نام زاویه را از روی شکل انتخاب کن، نه از روی جای قرارگرفتن مثلث روی صفحه!

مثلاً اگر دو میله از یک سر به هم وصل باشند، طول میله‌ها و زاویۀ بینشان برای یافتن فاصلۀ دو سر آزاد کافی است؛ این فاصله، ضلع روبه‌روی زاویۀ اتصال است.

حالت آشنا: اگر $A=90^\circ$ باشد، چون $\cos 90^\circ=0$، جملۀ کسینوسی حذف می‌شود و داریم:

$a^2=b^2+c^2$

پس فیثاغورس، حالت خاص قضیۀ کسینوس‌ها برای مثلث قائم‌الزاویه است.

ساختن مثلث از مسئله

در مسئله‌های حرکت، پیش از جای‌گذاری در فرمول، مثلثِ مسئله را پیدا کن: کدام نقطه‌ها رأس‌اند و هر ضلع چه مسافتی را نشان می‌دهد؟

برای دو قایق که از یک نقطه دور می‌شوند، نقطۀ شروع و جای فعلی دو قایق، سه رأس مثلث‌اند. دو ضلع، مسافت‌های طی‌شدۀ قایق‌ها هستند؛ ضلع سوم همان فاصلۀ مستقیم آن‌هاست. برای حرکت با سرعت ثابت می‌نویسیم:

$\text{مسافت}=\text{سرعت}\times\text{زمان}$

زمان و سرعت باید واحدهای سازگار داشته باشند؛ مثلاً اگر سرعت بر حسب $\mathrm{km/h}$ است، زمان را به ساعت تبدیل کن.

زاویۀ داخلی مثلث را با دقت انتخاب کن. در حرکت دو قایق از مبدأ مشترک، زاویۀ بین مسیرها همان زاویۀ بین دو ضلعِ طی‌شده است. اما اگر یک کشتی در میان راه تغییر جهت دهد، زاویۀ انحراف با زاویۀ داخلی مثلث فرق دارد: یکی از ضلع‌های مثلث از محل گردش به سمت مبدأ برمی‌گردد. بنابراین، برای انحراف $30°$، زاویۀ داخلی برابر $180°-30°=150°$ است.

حالا دو مسافت و زاویۀ بینشان آماده‌اند؛ قضیۀ کسینوس‌ها فاصلۀ مجهول را به آن‌ها مرتبط می‌کند.

طول میانه با کسینوس‌ها

میانه، رأس مثلث را به وسط ضلع مقابل وصل می‌کند؛ اما لزوماً بر آن ضلع عمود نیست. پس برای پیدا کردن طولش نمی‌توانیم همیشه از فیثاغورس استفاده کنیم. قضیۀ کسینوس‌ها این محدودیت را ندارد.

در مثلث $ABC$، بگذار $BC=a$، $AC=b$ و $AB=c$ باشد. چون $AM$ میانه است، داریم $MB=MC=\frac{a}{2}$. اگر $\angle AMB=\alpha$ باشد، زاویۀ کناری آن، یعنی $\angle AMC$، برابر $180^\circ-\alpha$ است.

حالا در دو مثلث کوچک می‌نویسیم:

$c^2=AM^2+\frac{a^2}{4}-a\,AM\cos\alpha$

$b^2=AM^2+\frac{a^2}{4}+a\,AM\cos\alpha$

چرا علامت جملۀ آخر عوض شد؟ چون $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.

با جمع‌کردن دو تساوی، جمله‌های کسینوسی همدیگر را خنثی می‌کنند:

$\boxed{b^2+c^2=2AM^2+\frac{a^2}{2}}$

این قضیۀ میانه‌ها است. بنابراین اگر طول سه ضلع را بدانی، می‌توانی طول میانه را بدون دانستن هیچ زاویه‌ای پیدا کنی.

از میانه تا پاره‌خط دلخواه

اگر نقطۀ $D$ روی ضلع $BC$ باشد، اما وسط آن نباشد، چطور طول $AD$ را به ضلع‌ها ربط بدهیم؟ اینجا قضیۀ استوارت به کمکمان می‌آید.

بگذار $BD=m$، $DC=n$، $AD=d$ و $\angle ADB=\theta$ باشد؛ پس $BC=m+n$ است. زاویۀ $ADC$ مکمل $\theta$ است و کسینوسش علامت مخالف دارد. با قضیۀ کسینوس‌ها می‌نویسیم:

$AB^2=d^2+m^2-2dm\cos\theta$

$AC^2=d^2+n^2+2dn\cos\theta$

این بار جمع ساده کافی نیست! رابطۀ اول را در $n$ و رابطۀ دوم را در $m$ ضرب می‌کنیم؛ حالا جمله‌های کسینوسی همدیگر را حذف می‌کنند:

$nAB^2+mAC^2=(m+n)d^2+mn(m+n)$

یعنی هر ضلع در قطعۀ دورتر از خودش ضرب می‌شود:

$AB^2\cdot DC+AC^2\cdot DB=AD^2\cdot BC+DB\cdot DC\cdot BC$

اگر $D$ وسط ضلع باشد، با جای‌گذاری $m=n=\frac{BC}{2}$ و ساده‌کردن، همان قضیۀ میانه‌ها به دست می‌آید. پس رابطۀ میانه‌ها، حالت خاص استوارت است، نه رابطه‌ای جدا از آن.

