حل تمرین صفحه ۹۳ ریاضی نهم

گام ۱: الف) دو طرف را با $-7$ جمع می‌کنیم و سپس بر ۲ تقسیم می‌کنیم:

گام ۲: ب) این بخش همان نمونهٔ حل‌شده است و جواب آن $D=\{x\in\mathbb{R}\mid x<2\}$ است.

گام ۳: ج) ابتدا پرانتز را باز می‌کنیم، سپس $-2x$ و $+3$ را به دو طرف اضافه می‌کنیم:

گام ۴: د) دو طرف را در ۱۲ (مخرج مشترک) ضرب می‌کنیم:

گام ۵: پرانتزها را باز و ساده می‌کنیم:

سپس $4x$ را اضافه و $-56$ را جمع می‌کنیم:

بررسی: برای $x=-5$ سمت چپ $\frac{31}{12}$ و سمت راست $\frac{19}{6}$ است و نابرابری برقرار است.

گام ۱: در هر قسمت، تفاضل دو عدد را بررسی می‌کنیم. اگر $x-y>0$ باشد، آنگاه $x>y$ و اگر $x-y<0$ باشد، آنگاه $x<y$.

گام ۲: الف) چون $a-b=1>0$ است، پس $a>b$.

گام ۳: ب) چون $u-v=-2<0$ است، پس $u<v$ و در نتیجه $v>u$.

گام ۴: ج) رابطه را ساده می‌کنیم:

پس $q>p$ و در نتیجه $p<q$.

گام ۵: د) دو طرف را در ۲ ضرب می‌کنیم:

پس $a<b$.

گام ۱: در (الف) داریم $b\neq 0$، پس $b^2>0$. مخرج مثبت است و کسر فقط وقتی منفی می‌شود که صورت منفی باشد، یعنی $ac<0$. پس $a$ و $c$ باید مخالف‌علامت باشند. علامت $b$ مهم نیست و فقط باید $b\neq0$ باشد.

گام ۲: در (ب) علامت $\frac{a}{bc}$ با علامت $a\cdot bc$ یکی است. پس باید $a$ و $bc$ هم‌علامت باشند.

• اگر $a>0$ باشد، $b$ و $c$ هم‌علامت‌اند (هر دو مثبت یا هر دو منفی).
• اگر $a<0$ باشد، $b$ و $c$ مخالف‌علامت‌اند.

گام ۳: در (ج) برای $ab>0$ باید $a$ و $b$ هم‌علامت باشند، یعنی هر دو مثبت یا هر دو منفی. عدد $c$ هر مقدار دلخواهی می‌تواند باشد.

گام ۴: در (د) داریم $a\neq 0$، پس $a^2>0$. کسر مثبت است اگر مخرج هم مثبت باشد، یعنی $bc>0$. پس $b$ و $c$ باید هم‌علامت باشند. علامت $a$ مهم نیست و فقط باید $a\neq0$ باشد.

گام ۱: الف) پرانتز را باز می‌کنیم و ساده می‌کنیم:

دو طرف را با $x+1$ جمع می‌کنیم: $3x<6$. سپس بر ۳ تقسیم می‌کنیم: $x<2$.
$D=\{x\in\mathbb{R}\mid x<2\}$

گام ۲: ب) پرانتز را باز می‌کنیم:

دو طرف را با $10x-3$ جمع می‌کنیم: $8x\ge 12$. سپس بر ۸ تقسیم می‌کنیم: $x\ge \frac{3}{2}$.
$D=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge \frac32\}$

گام ۳: ج) دو طرف را در ۴ ضرب می‌کنیم:

دو طرف را با $-y$ جمع می‌کنیم: $-7>y$، یعنی $y<-7$.
$D=\{y\in\mathbb{R}\mid y<-7\}$

گام ۴: د) دو طرف را در ۱۲ ضرب می‌کنیم (عدد مثبت است، پس جهت نابرابری عوض نمی‌شود):

دو طرف را با $3q-4$ جمع می‌کنیم: $-28\le 7q$. سپس بر ۷ تقسیم می‌کنیم: $q\ge -4$.
$D=\{q\in\mathbb{R}\mid q\ge -4\}$

گام ۱: سؤال می‌پرسد آیا از $a^2>b^2$ همواره نتیجه می‌شود $a>b$. برای نادرست بودن یک مثال نقض کافی است.

گام ۲: مثال نقض: $a=-3$ و $b=2$. داریم $a^2=9$ و $b^2=4$ پس $a^2>b^2$ برقرار است.

گام ۳: ولی $a=-3<2=b$ است، یعنی $a>b$ برقرار نیست.

گام ۴: علت: $a^2>b^2$ یعنی $(a-b)(a+b)>0$؛ این فقط وقتی به $a>b$ می‌انجامد که $a+b>0$ باشد (مثلاً وقتی هر دو مثبت‌اند). اگر $a$ منفی و قدرمطلقش بزرگ‌تر باشد، نتیجه برقرار نیست.

گام ۱: می‌خواهیم نشان دهیم: اگر $a,b>0$ و $a^2>b^2$ آنگاه $a>b$. از اختلاف دو مربع شروع می‌کنیم: از $a^2>b^2$ نتیجه می‌شود $a^2-b^2>0$ (طرفین را با $-b^2$ جمع می‌کنیم).

گام ۲: با اتحاد مزدوج داریم:

گام ۳: چون $a>0$ و $b>0$، پس $a+b>0$ است. یعنی حاصل‌ضرب $(a-b)(a+b)$ مثبت است و یکی از عامل‌ها (یعنی $a+b$) مثبت است؛ بنابراین عامل دیگر هم باید مثبت باشد (اگر $a-b\le 0$ بود، چون $a+b>0$، حاصل‌ضرب ≤ ۰ می‌شد که با مثبت بودن آن تناقض دارد).

گام ۴: پس $a-b>0$ و با جمع کردن دو طرف با $b$ نتیجه می‌گیریم $a>b$. ✓

گام ۱: در هر عبارت، مقدارهای مجهول را با نماد نشان می‌دهیم و کلمه‌های «حداقل» و «حداکثر» را به نماد نابرابری برمی‌گردانیم. «حداقل» یعنی $\ge$ و «حداکثر» یعنی $\le$.

گام ۲ (الف): پول علی را $x$ تومان می‌گیریم. سه برابر پول او $3x$ و دو برابر پولش $2x$ است. عبارت می‌گوید $3x$ حداقل ۳۰۰۰۰ تومان از $2x$ بیشتر است، یعنی اختلاف $3x-2x$ بزرگ‌تر یا مساوی ۳۰۰۰۰ است:

گام ۳ (ب): نصف عدد $a$ برابر $\frac{a}{2}$ و چهار برابر عدد $b$ برابر $4b$ است. مجموع این دو حداکثر ۶ است: