خلاصه درس فصل ۷ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

توان، نوشتن کوتاهِ ضربِ عامل‌های مساوی است؛ مثلاً در $a^m$، عدد $a$ پایه و $m$ توان است. برای ضرب، اول نگاه کن چه چیزی مشترک است. اگر پایه‌ها مساوی باشند، پایه را نگه می‌داریم و توان‌ها را جمع می‌کنیم: $a^m\times a^n=a^{m+n}$. چون عامل‌های دو گروه کنار هم قرار می‌گیرند، تعدادشان بیشتر می‌شود.

اگر توان‌ها مساوی باشند، پایه‌ها را ضرب می‌کنیم و توان مشترک را نگه می‌داریم: $a^m\times b^m=(ab)^m$. این دو قانون را جابه‌جا به کار نبر؛ اگر نه پایه‌ها برابرند و نه توان‌ها، هیچ‌کدام مستقیم قابل استفاده نیست.

گاهی یک عدد توان‌دار، خودش به توان می‌رسد؛ مثل $(a^m)^n$. پرانتز یعنی تمامِ $a^m$ یک بسته است و این بسته، به تعداد توان بیرونی در خودش ضرب می‌شود. در هر بسته $m$ عامل داریم و تعداد بسته‌ها $n$ است؛ پس روی‌هم $mn$ عامل داریم.

بنابراین در توانِ توان، توان‌ها ضرب می‌شوند: $(a^m)^n=a^{mn}$. این وضعیت با ضرب دو عدد توان‌دار فرق دارد. در $a^m\times a^n$ دو گروه عامل را کنار هم می‌گذاریم، اما در $(a^m)^n$ یک گروه را چند بار تکرار می‌کنیم. پیش از محاسبه، به پرانتز و علامت ضرب نگاه کن.

قبل از هر قانون، مشخص کن پایه دقیقاً چیست. در $(-5)^2$، علامت منفی داخل پرانتز است؛ پس پایه، عدد منفی است و در ضرب تکرار می‌شود. در $-5^2$، پایه فقط $5$ است و منفی بعد از محاسبهٔ توان اعمال می‌شود. این دو نوشته یک معنا ندارند.

برای پایهٔ منفی، توان زوج نتیجهٔ مثبت و توان فرد نتیجهٔ منفی می‌دهد؛ چون هر جفت عامل منفی، حاصل‌ضرب مثبت دارد. همچنین برای هر پایهٔ ناصفر، $a^0=1$ است؛ توان صفر را با حاصل صفر اشتباه نگیر. هنگام ساده‌کردن، پرانتزهای پایهٔ منفی را حفظ کن تا علامت پاسخ گم نشود.

قانون جمع کردن توان‌ها برای ضرب است، نه جمعِ دو عبارت. وقتی دو مقدار برابر را جمع می‌کنی، در واقع دو برابر یکی از آن‌ها را داری. درست مثل دو بستهٔ هم‌اندازه که تعداد وسایلشان را با دو برابر کردن محتوای یک بسته پیدا می‌کنی.

پس برای جمعِ چند عبارت توان‌دار یکسان، اول تعداد تکرارها را به صورت ضریب بنویس. به طور کلی $A+A=2A$ است، حتی اگر خودِ $A$ عددی توان‌دار باشد. سپس بررسی کن آیا می‌توان ضریب و عبارت توان‌دار را با قانون ضرب ترکیب کرد. مستقیم جمع کردن توان‌ها در یک عبارت جمعی، راه درستی نیست.

در تقسیمِ توان‌های هم‌پایه، می‌توان عامل‌های مشترک صورت و مخرج را ساده کرد. هر عاملی که از مخرج حذف می‌شود، یک عامل هم از صورت کنار می‌رود؛ پس تعداد عامل‌های باقی‌مانده با تفریق به دست می‌آید.

برای پایهٔ ناصفر داریم: $a^m\div a^n=a^{m-n}$. در نمونه‌های این درس، توان صورت را بزرگ‌تر یا مساوی توان مخرج می‌گیریم. پایه باید ناصفر باشد، چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است. اگر دو توان برابر باشند، نسبت برابر یک می‌شود؛ این با قانون $a^0=1$ سازگار است. بنابراین در تقسیم، توان‌ها را کم می‌کنیم، نه اینکه آن‌ها را بر هم تقسیم کنیم.