نیمساز، نسبت‌ها را حفظ می‌کند

نیمساز، زاویه را نصف می‌کند؛ اما لزوماً ضلع مقابل را نصف نمی‌کند. در مثلث $ABC$، اگر $AD$ نیمساز زاویهٔ $A$ باشد و $D$ روی $BC$ قرار بگیرد، داریم:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

یعنی قطعهٔ کنار $B$ با ضلع $AB$ و قطعهٔ کنار $C$ با ضلع $AC$ متناظر است. پس اگر $AB$ بلندتر باشد، $BD$ هم بلندتر است؛ دو قطعه فقط وقتی برابرند که $AB=AC$ باشد.

چرا این رابطه درست است؟ از $C$ خطی موازی $AD$ رسم کن تا امتداد $BA$ را، از سمت $A$، در $E$ قطع کند. به‌دلیل موازی‌بودن خط‌ها، زاویه‌های $AEC$ و $ACE$ با دو نیمهٔ زاویهٔ $A$ برابرند؛ پس با هم برابرند. بنابراین مثلث $AEC$ متساوی‌الساقین است و $AE=AC$.

حالا در مثلث $EBC$، چون $AD\parallel EC$ است، قضیهٔ تالس می‌دهد:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AE}=\frac{AB}{AC}$

مثلاً در یک قاب مثلثی، میله‌ای که زاویهٔ یک گوشه را نصف می‌کند، فقط در صورت برابر بودن دو ضلع آن گوشه، ضلع مقابل را هم نصف می‌کند.

از نسبت تا طول دو قطعه

نسبتِ دو قطعه را می‌دانیم؛ اما چطور طول هرکدام را پیدا کنیم؟ کلید کار این است که مجموع دو قطعه، همان طول ضلع مقابل است.

در مثلث $ABC$ فرض کن $AD$ نیمساز زاویهٔ $A$ است و $D$ روی ضلع $BC$ قرار دارد. طبق قضیهٔ نیمساز:

$\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$

پس می‌توانیم $BD$ را دارای $AB$ سهم و $CD$ را دارای $AC$ سهم در نظر بگیریم. کل ضلع $BC$ دارای $AB+AC$ سهم است؛ بنابراین:

$BD=\frac{AB}{AB+AC}\times BC$

$CD=\frac{AC}{AB+AC}\times BC$

این کار شبیه تقسیم یک نوار به دو بخش با نسبت مشخص است: اول تعداد کل سهم‌ها را پیدا می‌کنی، بعد سهم هر بخش را از طول نوار برمی‌داری.

حواست به تطبیق ضلع‌ها باشد: قطعهٔ کنار $B$ با ضلع $AB$ و قطعهٔ کنار $C$ با ضلع $AC$ متناسب است. برای بررسی جواب، هم مجموع دو قطعه را با $BC$ مقایسه کن و هم مطمئن شو قطعهٔ بزرگ‌تر کنار ضلع بزرگ‌تر قرار گرفته است.

طول خود نیمساز

تا اینجا طول دو قطعهٔ ضلع مقابل را پیدا کردیم؛ اما طول خود نیمساز چطور؟ مثلاً اگر نیمساز، مسیر یک نرده در زمینی مثلثی باشد، به طول همان مسیر نیاز داریم.

در مثلث $ABC$، نیمساز $AD$ را ادامه بده تا دایرهٔ محیطی را دوباره در $E$ قطع کند؛ سپس $EC$ را رسم کن. زاویه‌های $AEC$ و $ABC$ روبه‌روی کمان مشترک‌اند و برابرند. همچنین به دلیل نیمساز بودن $AD$، زاویه‌های $BAD$ و $EAC$ برابرند؛ پس مثلث‌های $ABD$ و $AEC$ متشابه‌اند. بنابراین:

چون $AE=AD+DE$، داریم:

از طرفی، وترهای $AE$ و $BC$ در $D$ یکدیگر را قطع می‌کنند؛ پس:

با جای‌گذاری، رابطهٔ موردنظر به دست می‌آید:

حواست باشد: این رابطه مربع طول نیمساز را می‌دهد؛ برای رسیدن به طول، باید ریشهٔ مثبت بگیری. اگر طول قطعه‌ها معلوم نباشد، ابتدا آن‌ها را با قضیهٔ نیمساز پیدا کن.

سه ضلع، یک مساحت

فرض کن دور یک باغچهٔ مثلثی را اندازه گرفته‌ای، اما نمی‌توانی ارتفاعش را اندازه بگیری. آیا همین سه طول کافی است؟ دستور هرون به تو کمک می‌کند مساحت را بدون دانستن ارتفاع یا زاویه پیدا کنی.

طول سه ضلع را با $a$، $b$ و $c$ و مساحت را با $S$ نشان می‌دهیم. ابتدا سه طول را جمع می‌کنیم و حاصل را نصف می‌کنیم:

$P=\frac{a+b+c}{2}$

دقت کن که $P$ نصف محیط است، نه محیط کامل. حالا از دستور زیر استفاده می‌کنیم:

$S=\sqrt{P(P-a)(P-b)(P-c)}$

برای جای‌گذاری، از نصف محیط، طول هر ضلع را جداگانه کم کن. سپس این سه تفاضل را در خودِ نصف محیط ضرب کن و در پایان، ریشهٔ دوم حاصل را بگیر. پس زیر رادیکال، چهار عامل داریم.

این دستور برای طول‌هایی به کار می‌رود که واقعاً یک مثلث بسازند؛ یعنی مجموع هر دو ضلع از ضلع سوم بیشتر باشد. اگر طول‌ها بر حسب متر باشند، مساحت بر حسب مترمربع خواهد بود.

از مساحت به ارتفاع

فرض کن مساحت یک زمین مثلثی را پیدا کرده‌ای؛ حالا می‌خواهی فاصلهٔ عمودی رأس روبه‌رو تا یکی از ضلع‌ها را بدانی. لازم نیست دوباره سراغ محاسبهٔ طول‌های شکل بروی؛ مساحت، راه رسیدن به ارتفاع است.

رابطهٔ آشنای مساحت را بنویس:

$S=\frac{1}{2}ah_a$

با ضرب دو طرف در $2$ و تقسیم بر طول ضلع، داریم:

$h_a=\frac{2S}{a}$

در این رابطه، $h_a$ ارتفاعِ وارد بر ضلع $a$ است؛ پس باید طول همان ضلعی را در مخرج بگذاری که ارتفاع بر آن عمود است.

یک مثلث سه ارتفاع دارد، اما مساحتش با عوض‌شدن قاعده تغییر نمی‌کند. بنابراین در یک مثلث، هرچه ضلعِ انتخاب‌شده بلندتر باشد، ارتفاعِ مربوط به آن کوتاه‌تر است؛ چون حاصل‌ضرب قاعده و ارتفاع همیشه برابر با $2S$ می‌ماند.

زمین را مثلث‌بندی کن

فرض کن می‌خواهی مساحت زمینی چهارضلعی را پیدا کنی، اما زمین مستطیل نیست. لازم نیست برای کل زمین یک دستور تازه پیدا کنی؛ می‌توانی آن را به شکل‌هایی تقسیم کنی که روش محاسبهٔ مساحتشان را بلدی.

در چهارضلعی محدب $ABCD$، قطر $BD$ را رسم کن. زمین به دو مثلث $ABD$ و $CBD$ تقسیم می‌شود که روی هم نمی‌افتند و تمام زمین را می‌پوشانند. پس:

$S_{ABCD}=S_{ABD}+S_{CBD}$

اگر زاویهٔ $A$ قائمه باشد، مثلث $ABD$ قائم‌الزاویه است. در این صورت، مساحت آن از نصف حاصل‌ضرب دو ضلع عمود بر هم به دست می‌آید. طول قطر مشترک را هم می‌توان با فیثاغورس پیدا کرد:

$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}$

حالا با داشتن $BC$، $CD$ و $BD$، هر سه ضلع مثلث دوم معلوم‌اند و می‌توان مساحتش را با دستور هرون حساب کرد.

نکتهٔ مهم: قطر فقط مرزِ تقسیم است؛ نه بخشی از زمین را حذف می‌کند و نه مساحت اضافه‌ای می‌سازد.

دو ضلع و زاویهٔ بینشان

فرض کن دو ضلع یک باغچهٔ مثلثی و زاویهٔ بین آن‌ها را اندازه گرفته‌ای؛ نه ارتفاع را می‌دانی و نه ضلع سوم را. برای یافتن مساحت، همین اطلاعات کافی است!

در مثلث $ABC$، دو ضلع $AB=c$ و $AC=b$ در رأس $A$ به هم می‌رسند. اگر از رأس $B$ بر خط $AC$ ارتفاع رسم کنیم، طول ارتفاع برابر $BH=c\sin A$ است. با جای‌گذاری آن در رابطهٔ مساحت داریم:

$S=\frac{1}{2}\times AC\times BH=\frac{1}{2}bc\sin A$

پس نصف حاصل‌ضرب دو ضلع در سینوس زاویهٔ بینشان، مساحت مثلث را می‌دهد.

نکتهٔ مهم، انتخاب زاویه است: اگر ضلع‌های $AB$ و $AC$ را در فرمول گذاشتی، باید سینوس زاویهٔ $A$ را به کار ببری، نه زاویهٔ دلخواه دیگری. برای دو ضلع دیگر هم همین قاعده برقرار است. در نتیجه، وقتی سه ضلع معلوم‌اند، هرون مناسب است؛ وقتی دو ضلع و زاویهٔ بینشان معلوم‌اند، این رابطه راه مستقیم‌تری است.