خلاصه درس فصل ۱ هندسه یازدهم؛ درسنامه و نکات مهم

خط از کنار دایره می‌گذرد یا آن را می‌بُرد؟

یک حلقه و خط‌کشی بلند را تصور کن. با جابه‌جا کردن خط‌کش، لبهٔ آن می‌تواند دایره را دو بار قطع کند، فقط لمس کند یا اصلاً به آن نرسد.

برای تشخیص دقیق، از مرکز دایره، یعنی $O$، بر خط $d$ عمود رسم کن و پای عمود را $H$ بنام. فاصلهٔ مرکز از خط، طول همین پاره‌خط عمودی است؛ نه فاصلهٔ مرکز تا هر نقطهٔ دلخواه خط. آن را با شعاع $r$ مقایسه کن:

• اگر $OH<r$ باشد، خط قاطع است و دو نقطهٔ اشتراک دارد.
• اگر $OH=r$ باشد، خط مماس است و فقط یک نقطهٔ اشتراک دارد.
• اگر $OH>r$ باشد، خط و دایره نقطهٔ مشترکی ندارند.

چرا مماس بر شعاع عمود است؟ اگر نقطهٔ تماس را $F$ بنامیم، فاصلهٔ آن تا مرکز برابر شعاع است؛ هر نقطهٔ دیگرِ مماس بیرون دایره و از مرکز دورتر است. پس $F$ نزدیک‌ترین نقطهٔ خط به مرکز و همان پای عمود است؛ یعنی $OF\perp d$.

برعکس، برای رسم مماس در نقطهٔ $F$ روی دایره، کافی است از $F$ خطی عمود بر شعاع $OF$ رسم کنی.

اندازهٔ کمان با طول آن فرق دارد

دو مسیر دایره‌ای، یکی دور یک باغچه و دیگری دور یک میدان بزرگ را تصور کن. اگر در هر دو مسیر به‌اندازهٔ یک‌چهارم دور حرکت کنی، زاویهٔ چرخشت یکسان است، اما مسافت طی‌شده یکسان نیست!

اندازهٔ کمان برابر اندازهٔ زاویهٔ مرکزیِ مقابل آن است؛ یعنی زاویه‌ای که رأسش مرکز دایره است و ضلع‌هایش از دو سر کمان می‌گذرند. اندازهٔ کمان را با درجه می‌سنجیم، ولی طول کمان یک مسافت است و مثلاً با متر اندازه‌گیری می‌شود.

اگر اندازهٔ زاویهٔ مرکزی $\alpha$ درجه باشد، سهم کمان از یک دور کامل برابر $\frac{\alpha}{360}$ است. پس برای دایره‌ای به شعاع $R$، طول کمان از همین سهمِ محیط به دست می‌آید:

$L=\frac{\alpha}{360}\times 2\pi R$

ناحیه‌ای که بین دو شعاع و کمانِ میان آن‌ها قرار دارد، قطاع است؛ مثل یک برش پیتزا. مساحت آن نیز همین سهم از مساحت کل دایره است:

$S=\frac{\alpha}{360}\times \pi R^2$

پس اندازهٔ کمان فقط به زاویهٔ مرکزی وابسته است، اما طول کمان و مساحت قطاع به شعاع هم بستگی دارند.

رابطهٔ وتر، کمان و قطر

یک قاب دایره‌ای را تصور کن که چند میلهٔ راست، دو نقطه از لبهٔ آن را به هم وصل کرده‌اند؛ هر میله یک وتر است. در یک دایره، وترهای برابر، کمان‌های کوچکِ برابر دارند و برعکس. دلیلش چیست؟ اگر دو سر هر وتر را به مرکز وصل کنیم، مثلث‌هایی می‌سازیم که دو ضلعشان شعاع است؛ با برابر بودن وترها، این مثلث‌ها هم‌نهشت می‌شوند و زاویه‌های مرکزی آن‌ها برابر است.

حالا قطر $CD$ را عمود بر وتر $AB$ رسم کن و محل برخوردشان را $H$ بنام. مثلث‌های قائم‌الزاویهٔ $AOH$ و $BOH$ وترهای برابرِ $OA=OB$ و ضلع مشترک $OH$ دارند؛ پس هم‌نهشت‌اند. بنابراین $AH=HB$؛ یعنی قطر، وتر را نصف می‌کند. همچنین این قطر از وسط هر دو کمانِ دو سرِ وتر می‌گذرد.

رابطهٔ برعکس هم کاربرد دارد: اگر قطری یک وترِ غیرقطر را نصف کند، بر آن عمود است. پس برای یافتن وسط یک میله در قاب دایره‌ای، قطرِ عمود بر آن راهنمای خوبی است.

زاویهٔ محاطی؛ نصف کمان مقابل

فرض کن دو سرِ یک وتر را از نقطه‌ای روی لبهٔ یک میدان دایره‌ای نگاه می‌کنی. دو خط دید تو یک زاویهٔ محاطی می‌سازند: رأس زاویه روی دایره است و هر ضلع آن شامل یک وتر است.

اگر رأس را $D$ و دو سر وتر را $A$ و $B$ بنامیم، کمانِ مقابلِ زاویهٔ $ADB$، کمانی از $A$ تا $B$ است که $D$ روی آن نیست. اندازهٔ زاویهٔ محاطی نصف اندازهٔ همین کمان است:

$\angle ADB=\frac{1}{2}\,\text{اندازهٔ کمان مقابل }AB$

چرا نصف؟ در حالت ساده‌ای که یکی از ضلع‌های زاویه از مرکز می‌گذرد، با وصل کردن مرکز به سرِ دیگر وتر، یک مثلث متساوی‌الساقین داریم. قضیهٔ زاویهٔ خارجی نشان می‌دهد زاویهٔ مرکزیِ مقابل، دو برابر زاویهٔ محاطی است؛ حالت‌های دیگر هم با رسم قطر به همین حالت برمی‌گردند.

حالا پاسخ پرسش آغاز درس روشن می‌شود: اگر دو ناظر روی یک کمان باشند و دو سرِ یک وتر را ببینند، زاویه‌های دیدشان برابر است؛ چون هر دو نصف اندازهٔ یک کمانِ مقابل‌اند.

وقتی یک ضلع زاویه مماس است

تصور کن لبهٔ یک خط‌کش در نقطهٔ $A$ به یک حلقه مماس است و از همان نقطه، نخی تا نقطهٔ $B$ روی حلقه کشیده‌ای. زاویهٔ میان لبهٔ خط‌کش و نخ، نمونه‌ای از زاویهٔ ظلی است: رأس روی دایره است، یک ضلع مماس است و ضلع دیگر شامل یک وتر.

اندازهٔ زاویهٔ ظلی، نصف اندازهٔ کمان مقابل آن است. دقت کن کمان مقابل را متناسب با زاویهٔ انتخاب‌شده مشخص کنی؛ همیشه کمان کوچک‌تر نیست.

برای دیدن دلیل، قطر $AD$ را رسم کن. مماس بر شعاع $OA$ عمود است؛ پس با $AD$ زاویهٔ $90^\circ$ می‌سازد. حالتی را در نظر بگیر که وتر $AB$ داخل این زاویهٔ راست باشد. زاویهٔ ظلی و زاویهٔ محاطی $DAB$ با هم $90^\circ$ می‌شوند. از طرف دیگر، کمان‌های مقابل این دو زاویه با هم یک نیم‌دایره، یعنی $180^\circ$، می‌سازند. چون زاویهٔ محاطی نصف کمان خودش است، زاویهٔ باقی‌مانده هم نصف کمان باقی‌مانده خواهد بود!

زاویهٔ ظلی را بشناس

تصور کن لبهٔ یک خط‌کش را طوری کنار یک دایره گذاشته‌ای که فقط در یک نقطه با آن تماس داشته باشد؛ خطِ لبهٔ خط‌کش مماس بر دایره است. حالا از همان نقطه، پاره‌خطی تا نقطه‌ای دیگر روی دایره بکش. این پاره‌خط یک وتر است.

زاویه‌ای که در نقطهٔ تماس، میان نیم‌خطِ مماس و نیم‌خطِ شامل وتر ساخته می‌شود، زاویهٔ ظلی نام دارد. برای تشخیص آن، این سه نشانه را بررسی کن:

• رأس زاویه روی دایره باشد.
• یکی از ضلع‌ها بر دایره مماس باشد.
• ضلع دیگر شامل وتری از دایره باشد.

مثلاً اگر $A$ نقطهٔ تماس، $B$ نقطه‌ای دیگر روی دایره و $C$ نقطه‌ای روی خط مماس باشد، زاویهٔ $\angle BAC$ ظلی است.