توان، شکل کوتاهِ ضرب تکراری است؛ مثلاً $10^7$ یعنی هفت عاملِ $10$ در هم ضرب شده‌اند. وقتی آن را بر $10^2$ تقسیم می‌کنیم، می‌توانیم تقسیم را به شکل کسر بنویسیم و عامل‌های مشترک صورت و مخرج را ساده کنیم.

در اینجا دو عاملِ $10$ از صورت با دو عاملِ $10$ از مخرج ساده می‌شوند و پنج عامل در صورت باقی می‌ماند. راه دیگر این است که از همان ابتدا بنویسیم $10^7=10^2\times10^5$؛ آن‌وقت بخش مشترک بهتر دیده می‌شود.

پس این روش یک ترفند حفظی نیست؛ از معنای توان و ساده‌کردن کسر می‌آید. یادت باشد فقط عامل‌های ضربی مشترک و ناصفر را می‌توان ساده کرد.

حالا می‌توانیم نتیجه را به شکل یک قانون کوتاه بگوییم: در تقسیم توان‌ها با پایه‌های مساوی، پایه را نگه می‌داریم و توانِ مخرج را از توانِ صورت کم می‌کنیم. برای $a\ne0$ و $m>n$ داریم: $a^m\div a^n=a^{m-n}$.

قبل از استفاده از قانون، یک لحظه پایه‌ها را بررسی کن: آیا دقیقاً یکسان‌اند؟ پایه ممکن است عدد مثبت، عدد منفی، کسر یا حتی عبارتی مثل $(xy)$ باشد. اگر پایه منفی یا کسری است، پرانتزهای آن را نگه دار؛ مثلاً در $(-9)^5$، تمامِ $(-9)$ پایه است.

نکتهٔ کوچک اما مهم: عددی که توانش نوشته نشده، توانِ یک دارد؛ یعنی $a=a^1$. پس اگر در مخرج فقط $a$ دیدی، باید یک را از توان صورت کم کنی. شرطِ ناصفر بودن پایه هم لازم است، چون تقسیم بر صفر تعریف نشده است.

تا اینجا عامل‌های صورت بیشتر بود؛ اما اگر تعداد عامل‌ها برابر یا کمتر باشد چه می‌شود؟ باز هم همان ساده‌کردن عامل‌های مشترک به کمکمان می‌آید؛ لازم نیست قانون تازه‌ای حدس بزنیم.

اگر صورت و مخرج دقیقاً برابر و ناصفر باشند، حاصل تقسیم یک است. مثلاً در $\frac{a^3}{a^3}$ با شرط $a\ne0$، همهٔ عامل‌ها ساده می‌شوند و حاصل $1$ است، نه صفر.

اگر توانِ صورت کمتر باشد، پس از ساده‌کردن، چند عامل در مخرج می‌ماند. برای نمونه، در $\frac{a^3}{a^5}$ سه عامل مشترک ساده می‌شود و حاصل $\frac{1}{a^2}$ است. برای این حالت فعلاً پاسخ را به شکل کسر می‌نویسیم. همیشه از خودت بپرس: «عامل‌های اضافه کدام طرفِ کسر مانده‌اند؟»

توان را مثل یک بستهٔ ضرب ببین: $a^m$ یعنی عاملِ $a$ به تعداد $m$ بار در خودش ضرب شده است. حالا اگر دو عدد توان‌دار، توان‌های برابر داشته باشند، تعداد عامل‌های صورت و مخرج یکسان است. می‌توانی هر عاملِ صورت را با یک عاملِ مخرج جفت کنی؛ همهٔ این جفت‌ها یک نسبت یکسان می‌سازند.

پس لازم نیست اول عددهای بزرگ را حساب کنی. کافی است نسبتِ پایه‌ها را پیدا کنی و همان تعداد تکرار را نگه داری. شبیه وقتی است که چند بستهٔ هم‌اندازه را مقایسه می‌کنی: نسبتِ تعداد چیزهای داخل هر بسته، راه مقایسه را کوتاه می‌کند. فقط یادت باشد مقسوم‌علیه نباید صفر باشد.

