حل تمرین صفحه ۹۳ ریاضی دهم

گام ۱: در متن، نماد «r» در $\frac{x}{r}$ احتمالاً خطای چاپ یا تشخیص عدد ۲ است (مانند $rx$ در مثال که همان $2x$ است). پس نامعادلهٔ الف را $\left|\frac{x}{2}+1\right|<\frac{2}{3}$ در نظر می‌گیریم.

گام ۲ (الف): چون $|u|<a$ است، آن را به نامعادلهٔ دوگانه تبدیل می‌کنیم:

از همهٔ طرف‌ها ۱ را کم می‌کنیم:

سپس در ۲ ضرب می‌کنیم:

پس مجموعه جواب $\left(-\frac{10}{3},-\frac{2}{3}\right)$ است. روی محور، بین $-\frac{10}{3}\approx-3/3$ و $-\frac{2}{3}\approx-0/7$ را پررنگ می‌کنیم و دو سر را توخالی می‌گذاریم، چون نامساوی اکید است.

گام ۳ (ب): چون $|u|\ge a$ است، دو حالت داریم:

(در تقسیم بر عدد منفی، جهت نامساوی عوض می‌شود.)

گام ۴: مجموعه جواب $(-\infty,2]\cup[3,+\infty)$ است. روی محور، از ۲ به سمت چپ و از ۳ به سمت راست را پررنگ می‌کنیم و نقطه‌های ۲ و ۳ را توپر می‌گذاریم، چون علامت مساوی وجود دارد. بازهٔ بین ۲ و ۳ جزو جواب نیست.

گام ۱: بازهٔ $(1, 9)$ یک بازهٔ باز است؛ پس نامعادله باید علامت $<$ داشته باشد (بدون تساوی) و به شکل $|x-a|<r$ باشد.

گام ۲: مرکز بازه، وسط دو سر آن است: $a=\dfrac{1+9}{2}=5$.

گام ۳: شعاع بازه، فاصلهٔ مرکز تا هر سر است: $r=9-5=4$.

گام ۴: پس نامعادله می‌شود:

گام ۵: بررسی: $-4<x-5<4 \Rightarrow 1<x<9$ که همان بازهٔ $(1,9)$ است.

گام ۱: جواب شامل دو بازهٔ بیرونی است، پس نامعادله باید به شکل $|u|\ge a$ باشد، یعنی $u\ge a$ یا $u\le -a$.

گام ۲: مرکز دو نقطهٔ ۳ و ۶ برابر میانگین آن‌هاست:

فاصلهٔ هر یک از دو نقطه تا این مرکز برابر است با $\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}$.

گام ۳: جواب‌ها نقاطی هستند که فاصلهٔ آن‌ها از $\frac{9}{2}$ حداقل $\frac{3}{2}$ است:

گام ۴: بررسی:

پس جواب $(-\infty,3]\cup[6,+\infty)$ است. دو سر بازه‌ها بسته‌اند و در نامعادله علامت مساوی داریم، که درست است.

با ضرب دو طرف در ۲، شکل دیگر آن $|2x-9|\ge 3$ می‌شود. پاسخ‌های هم‌ارز دیگری نیز ممکن است.

گام ۱: الف) همهٔ طرف‌ها را ساده می‌کنیم:

ب) نامعادله را به دو بخش تقسیم می‌کنیم. از $x+1\le 5-x$ داریم $x\le 2$ و از $5-x<2x+3$ داریم $x>\frac{2}{3}$. اشتراک این دو شرط $\frac{2}{3}<x\le 2$ است.
پ) $-2<\frac{5-x}{2}<0 \Rightarrow -4<5-x<0 \Rightarrow -9<-x<-5 \Rightarrow 5<x<9$

گام ۲: ت) ریشهٔ صورت $x=2$ و ریشهٔ مخرج $x=-\frac{1}{3}$ است. جدول تعیین علامت:

برای $x<-\frac{1}{3}$ کسر منفی است. در $-\frac{1}{3}<x<2$ کسر مثبت است. در $x=2$ کسر صفر است و قابل قبول است، ولی $x=-\frac{1}{3}$ مخرج را صفر می‌کند و جزو جواب نیست.

ث) همواره $x^2+4>0$ است، پس علامت عبارت همان علامت $x$ است. بنابراین $x<0$.

گام ۳: ج) مخرج $x^2-2x+2$ دلتای $4-8=-4<0$ دارد و ضریب $x^2$ مثبت است، پس مخرج همواره مثبت است. بنابراین باید $x^3-x\le 0$ باشد:

ریشه‌ها $-1$، $0$ و $1$ هستند. عبارت برای $x>1$ مثبت است و علامت‌ها یک‌درمیان عوض می‌شوند. عبارت در $x\le -1$ و در $0\le x\le 1$ نامثبت است.