فقط روی دایره بودنِ رأس کافی نیست: اگر هر دو ضلع شامل وتر باشند، زاویه محاطی است، نه ظلی.

نصفِ کمان روبه‌رو

حالا که زاویهٔ ظلی را می‌شناسی، اندازه‌اش را چگونه پیدا می‌کنی؟ قاعده ساده است: اندازهٔ زاویهٔ ظلی نصف اندازهٔ کمان روبه‌روی همان زاویه است. پس:

$\text{اندازهٔ زاویهٔ ظلی}=\frac{1}{2}\times\text{اندازهٔ کمان روبه‌رو}$

اما انتخاب کمان مهم است! دو سرِ وتر، دایره را به دو کمان تقسیم می‌کنند؛ همیشه نباید کمان کوچک‌تر را برداری. کمان روبه‌رو، کمانی است که در دهانهٔ همان زاویه قرار می‌گیرد. برای زاویهٔ ظلیِ تند، این کمان کوچک‌تر از نیم‌دایره است؛ برای زاویهٔ ظلیِ منفرجه، بزرگ‌تر از نیم‌دایره است.

چرا این قاعده درست است؟ قطرِ گذرنده از نقطهٔ تماس بر مماس عمود است. با استفاده از این زاویهٔ قائمه و قاعدهٔ نصف‌بودن زاویهٔ محاطی نسبت به کمانش، همین رابطه برای زاویهٔ ظلی هم به دست می‌آید.

یادت بماند: اول کمانِ مربوط به همان زاویه را مشخص کن، بعد اندازه‌اش را نصف کن.

وترهای موازی و کمان‌ها

دو وترِ موازی را مثل دو پلهٔ یک نردبان درون دایره تصور کن. این دو وتر در دو سوی خود، دو کمان بینشان باقی می‌گذارند. این دو کمان هم‌اندازه‌اند؛ نه لزوماً کمان‌های روبه‌روی خودِ وترها.

برای دقیق‌تر دیدن، نقطه‌های $A,B,C,D$ را به همین ترتیب روی دایره بگذار و وترهای $AB$ و $CD$ را موازی رسم کن. کمان‌های محدود بین آن‌ها، $\widehat{AD}$ و $\widehat{BC}$ هستند. اگر $A$ را به $C$ وصل کنی، زاویه‌های $\angle BAC$ و $\angle ACD$ به‌دلیل موازی بودن دو وتر برابرند. این‌ها زاویه‌های محاطی‌اند؛ پس کمان‌های روبه‌رویشان، یعنی $\widehat{BC}$ و $\widehat{AD}$، هم برابرند.

راهِ برگشت هم درست است: اگر این دو کمان برابر باشند، همان دو زاویهٔ محاطی برابر می‌شوند و موازی بودن وترها را نتیجه می‌گیریم. پس برای تشخیص موازی بودن دو وترِ نامتقاطع درون دایره، می‌توانی به‌جای ظاهر شکل، کمان‌های بینشان را بررسی کنی.

رأس بیرون: تفاضل کمان‌ها

فرض کن از نقطه‌ای بیرون یک حلقه، دو خط به سمت حلقه می‌کشی. هر خط، دایره را در دو نقطه قطع می‌کند. اندازهٔ زاویهٔ بین این دو خط به اختلاف دو کمان بستگی دارد، نه فقط به یکی از آن‌ها.

برای نام‌گذاری، رأس را $A$ بگیر؛ روی یک ضلع، ابتدا $B$ و سپس $D$، و روی ضلع دیگر، ابتدا $C$ و سپس $E$ قرار دارند. کمان نزدیکِ رأس، $\overset{\frown}{BC}$، و کمان دور از رأس، $\overset{\frown}{DE}$ است. داریم:

$\angle DAE=\dfrac{\overset{\frown}{DE}-\overset{\frown}{BC}}{2}$

اول کمان کوچک‌تر را از بزرگ‌تر کم کن، بعد حاصل را نصف کن. اندازهٔ کمان‌ها و زاویه باید با یک واحد، مثلاً درجه، بیان شوند.

چرا تفاضل؟ اگر $C$ را به $D$ وصل کنی، زاویهٔ $\angle DCE$ زاویهٔ خارجی مثلث $ACD$ می‌شود؛ پس زاویهٔ رأس $A$، اختلاف دو زاویهٔ محاطی است. چون هر زاویهٔ محاطی نصف کمان روبه‌رویش است، این اختلاف به نصفِ تفاضل دو کمان تبدیل می‌شود.

رأس درون: مجموع کمان‌ها

دو وتر مثل دو میلهٔ ضربدری درون دایره یکدیگر را قطع می‌کنند. این بار رأس زاویه داخل دایره است؛ برای یافتن اندازهٔ زاویه، به دو کمان نیاز داریم، نه فقط یک کمان.

فرض کن وترهای $BD$ و $CE$ در نقطهٔ $A$ همدیگر را قطع کنند. برای زاویهٔ $\angle DAE$، یک کمان روبه‌رو $\overset{\frown}{DE}$ است. کمان دوم، یعنی $\overset{\frown}{BC}$، روبه‌روی زاویهٔ متقابل‌به‌رأس آن قرار دارد. اندازهٔ این دو کمان را جمع می‌کنیم و نصف می‌گیریم:

$\angle DAE=\dfrac{\overset{\frown}{DE}+\overset{\frown}{BC}}{2}$

چرا جمع؟ اگر $B$ را به $E$ وصل کنیم، زاویهٔ $DAE$ زاویهٔ خارجی مثلث $ABE$ می‌شود؛ پس برابر مجموع دو زاویهٔ داخلی غیرمجاور است. آن دو زاویه محاطی‌اند و هرکدام نصف یکی از همین کمان‌ها هستند.

پس پیش از انتخاب رابطه، جای رأس را نگاه کن: رأس درون دایره، نصف مجموع دو کمان؛ نه نصف تفاضل آن‌ها.

ساختن دو مماس

فرض کن می‌خواهی از نقطه‌ای بیرون یک چرخ، دو مسیر مستقیم رسم کنی که فقط چرخ را لمس کنند. به‌جای جابه‌جا کردن خط‌کش و حدس زدن، از یک دایرهٔ کمکی کمک بگیر!

مرکز دایره را $O$ و نقطهٔ بیرونی را $M$ بنام.

• پاره‌خط $OM$ را رسم کن و وسط آن، $N$، را پیدا کن.
• به مرکز $N$ و شعاع $NO$، دایره‌ای بکش؛ قطر این دایره $OM$ است.
• دو نقطهٔ برخورد دایره‌ها را $T$ و $T'$ بنام و خط‌های $MT$ و $MT'$ را رسم کن.

چرا این خط‌ها مماس‌اند؟ زاویهٔ محاطیِ روبه‌روی قطر، قائمه است؛ پس $\angle OTM=90^\circ$. بنابراین $MT$ بر شعاع $OT$ عمود است و بر دایره مماس می‌شود. همین استدلال برای $MT'$ هم برقرار است.

حالا دو مثلث قائم‌الزاویهٔ $OMT$ و $OMT'$ را مقایسه کن: وتر $OM$ مشترک است و شعاع‌های $OT$ و $OT'$ برابرند؛ پس دو مثلث به حالت وتر و یک ضلع هم‌نهشت‌اند. در نتیجه، دو مماس هم‌طول‌اند، یعنی $MT=MT'$؛ همچنین زاویه‌های $TMO$ و $OMT'$ برابرند، پس نیم‌خط $MO$ نیمساز زاویهٔ بین دو مماس است.

جای دو دایره نسبت به هم

دو حلقهٔ دایره‌ای با اندازه‌های متفاوت را تصور کن که روی میز جابه‌جا می‌کنی. ممکن است از هم جدا باشند، همدیگر را قطع کنند یا یکی درون دیگری قرار بگیرد. برای تشخیص دقیق، کافی است فاصلهٔ مرکزها را بررسی کنیم.

شعاع‌ها را $R>R'$ و فاصلهٔ مرکزها را $d$ می‌نامیم. دو مرز مهم داریم: مجموع شعاع‌ها، یعنی $R+R'$، و تفاضل شعاع‌ها، یعنی $R-R'$.

• اگر $d>R+R'$ باشد، دو دایره متخارج‌اند؛ بیرون هم و بدون نقطهٔ مشترک.
• اگر $d=R+R'$ باشد، مماس برون‌اند؛ فقط یک نقطهٔ مشترک دارند.
• اگر $R-R'<d<R+R'$ باشد، متقاطع‌اند؛ دو نقطهٔ مشترک دارند.
• اگر $d=R-R'$ باشد، مماس درون‌اند؛ دایرهٔ کوچک‌تر از داخل به بزرگ‌تر می‌رسد.
• اگر $d<R-R'$ باشد، متداخل‌اند؛ دایرهٔ کوچک‌تر کاملاً درون بزرگ‌تر است و نقطهٔ مشترکی ندارند.

هم‌مرکزی حالت ویژهٔ آخر است: وقتی $d=0$، مرکزها یکی‌اند؛ اما چون شعاع‌ها متفاوت‌اند، دایره‌ها بر هم منطبق نیستند.

خارجی یا داخلی؟

دو چرخ دایره‌ای و یک خط‌کش صاف را تصور کن. اگر لبهٔ خط‌کش بر هر دو چرخ مماس باشد، روی یک مماس مشترک قرار گرفته است؛ یعنی خطی که بر هر دو دایره مماس است. اما چطور نوع آن را تشخیص بدهیم؟

خط را در ذهن خود امتداد بده و ببین دایره‌ها در کدام سمت آن قرار دارند:

• اگر هر دو دایره در یک طرف خط باشند، مماس مشترک خارجی است؛ مثل خط‌کشی که هر دو چرخ زیر آن قرار گرفته‌اند.
• اگر دایره‌ها در دو طرف خط باشند، مماس مشترک داخلی است؛ مثل خط‌کشی که یکی از چرخ‌ها بالای آن و دیگری پایین آن باشد.

برای تشخیص راحت‌تر، می‌توانی جای مرکزهای دو دایره را نسبت به خط بررسی کنی؛ هر مرکز در همان سمتی است که دایره‌اش قرار دارد.

حواست باشد: «داخلی» و «خارجی» بودن به محل برخورد دو مماس مشترک ربطی ندارد. حتی اگر دو مماس یکدیگر را قطع کنند، باز هم باید سمت قرارگیری دایره‌ها نسبت به هر خط را جداگانه بررسی کنی.

طول و رسم مماس خارجی

دو چرخ با اندازه‌های متفاوت را تصور کن که یک تسمهٔ کشیده از بیرون به هر دو مماس است. طول بخش صاف تسمه، فاصلهٔ بین دو نقطهٔ تماس است، نه فاصلهٔ مرکزها!

دو دایره با مرکزهای $O$ و $O'$ و شعاع‌های $R>R'$ داریم. مماس مشترک خارجی در $T$ و $T'$ به آن‌ها می‌رسد و $OO'=d$ است.

از $O'$ موازی مماس رسم کن تا شعاع $OT$ را در $H$ قطع کند. چون شعاع‌ها بر مماس عمودند، چهارضلعی $TT'O'H$ مستطیل است؛ پس:

$O'H=TT'\qquad HT=R'$

بنابراین $OH=R-R'$ است. در مثلث قائم‌الزاویهٔ $OHO'$، وتر همان فاصلهٔ مرکزهاست. از فیثاغورس داریم:

$TT'^2+(R-R')^2=d^2$

پس طول پاره‌خطِ مماس مشترک خارجی برابر است با:

$TT'=\sqrt{d^2-(R-R')^2}$

ایدهٔ رسم هم همین‌جاست: دایره‌ای کمکی به مرکز $O$ و شعاع $R-R'$ رسم کن. از $O'$ بر آن مماس $O'H$ را بساز؛ روشش را در کارت اول یاد گرفتی. نیم‌خط $OH$ را تا نقطهٔ $T$ روی دایرهٔ بزرگ ادامه بده. خطی از $T$ موازی $O'H$ رسم کن؛ این خط، مماس مشترک خارجیِ موردنظر است.

مماس داخلی و تعداد مماس‌ها

در مماس مشترک داخلی، مرکزهای دو دایره در دو سوی خط مماس‌اند. شعاع‌های عمود بر مماس، این بار در ساختن مثلث قائم‌الزاویه با هم جمع می‌شوند؛ پس با فیثاغورس، طول پاره‌خط میان دو نقطهٔ تماس برابر است با:

$TT'=\sqrt{d^2-(R+R')^2}$

این پاره‌خط وقتی طول مثبت دارد که دو دایره متخارج باشند، یعنی $d>R+R'$. مثلاً بخش صافِ یک تسمهٔ ضربدری میان دو چرخ را می‌توان با چنین مماسی مدل کرد.