حالا می‌توانیم روشمان را به یک قانون کوتاه تبدیل کنیم: وقتی توان‌ها مساوی‌اند، پایه‌ها را تقسیم می‌کنیم و توان مشترک را نگه می‌داریم. برای توان طبیعیِ $m$ داریم:

$a^m\div b^m=\left(\frac{a}{b}\right)^m\qquad b\ne0$

پرانتز مهم است: تمامِ نسبتِ دو پایه باید به توان برسد. اگر پایه‌ها منفی باشند، اول علامتِ نسبت را مشخص کن؛ تقسیم دو عدد منفی، مثبت است. اگر نسبت منفی شد، زوج یا فرد بودن توان، علامتِ نتیجه را تعیین می‌کند.

این قانون را با تقسیمِ پایه‌های مساوی قاطی نکن! در $a^p\div a^q$، پایه ثابت می‌ماند و توان‌ها کم می‌شوند. پیش از هر تقسیم از خودت بپرس: «چه چیزی برابر است؛ پایه‌ها یا توان‌ها؟»

در عبارت‌های چندبخشی ممکن است یک قانون کافی نباشد. اول ساختار عبارت را نگاه کن و بعد تصمیم بگیر کدام بخش‌ها را می‌توانی با هم ساده کنی. اگر یک پایه هم در صورت و هم در مخرج دیده می‌شود، توان‌های آن را کم کن. سپس بررسی کن آیا توان‌های باقی‌مانده مساوی شده‌اند یا نه؛ اگر مساوی باشند، می‌توانی آن‌ها را به یک توان تبدیل کنی.

برای مرتب‌کردن فکرهایت، این یادآوری کمک می‌کند: در ضربِ پایه‌های مساوی، توان‌ها جمع می‌شوند؛ در تقسیمِ پایه‌های مساوی، کم می‌شوند؛ و در توانِ یک توان، در هم ضرب می‌شوند. اما در تقسیمِ توان‌های مساوی، خودِ پایه‌ها تقسیم می‌شوند. هر بار دلیل انتخاب قانون را برای خودت بگو؛ این کار جلوی جابه‌جاکردن قانون‌ها را می‌گیرد.

گاهی پاسخ یک مسئله، جذر عددی است که مربع کامل نیست. مثلاً در مسئلهٔ پل، اگر طول پل را $x$ بنامیم، رابطهٔ فیثاغورس می‌گوید $x^2=5^2+3^2=34$؛ بنابراین طول پل $\sqrt{34}$ متر است.

برای شروع، لازم نیست رقم‌های اعشاری را بدانیم. دو مربع کاملِ نزدیک به عدد را پیدا می‌کنیم: $25<34<36$. چون $5^2=25$ و $6^2=36$، نتیجه می‌گیریم $5<\sqrt{34}<6$.

این یعنی جای پاسخ را در یک بازهٔ کوچک پیدا کرده‌ایم. یادت باشد در عددهای مثبت، هرچه عدد بزرگ‌تر باشد، مربعش هم بزرگ‌تر است؛ همین ویژگی پایهٔ روش ماست.

حالا که می‌دانیم پاسخ بین کدام دو عدد صحیح است، می‌توانیم بازه را کوچک‌تر کنیم. یک عدد داخل بازه انتخاب می‌کنیم و مربعش را با عددِ زیر رادیکال مقایسه می‌کنیم. اگر مربع کوچک‌تر باشد، حدس ما کوچک است؛ اگر بزرگ‌تر باشد، حدس ما بزرگ است.

برای مسئلهٔ پل، داریم $5.8^2=33.64$ و $5.9^2=34.81$. پس $5.8<\sqrt{34}<5.9$. با همین روش می‌توان عددهای بین این دو را هم آزمود و به پاسخ نزدیک‌تر شد.

پیدا کردن بازه با نوشتن پاسخ تقریبی فرق دارد. بازه می‌گوید پاسخ کجاست؛ علامت $\simeq$ می‌گوید عددی نزدیک به پاسخ نوشته‌ایم، نه مقدار دقیق آن را.