گام ۴: چ)

ح) $|\frac{x-1}{2}-1|\ge 3$ را به دو حالت تقسیم می‌کنیم:

• $\frac{x-1}{2}-1\ge 3 \Rightarrow \frac{x-1}{2}\ge 4 \Rightarrow x\ge 9$
• $\frac{x-1}{2}-1\le -3 \Rightarrow \frac{x-1}{2}\le -2 \Rightarrow x\le -3$

گام ۱: عبارت $A = x^2 + 3x + k$ یک سهمی با ضریب $x^2$ برابر ۱ است، پس دهانهٔ آن رو به بالاست.

گام ۲: سهمی رو به بالا وقتی همواره مثبت است که محور $x$ها را قطع نکند و کاملاً بالای آن باشد. یعنی معادلهٔ $x^2 + 3x + k = 0$ ریشهٔ حقیقی نداشته باشد و $\Delta < 0$ باشد.

گام ۳: مقدار دلتا را حساب می‌کنیم:

گام ۴: شرط $\Delta < 0$ را حل می‌کنیم:

گام ۵: بررسی: برای $k = 3$ داریم $x^2 + 3x + 3$ با $\Delta = 9 - 12 = -3 < 0$، پس همواره مثبت است. برای $k = \frac{9}{4}$ داریم $\left(x + \frac{3}{2}\right)^2$ که در $x = -\frac{3}{2}$ صفر می‌شود، پس این مقدار قابل قبول نیست.

گام ۱: سهمی $y=mx^2-mx-1$ باید واقعاً سهمی باشد، پس $m\neq 0$. برای اینکه همواره پایین محور $x$ها باشد، دهانهٔ آن باید رو به پایین باشد، یعنی $m<0$.

گام ۲: سهمی نباید محور $x$ها را قطع کند یا بر آن مماس شود. پس معادلهٔ $mx^2-mx-1=0$ باید ریشهٔ حقیقی نداشته باشد، یعنی $\Delta<0$.

گام ۳: $\Delta$ را حساب می‌کنیم:

گام ۴: نامعادلهٔ $m(m+4)<0$ را حل می‌کنیم. ریشه‌ها $m=0$ و $m=-4$ هستند و عبارت بین دو ریشه منفی است، پس $-4<m<0$.

گام ۵: این بازه با شرط $m<0$ سازگار است. بررسی: برای $m=-1$ داریم $y=-x^2+x-1$ و $\Delta=1-4=-3<0$ و دهانه رو به پایین است، پس همواره زیر محور است.

گام ۱: در متن، نماد «Δ» همان رقم ۵ است، پس رابطه‌ی ارتفاع $h=-5t^2+18t+13$ است. شرط مسئله $h>13$ است:

گام ۲: ۱۳ را از دو طرف کم می‌کنیم و فاکتور می‌گیریم:

گام ۳: ریشه‌ها $t=0$ و $t=\frac{18}{5}=3/6$ هستند. ضریب $t^2$ منفی است، پس عبارت بین دو ریشه مثبت است (خارج دو ریشه منفی). بنابراین:

گام ۴: بررسی: برای $t=1$ داریم $h=-5+18+13=26>13$ ✓. در $t=3/6$ داریم $h=13$ و بعد از آن کمتر از ۱۳ می‌شود. در این بازه جسم هنوز به زمین نرسیده است، زیرا $h\ge 13$ است و بازه قابل قبول است.

گام ۱: شرط مسئله این است که $y>110$ باشد:

گام ۲: دو طرف را در $\frac{8}{15}$ (عددی مثبت) ضرب می‌کنیم تا ضریب $x^2$ برابر ۱ شود:

گام ۳: ریشه‌ها $x=4$ و $x=12$ هستند. چون ضریب $x^2$ مثبت است، عبارت بیرون ریشه‌ها مثبت می‌شود:

گام ۴: زمان باید در بازهٔ $0\le x\le 8$ باشد. اشتراک این بازه با جواب نامعادله برابر $[0,4)$ است. بررسی: در $x=0$ داریم $y=200>110$ و در $x=4$ داریم $y=110$. در $x=8$ هم $y=80<110$ است.

گام ۵: همهٔ جواب‌های نامعادله قابل قبول نیستند. مقادیر $x<0$ و $x>12$ خارج از بازهٔ مجاز $[0,8]$ هستند و پذیرفته نمی‌شوند. فقط $0\le x<4$ قابل قبول است.