حالا تصور کن دو دایره را به هم نزدیک می‌کنی. تعداد خط‌های مماس مشترکِ متمایز این‌طور تغییر می‌کند:

• متخارج: چهار خط؛ دو خارجی و دو داخلی.
• مماس برون: سه خط؛ دو مماس داخلی بر هم منطبق می‌شوند.
• متقاطع: دو خط؛ هر دو خارجی‌اند.
• مماس درون: فقط یک خط.
• متداخل: هیچ خطی؛ دو دایرهٔ هم‌مرکز با شعاع‌های نابرابر هم مماس مشترک ندارند.

در حالت متقاطع، اگر وتر مشترک را $AB$ بنامیم، هر مرکز از $A$ و $B$ فاصلهٔ برابر دارد، چون این فاصله‌ها شعاع‌اند. بنابراین هر دو مرکز روی عمودمنصف $AB$ هستند و خط‌المرکزین، عمودمنصف وتر مشترک است.

رأس‌ها روی دایره یا ضلع‌ها مماس؟

تصور کن می‌خواهی یک قاب چندضلعی را با یک حلقهٔ دایره‌ای هماهنگ کنی. دو حالت متفاوت داریم:

• چندضلعی محاطی: همهٔ رأس‌های قاب روی دایره‌اند؛ به این دایره، دایرهٔ محیطیِ چندضلعی می‌گوییم.
• چندضلعی محیطی: دایره داخل قاب است و بر همهٔ ضلع‌های آن مماس است؛ این دایره، دایرهٔ محاطیِ چندضلعی نام دارد.

مرکز دایره را چطور پیدا کنیم؟

در حالت اول، مرکز باید از همهٔ رأس‌ها فاصلهٔ یکسان داشته باشد. هر نقطه روی عمودمنصف یک ضلع، از دو سر آن ضلع به یک فاصله است؛ پس اگر عمودمنصف‌های همهٔ ضلع‌ها در یک نقطه به هم برسند، آن نقطه مرکز دایرهٔ محیطی است. «همرس» یعنی همین: گذشتن چند خط از یک نقطه.

در حالت دوم، مرکز باید از همهٔ ضلع‌ها فاصلهٔ عمودی یکسان داشته باشد. نقاط روی نیمساز داخلی هر زاویه از دو ضلع آن زاویه هم‌فاصله‌اند؛ بنابراین مرکز دایرهٔ محاطی، محل همرسی نیمسازهای داخلی است. شعاع آن هم فاصلهٔ عمودی مرکز تا یک ضلع است، نه فاصلهٔ مرکز تا یک رأس.

یادت بماند: رأس‌ها ← عمودمنصف‌ها؛ ضلع‌ها ← نیمسازها.

دایره‌های همراه مثلث

هر مثلث، بدون استثنا، هم دایرهٔ محیطی دارد و هم دایرهٔ محاطی داخلی؛ اما مرکز این دو لزوماً یکی نیست!

دایرهٔ محیطی از سه رأس می‌گذرد. مرکز آن محل برخورد عمودمنصف‌های ضلع‌هاست و فاصلهٔ مرکز تا هر رأس، شعاع $R$ است.

دایرهٔ محاطی داخلی بر سه ضلع مماس است. مرکز آن محل برخورد نیمسازهای داخلی است و شعاع $r$، فاصلهٔ عمودی مرکز تا هر ضلع است؛ نه فاصله تا رأس!

اگر مرکز دایرهٔ محاطی را به رأس‌ها وصل کنیم، مثلث به سه مثلث کوچک با ارتفاع مشترک $r$ تقسیم می‌شود. پس با نام‌گذاری ضلع‌ها به $a,b,c$ داریم:

$S=\frac12 ar+\frac12 br+\frac12 cr=pr$

در این رابطه، $S$ مساحت و $p=\frac{a+b+c}{2}$ نصف محیط است؛ بنابراین $r=\frac{S}{p}$.

مثلث سه دایرهٔ محاطی خارجی هم دارد. هرکدام بر یک ضلع و امتداد دو ضلع دیگر مماس‌اند. مرکز دایرهٔ خارجیِ نظیر رأس $A$، از برخورد نیمساز داخلی $A$ با نیمساز خارجی $C$ به دست می‌آید. اگر $a$ ضلع مقابل $A$ باشد:

$r_a=\frac{S}{p-a}$

به همین ترتیب، $r_b=\frac{S}{p-b}$ و $r_c=\frac{S}{p-c}$.