برای رسیدن به دو رقم اعشار، همان جست‌وجو را با گام‌های کوچک‌تر ادامه می‌دهیم: به‌جای دهم‌ها، صدم‌ها را آزمایش می‌کنیم. ماشین‌حساب هم می‌تواند رقم‌های بیشتری نشان دهد، اما بهتر است اول بازهٔ پاسخ را حدس بزنیم تا اگر عددی نامعقول دیدیم، متوجه شویم.

مثلاً نمایش ماشین‌حساب برای جذرِ مسئلهٔ پل $\sqrt{34}\simeq5.83095$ است. برای گرد کردن تا یک رقم اعشار، رقم صدم را می‌بینیم؛ پس پاسخ $5.8$ است. برای دو رقم اعشار، رقم هزارم را می‌بینیم؛ پس پاسخ $5.83$ است.

در گرد کردن، اگر رقم بعدی کمتر از $5$ باشد، آخرین رقمِ نگه‌داشته‌شده تغییر نمی‌کند؛ اگر $5$ یا بیشتر باشد، یکی به آن اضافه می‌کنیم. صرفاً پاک کردن رقم‌های اضافی همیشه گرد کردن نیست.

برای تخمین یک ریشه، اول دنبال دو مربع کاملِ نزدیک به عدد زیر رادیکال بگرد. ریشهٔ آن دو مربع، مرزهای اولیهٔ تو هستند. سپس عددهای یک‌رقم‌اعشاریِ بین این دو مرز را به توان دو برسان تا بازه تنگ‌تر شود؛ درست مثل پیدا کردن جای یک نشانی، از محله تا کوچه!

اگر پاسخ را با گرد کردن بخواهیم، باید نزدیک‌ترین عدد با تعداد رقم خواسته‌شده را انتخاب کنیم، نه اینکه فقط رقم‌های بعدی را حذف کنیم. برای مقایسه هم می‌توانی از همین بازه‌ها کمک بگیری. اگر از ماشین‌حساب استفاده می‌کنی، مقدار کاملِ هر طرفِ مقایسه را حساب کن؛ جمع یا تفریقِ بیرون رادیکال را فراموش نکن.

روی محور، هرچه به راست برویم عددها بزرگ‌تر می‌شوند. برای پیدا کردن جای یک عدد رادیکالی، اول مقدار یا بازهٔ آن را بشناس. مثلاً $\sqrt{25}$ همان $5$ است؛ اما $-\sqrt{25}$ در سمت چپ صفر و روی $-5$ قرار می‌گیرد. علامت منفی بیرون رادیکال را نادیده نگیر!

دو عددِ $\sqrt{a}$ و $-\sqrt{a}$ برای $a>0$ از صفر فاصلهٔ برابر دارند و قرینهٔ یکدیگرند. در تمرینِ انتخاب عدد برای یک نقطه، فقط حدس نزن: ابتدا بازهٔ هر گزینه را مشخص کن، سپس جای آن را با نقطه بسنج. برای عددهای منفی، فاصلهٔ بیشتر از صفر یعنی قرار گرفتن در سمت چپ‌تر، نه بزرگ‌تر بودن.

تخمین، جای یک عدد را تقریباً نشان می‌دهد؛ اما هندسه می‌تواند بعضی طول‌های رادیکالی را دقیق بسازد. روی محور، $O$ را مبدأ و $A$ را نقطهٔ $1$ بگیر. در $A$ پاره‌خطی عمود بر محور به طول $1$ رسم کن و سر آن را $B$ بنام. طبق رابطهٔ فیثاغورس، $OB^2=1^2+1^2=2$؛ پس طول وتر $OB=\sqrt{2}$ است.

حالا پرگار را به اندازهٔ $OB$ باز کن و با مرکز $O$ کمان بزن. برخورد کمان با سمت راست محور، $\sqrt{2}$ را نشان می‌دهد؛ برخورد سمت چپ، $-\sqrt{2}$ را. پرگار مثل وسیله‌ای برای جابه‌جاییِ طول عمل می‌کند. با ساختن مثلث قائم‌الزاویهٔ بعدی، با ضلع‌های قائمِ $\sqrt{2}$ و $1$، می‌توان طول $\sqrt{3}$ را هم ساخت.

وقتی طولی رادیکالی را ساخته‌ای، برای نمایش جمع و تفریق لازم نیست دوباره از اول شروع کنی. جمعِ یک عدد مثبت، نقطه را به راست می‌برد و کم کردنِ آن، نقطه را به چپ می‌برد. مثل راه رفتن روی خطی که روی زمین کشیده‌ای!

برای نمایش $\sqrt{3}+1$ می‌توانی از نقطهٔ $1$ شروع کنی و به اندازهٔ $\sqrt{3}$ به راست بروی. برای $\sqrt{3}-2$ نیز عبارت را به شکل $-2+\sqrt{3}$ ببین: از $-2$ شروع کن و همان طول را به راست منتقل کن. چون $1<\sqrt{3}<2$ است، نقطهٔ پایانی بین $-1$ و $0$ قرار می‌گیرد. یادت باشد $\sqrt{3}-2$ با $\sqrt{3-2}$ یکی نیست؛ جای رادیکال مهم است.

برای نشان دادن یک عدد روی محور، باید فاصله و جهت آن نسبت به صفر را بشناسیم. برای $\sqrt{2}$، از یک مثلث قائم‌الزاویه با دو ضلع قائمِ $1$ استفاده می‌کنیم. طبق رابطهٔ فیثاغورس، مربع طول وتر برابر $1^2+1^2=2$ است؛ پس طول وتر $\sqrt{2}$ می‌شود.

حالا سوزن پرگار را روی صفر می‌گذاریم و دهانه‌اش را به اندازهٔ وتر باز می‌کنیم. برخورد کمان با نیم‌محور مثبت، جای دقیق $\sqrt{2}$ است. پرگار مثل وسیله‌ای برای «جابه‌جا کردن طول» عمل می‌کند؛ لازم نیست مقدار اعشاری طول را بدانیم.

برای $-\sqrt{2}$، همان فاصله را در سمت چپ صفر مشخص می‌کنیم. طول همیشه نامنفی است؛ علامت منفی فقط سمت نقطه را تعیین می‌کند.

می‌توانیم از طولی که ساخته‌ایم، برای ساختن طول بعدی کمک بگیریم. یک مثلث قائم‌الزاویه بساز که یکی از ضلع‌های قائمش وتر قبلی، یعنی $\sqrt{2}$، و ضلع قائم دیگرش $1$ باشد. مربع وتر تازه برابر $2+1=3$ می‌شود؛ پس طول آن $\sqrt{3}$ است.

همین روش ادامه پیدا می‌کند: هر بار وتر قبلی یک ضلع قائمِ مثلث بعدی می‌شود و ضلع قائم دیگر را به طول $1$، عمود بر آن می‌سازیم. در نتیجه، عدد زیر رادیکالِ وتر تازه، یکی بیشتر می‌شود.

نکتهٔ مهم این است که به خودِ طول قبلی، $1$ اضافه نمی‌کنیم؛ این مربع طول وتر است که یک واحد افزایش می‌یابد. هر طول ساخته‌شده را هم می‌توانیم با پرگار از صفر به محور منتقل کنیم.

وقتی یک طول رادیکالی را ساخته‌ای، لازم نیست همیشه آن را از صفر روی محور بگذاری. می‌توانی از یک عدد دیگر شروع کنی؛ درست مثل راه رفتن روی محور که هم نقطهٔ شروع مهم است و هم جهت حرکت.

برای نمایش $\sqrt{3}+1$، از $1$ به اندازهٔ $\sqrt{3}$ به راست می‌رویم. سوزن پرگار روی $1$ قرار می‌گیرد و دهانهٔ آن برابر طولِ ساخته‌شدهٔ $\sqrt{3}$ است. برخورد کمان با محور در سمت راستِ نقطهٔ شروع را انتخاب می‌کنیم.

برای تفریق هم عبارت را به شکل مناسب می‌نویسیم: $\sqrt{3}-2=-2+\sqrt{3}$. اکنون نقطهٔ شروع $-2$ است و چون طول رادیکالی را اضافه می‌کنیم، جهت حرکت به راست خواهد بود. علامتِ هر بخش را جداگانه بخوان، نه فقط علامتِ کل عبارت را.

در صفحهٔ بعد، رابطه‌ای میان ضرب و رادیکال بررسی می‌شود. اگر $a$ و $b$ مثبت باشند، ریشهٔ حاصل‌ضربشان با حاصل‌ضرب ریشه‌هایشان برابر است:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$

این رابطه را در هر دو جهت می‌توان به کار برد: می‌توانیم دو رادیکال را زیر یک رادیکال ببریم، یا عدد زیر رادیکال را به دو عامل بشکنیم. برای ساده‌کردن، بهتر است یکی از عامل‌ها مربع کامل باشد؛ چون ریشهٔ آن عددی صحیح است. مثلاً در تجزیهٔ عدد زیر رادیکال، به دنبال عامل‌هایی مانند $4$، $9$ یا $25$ می‌گردیم.

اما این قانون مربوط به ضرب است، نه جمع. معمولاً نمی‌توان $\sqrt{a+b}$ را به $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ تبدیل کرد. پیش از به‌کاربردن یک خاصیت، حتماً نگاه کن که عملِ داخل رادیکال ضرب است یا جمع.

در جدول کتاب، یک بار حاصل‌ضرب دو عدد را حساب می‌کنیم و بعد جذر می‌گیریم؛ بار دیگر اول جذر هر عدد را می‌گیریم و بعد آن‌ها را ضرب می‌کنیم. مقایسه نشان می‌دهد که پاسخ‌ها یکسان‌اند.

برای دو عدد نامنفی $a$ و $b$ داریم:

$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}$

این قانون را می‌توان از هر دو طرف خواند: هم یک رادیکال را به ضرب دو رادیکال تبدیل کنیم، هم ضرب دو رادیکال را زیر یک رادیکال ببریم. مثلاً $\sqrt{4}\times\sqrt{9}=\sqrt{36}=6$.

حواست به نوع عمل باشد: این قانون دربارهٔ ضرب است، نه جمع. برای بررسی جمع، کافی است یک نمونه را امتحان کنی: $\sqrt{9+16}=5$، اما $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$. پس جدا کردن رادیکال روی جمع، قانون درستی نیست.

حالا قانون ضرب را از سمت دیگر بخوانیم. برای ساده کردن یک رادیکال، عدد زیر آن را به دو عامل تبدیل می‌کنیم؛ بهتر است یکی از عامل‌ها مربع کامل باشد. مربع کامل عددی است که جذرش یک عدد صحیح می‌شود، مثل $4$، $9$ یا $25$.

مثلاً در $\sqrt{20}$ می‌توانیم بنویسیم $20=4\times5$. بنابراین $\sqrt{20}=\sqrt{4}\times\sqrt{5}=2\sqrt{5}$. عبارت آخر یعنی $2\times\sqrt{5}$؛ فقط علامت ضرب را ننوشته‌ایم.

عامل مربع کامل پس از جذر گرفتن از رادیکال بیرون می‌آید، ولی عامل دیگر زیر رادیکال می‌ماند. پس نمی‌توانیم یک عامل را همان‌طور که هست بیرون بیاوریم. اگر چند عامل مربع کامل پیدا کردی، انتخاب بزرگ‌ترینِ آن‌ها معمولاً راه را کوتاه‌تر می‌کند.

در تقسیم هم می‌توانیم جذر صورت و مخرج را جداگانه بگیریم. اگر $a$ نامنفی و $b$ مثبت باشد، داریم:

$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$

مثبت بودن مخرج مهم است؛ چون تقسیم بر صفر تعریف ندارد. مثلاً $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$. می‌توانی آن را با یک مربع هم تصور کنی: اگر مساحت مربعی $\frac{9}{16}$ مساحت مربعِ واحد باشد، طول ضلعش $\frac{3}{4}$ طول ضلع مربعِ واحد است.

