حل تمرین صفحه ۴۲ ریاضی دهم (گام به گام)

حل تمرین صفحه ۴۲ ریاضی دهم

جواب گام‌به‌گام ۱ تمرین صفحهٔ ۴۲ کتاب ریاضی ۱ (فصل ۲: مثلثات)، پایهٔ دهم.

صورت هر تمرین همان متن کتاب است. جواب را هوش مصنوعی گام‌به‌گام نوشته و هوش مصنوعی دیگری از یک شرکت دیگر، بی‌آنکه آن را ببیند، همان تمرین را حل کرده؛ فقط جوابی این‌جا آمده که هر دو به آن رسیده‌اند. اول خودت روی کاغذ حل کن، بعد راهت را با گام‌ها مقایسه کن.

به‌روزرسانی: ۱۳ آبان ۱۴۰۵

فعالیت

مثلث قائم‌الزاویهٔ $\mathrm{ABC}$ را درنظر بگیرید.
الف) اندازهٔ وتر یعنی $x$ را بیابید و سپس مقدار عددی هر یک از چهار نسبت مثلثاتی را برای زاویهٔ $\theta$ و $\alpha$ به‌دست آورید.

\sin \theta = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{r}}{\dots\dots} \qquad\qquad \sin \alpha = \dots\dots\dots\dots

\cos \theta = \dots\dots\dots\dots \qquad\qquad \cos \alpha = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}} = \frac{\mathrm{r}}{\dots\dots}

\tan \theta = \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dots\dots \qquad\qquad \tan \alpha = \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}} = \dots\dots\dots\dots

\cot \theta = \frac{1}{\dots\dots} = \frac{\cos \theta}{\dots\dots} = \dots\dots\dots\dots \qquad\qquad \cot \alpha = \dots\dots\dots\dots

ب) با توجه به مقادیر عددی حاصل در قسمت (الف) مقدار $\sin^{\mathrm{r}} \theta + \cos^{\mathrm{r}} \theta$ و $\sin^{\mathrm{r}} \alpha + \cos^{\mathrm{r}} \alpha$ را به‌دست آورید.

پ) درستی رابطهٔ $\sin^{\mathrm{r}} \theta + \cos^{\mathrm{r}} \theta = 1$ را با استفاده از تعریف و اضلاع مثلث، بررسی کنید.

(\sin \theta)^{\mathrm{r}} + (\cos \theta)^{\mathrm{r}} = \sin^{\mathrm{r}} \theta + \cos^{\mathrm{r}} \theta = (\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AC}})^{\mathrm{r}} + (\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}})^{\mathrm{r}} = \frac{\mathrm{BC}^{\mathrm{r}} + \mathrm{AB}^{\mathrm{r}}}{\mathrm{AC}^{\mathrm{r}}} = \dots\dots\dots\dots

ت) مشابه قسمت (پ) درستی رابطهٔ $\sin^{\mathrm{r}} \alpha + \cos^{\mathrm{r}} \alpha = 1$ را بررسی کنید.

جواب گام‌به‌گام

گام ۱: مثلث در رأس $B$ قائمه است و $BC=3$ و $AB=4$ است. طبق فیثاغورس داریم:

x=AC=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5

گام ۲ (الف): $\theta$ در رأس $A$ و $\alpha$ در رأس $C$ است.

برای $\theta$ :

\sin\theta=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5},\quad \cos\theta=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}

\tan\theta=\frac{BC}{AB}=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{3}{4},\quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{4}{3}

برای $\alpha$ :

\sin\alpha=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5},\quad \cos\alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{5}

\tan\alpha=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{3},\quad \cot\alpha=\frac{3}{4}

گام ۳ (ب):

\sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1

گام ۴ (پ): طبق قضیهٔ فیثاغورس $BC^2+AB^2=AC^2$ است، پس:

\sin^2\theta+\cos^2\theta=\frac{BC^2+AB^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}=1

گام ۵ (ت): به همین ترتیب:

\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=\left(\frac{AB}{AC}\right)^2+\left(\frac{BC}{AC}\right)^2=\frac{AB^2+BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}=1

جواب نهایی

الف) $x=5$ ؛ $\sin\theta=\frac35,\ \cos\theta=\frac45,\ \tan\theta=\frac34,\ \cot\theta=\frac43$ و $\sin\alpha=\frac45,\ \cos\alpha=\frac35,\ \tan\alpha=\frac43,\ \cot\alpha=\frac34$
ب) هر دو مجموع برابر ۱ است ( $\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$ )
پ) $\frac{BC^2+AB^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}=1$
ت) $\frac{AB^2+BC^2}{AC^2}=1$ ، پس $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$

از هوش مصنوعی بپرس: حل با عکس

جایی از این جواب‌ها را نفهمیدی یا تمرینت این‌جا نیست؟ از سوال عکس بگیر؛ «حل با عکس» در پنل یادگیری 1xAi آن را گام‌به‌گام و فارسی حل می‌کند، دلیل هر گام را می‌گوید، با یک مدل دیگر چک می‌کند و صفحهٔ کتاب درسی را نشان می‌دهد. با «از این بپرس» هر گام را می‌پرسی. پلن رایگان سهمیهٔ روزانه دارد.

ساختن حساب رایگان است و بعد از ثبت‌نام مستقیم به همین بخش از پنل برمی‌گردی.