شرط چهارضلعی محاطی

اگر چهار نقطه را روی لبهٔ یک بشقاب گرد علامت بزنی و به‌ترتیب به هم وصل کنی، یک چهارضلعی محاطی ساخته‌ای. اما بدون داشتن شکل دایره، چطور محاطی بودن را تشخیص بدهیم؟ زاویه‌های مقابل را بررسی کن، نه زاویه‌های کنار هم را.

در چهارضلعی $ABCD$، زاویه‌های $A$ و $C$ مقابل‌اند. اگر چهارضلعی محاطی باشد، هرکدام از این دو زاویه، یک زاویهٔ محاطی است و اندازه‌اش نصف کمان روبه‌روی آن است. این دو کمان با هم کل دایره را می‌سازند؛ پس:

$\angle A+\angle C=\frac{1}{2}\times360^\circ=180^\circ$

بنابراین زاویه‌های مقابل مکمل‌اند؛ یعنی مجموعشان $180^\circ$ است. همین رابطه برای زاویه‌های $B$ و $D$ هم برقرار است.

نکتهٔ مهم این است که عکس این نتیجه نیز درست است: اگر مجموع یک جفت زاویهٔ مقابلِ چهارضلعی $180^\circ$ باشد، می‌توان دایره‌ای از هر چهار رأس آن گذراند. پس این شرط، هم نتیجهٔ محاطی بودن است و هم راه تشخیص آن؛ لازم نیست هر دو جفت زاویهٔ مقابل را جداگانه بررسی کنی.

شرط چهارضلعی محیطی

فرض کن می‌خواهی درون یک قاب چهارضلعی، حلقه‌ای بگذاری که به هر چهار ضلع مماس باشد. برای تشخیص امکان این کار، به جای زاویه‌ها، طول ضلع‌ها را بررسی کن.

در چهارضلعی محدب $ABCD$، شرط لازم و کافیِ محیطی بودن این است که:

$AB+CD=BC+AD$

یعنی مجموع طول‌های دو ضلع مقابل با مجموع طول‌های دو ضلع دیگر برابر باشد؛ لازم نیست خودِ ضلع‌های مقابل برابر باشند!

چرا این رابطه برقرار است؟ از هر رأس، دو پاره‌خط مماس تا نقطه‌های تماس دایره داریم که هم‌اندازه‌اند. اگر طول این پاره‌خط‌ها را برای رأس‌های پیاپی $x$، $y$، $z$ و $t$ بنامیم، طول ضلع‌ها به‌ترتیب می‌شود:

$x+y,\quad y+z,\quad z+t,\quad t+x$

پس جمع هر جفت ضلع مقابل، همان $x+y+z+t$ است. عکس این نتیجه هم برقرار است: اگر برابری مجموع‌ها برقرار باشد، چهارضلعی محیطی است.

حواست باشد: شرط محاطی بودن مربوط به زاویه‌های مقابل بود؛ اینجا شرط محیطی بودن مربوط به مجموع طول ضلع‌های مقابل است.

منتظم‌ها؛ هر دو ویژگی با هم

یک کاشی شش‌ضلعی منتظم را تصور کن. هم ضلع‌هایش با هم برابرند و هم زاویه‌هایش؛ برای منتظم بودن، هر دو شرط لازم است. مثلاً لوزیِ غیرمربع، با اینکه ضلع‌های برابر دارد، منتظم نیست.

چرا هر چندضلعی منتظم هم محاطی است و هم محیطی؟ نقطهٔ برخورد عمودمنصف‌های دو ضلعِ پیاپی را $O$ بنام. با وصل کردن $O$ به رأس‌ها، مثلث‌های متساوی‌الساقین و هم‌نهشت شکل می‌گیرند. برابری ضلع‌ها و زاویه‌های چندضلعی باعث می‌شود این الگو دور تا دور شکل ادامه پیدا کند؛ بنابراین فاصلهٔ $O$ تا همهٔ رأس‌ها برابر است. پس دایره‌ای به مرکز $O$ از همهٔ رأس‌ها می‌گذرد و چندضلعی محاطی است.

همچنین ارتفاع‌های این مثلث‌های هم‌نهشت، از $O$ تا ضلع‌ها، برابرند. پس دایره‌ای دیگر با همین مرکز بر همهٔ ضلع‌ها مماس می‌شود و چندضلعی محیطی هم هست.

دقت کن: مرکز دو دایره یکی است، اما شعاع‌هایشان برابر نیست؛ یکی تا رأس می‌رسد و دیگری عمود بر ضلع است.