خودِ علامت جذر، مقدار نامنفی را نشان می‌دهد. اگر علامت منفی بیرون رادیکال باشد، اول جذر را حساب می‌کنیم و بعد قرینه‌اش را می‌نویسیم؛ مثلاً $-\sqrt{\frac{9}{16}}=-\frac{3}{4}$. منفیِ بیرون رادیکال را نباید نادیده بگیریم.

در محاسبه‌های توان‌دار، اول پایه و نما را مشخص کن. در ضربِ توان‌های هم‌پایه، نماها جمع می‌شوند: $a^m\times a^n=a^{m+n}$. در تقسیمِ آن‌ها، نماها کم می‌شوند: $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$، به شرط $a\ne0$. اما در توانِ توان، نماها ضرب می‌شوند: $(a^m)^n=a^{mn}$.

اگر نماها یکسان باشند، می‌توان پایه‌ها را تقسیم کرد: $\frac{a^n}{b^n}=(\frac{a}{b})^n$، به شرط $b\ne0$. این قانون‌ها را از روی ظاهر عبارت انتخاب کن، نه از روی حدس. هنگام جایگذاری عددهای منفی هم پرانتز بگذار؛ مثلاً برای $x=-2$، عبارت $x^2$ به $(-2)^2$ تبدیل می‌شود. این کار جلوی اشتباه علامت را می‌گیرد.

ریشهٔ دومِ یک عدد، عددی است که مربعش برابر آن عدد باشد. هر عدد مثبت دو ریشهٔ دوم دارد که قرینهٔ یکدیگرند؛ مثلاً ریشه‌های دومِ $25$، عددهای $5$ و $-5$ هستند. ولی نماد جذر فقط مقدار نامنفی را نشان می‌دهد؛ یعنی $\sqrt{25}=5$.

وقتی عدد مربع کامل نیست، آن را بین دو مربع کامل قرار بده. برای جذر تقریبیِ $93$، ابتدا از $9^2<93<10^2$ استفاده می‌کنیم. سپس در یک جدول، عددهای دارای یک رقم اعشار و بعد دو رقم اعشار را مربع می‌کنیم تا بازه کوچک‌تر شود. اگر هدف گرد کردن تا دو رقم اعشار باشد، باید رقم بعدی یا مقایسه با نقطهٔ میانی را هم بررسی کنیم؛ صرفِ پیدا کردن دو صدمِ پیاپی همیشه کافی نیست.

برای عددهای نامنفی، جذرِ حاصل‌ضرب را می‌توان به حاصل‌ضربِ جذرها تبدیل کرد: $\sqrt{ab}=\sqrt a\times\sqrt b$. برای تقسیم هم $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b}$، به شرط $a\ge0$ و $b>0$. این قانون‌ها برای جمع و تفریق به همین شکل برقرار نیستند.

عدد رادیکالی فقط یک علامت روی کاغذ نیست؛ روی محور جای مشخصی دارد. برای ساختن طولِ $\sqrt{13}$، مثلث قائم‌الزاویه‌ای با ضلع‌های قائمِ $2$ و $3$ رسم کن؛ طبق رابطهٔ فیثاغورس، وترش همین طول را دارد. با پرگار این طول را از مبدأ روی سمت مثبت محور منتقل کن. اگر عدد منفی باشد، قرینهٔ نقطه را در سمت چپ مبدأ مشخص می‌کنیم.

توان‌ها فقط برای کوتاه کردن تمرین‌های ریاضی نیستند. نوشتن تعدادهای بسیار بزرگ یا اندازه‌های بسیار کوچک با رشته‌ای از صفرها، خواندن و مقایسه را دشوار می‌کند. نماد علمی راهی برای مرتب نوشتن این عددهاست.

در نماد علمیِ یک عدد مثبت، آن را به شکل $a\times10^n$ می‌نویسیم؛ ضریب باید شرطِ $1\le a<10$ را داشته باشد و $n$ عددی صحیح است. برای عددهای بزرگ، توانِ ده مثبت و برای عددهای مثبتِ کوچک‌تر از یک، منفی است. هنگام بررسی یک نوشته، هم به مقدار عدد توجه کن و هم به ضریب؛ هر عبارتِ دارای توانِ ده لزوماً نماد علمیِ استاندارد نیست.