خلاصه درس فصل ۲ ریاضی هشتم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن تعدادی مهره داری و می‌خواهی آن‌ها را در ردیف‌های هم‌اندازه بچینی، بدون اینکه مهره‌ای اضافه بماند. تعداد مهره‌های هر ردیف، یک شمارنده از تعداد کل است؛ یعنی تعداد کل بر آن بخش‌پذیر است.

عدد اول دقیقاً دو شمارندهٔ طبیعی دارد: یک و خودش. مثلاً برای $7$ مهره، فقط چیدمان‌های $1\times7$ و $7\times1$ ممکن‌اند. پس $7$ اول است. برای $12$، چیدمان $3\times4$ هم داریم؛ بنابراین اول نیست.

می‌توانیم عددهای غیراولِ بزرگ‌تر از یک را با نمودار درختی بشکنیم تا در انتهای شاخه‌ها فقط عددهای اول بمانند. مثلاً $12=2\times6$ و $6=2\times3$؛ پس $12=2\times2\times3$. این کار تجزیه به شمارنده‌های اول نام دارد. وقتی به یک عدد اول رسیدی، دیگر آن شاخه را ادامه نده.

اگر بتوانی عددی را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک بنویسی، آن عدد مرکب است. مثلاً $15=3\times5$ نشان می‌دهد $15$ مرکب است. شرط بزرگ‌تر از یک مهم است؛ نوشتنِ $7=1\times7$ دلیل مرکب بودن نیست.

عدد $1$ فقط یک شمارندهٔ طبیعی دارد؛ پس نه اول است و نه مرکب. در دسته‌بندی عددهای طبیعیِ مثبت، باید برای آن جای جداگانه‌ای در نظر بگیریم.

حالا به مضرب‌ها نگاه کن: مضرب‌های مثبت $3$ عبارت‌اند از $3،6،9،12،\ldots$. خود $3$ اول است، اما هر مضرب بعدی، حاصل‌ضرب $3$ در عددی بزرگ‌تر از یک است و مرکب می‌شود. در مقابل، همهٔ مضرب‌های مثبت یک عدد مرکب، مرکب‌اند؛ مثلاً هر بستهٔ چندتایی از گروه‌های $4$تایی، تعدادی مرکب به ما می‌دهد. همچنین $2$ تنها عدد اولِ زوج است؛ هر عدد زوج بزرگ‌تر از آن، شمارندهٔ $2$ دارد.

«اول بودن» ویژگی یک عدد است، اما «نسبت به هم اول بودن» رابطهٔ دو عدد است. برای بررسی این رابطه، شمارنده‌های مشترکشان را پیدا می‌کنیم. اگر تنها شمارندهٔ مشترک، $1$ باشد، ب.م.م آن‌ها $1$ است و نسبت به هم اول‌اند.

مثلاً شمارنده‌های $8$ عبارت‌اند از $1،2،4،8$ و شمارنده‌های $9$ عبارت‌اند از $1،3،9$. فقط $1$ مشترک است؛ پس این دو عدد با اینکه مرکب‌اند، نسبت به هم اول‌اند.

دو عدد اولِ متفاوت همیشه نسبت به هم اول‌اند. دو عدد طبیعی مثبتِ متوالی هم همین ویژگی را دارند؛ چون هر شمارندهٔ مشترکشان باید اختلاف آن‌ها، یعنی $1$، را نیز بشمارد. اگر دو عدد نسبت به هم اول باشند، ک.م.م آن‌ها برابر حاصل‌ضربشان است. این نکته هنگام پیدا کردن مخرج مشترک کسرها هم به کارت می‌آید.

برای پیدا کردن چندین عدد اول، لازم نیست هر عدد را از ابتدا بررسی کنیم. می‌توانیم فهرست عددها را مثل یک صافی غربال کنیم: عددهای غیراول را کنار بگذاریم تا اول‌ها بمانند.

در فهرست $1$ تا $50$، اول $1$ را حذف کن؛ نه به این دلیل که مرکب است، بلکه چون اول نیست. سپس خود $2$ را نگه دار و مضرب‌های مرکبش را خط بزن. همین کار را برای $3$ انجام بده. لازم نیست مرحله‌ای جدا برای $4$ داشته باشی؛ مضرب‌هایش قبلاً همراه مضرب‌های $2$ حذف شده‌اند.

بعد سراغ $5$ و $7$ برو و فقط مضرب‌های مرکبشان را حذف کن. برای این فهرست، پس از این مراحل، عددهای باقی‌مانده اول‌اند. مراقب باش عدد اولی را که با آن غربال می‌کنی خط نزنی: مثلاً $5$ می‌ماند، اما $25$ حذف می‌شود.

فرض کن می‌خواهیم از میان یک فهرست عدد، فقط عددهای اول را نگه داریم. به‌جای آزمایش جداگانهٔ همهٔ عددها، می‌توانیم عددهای نامناسب را دسته‌دسته کنار بگذاریم؛ درست مثل الک کردن.

اول، $1$ را خط می‌زنیم، چون فقط یک شمارندهٔ مثبت دارد و اول نیست؛ البته مرکب هم نیست. بعد $2$ را نگه می‌داریم و مضرب‌های بزرگ‌تر از خودش را حذف می‌کنیم. این مضرب‌ها علاوه بر $1$ و خودشان، شمارندهٔ دیگری هم دارند؛ پس مرکب‌اند.

سپس همین کار را برای $3$ انجام می‌دهیم. لازم نیست مرحله‌ای جدا برای $4$ داشته باشیم، چون هر مضرب آن، مضرب $2$ هم هست و قبلاً حذف شده است. نکتهٔ مهم: خودِ عدد اول را خط نمی‌زنیم، فقط مضرب‌های مرکبش را حذف می‌کنیم.

در هر مرحله سراغ کوچک‌ترین عددِ خط‌نخوردهٔ بعدی می‌رویم. برای یک عدد اول مثل $p$، نخستین مضربی که تازه حذف می‌شود، $p^2$ است؛ چون مضرب‌های کوچک‌ترش به کمک عددهای اول قبلی حذف شده‌اند. مثلاً در مرحلهٔ $5$، عددهای $10$، $15$ و $20$ قبلاً خط خورده‌اند و اولین حذف تازه $25$ است.

حالا شرط توقف روشن می‌شود: اگر مربع عدد اول بعدی از انتهای فهرست بزرگ‌تر باشد، کار تمام است. برای فهرست تا $50$، مرحلهٔ $7$ لازم است، چون $7^2=49$ در فهرست است؛ اما مرحلهٔ $11$ لازم نیست، چون $11^2=121>50$.

نمودار کتاب را هم همین‌طور بخوان: انتخاب عدد خط‌نخورده، بررسی مربع، حذف مضرب‌ها و بازگشت؛ یا اعلام پایان. عددهای باقی‌مانده اول‌اند.

برای بررسی فقط یک عدد مثل $n$، نیازی به نوشتن کل فهرست نیست. کافی است آن را بر عددهای اولی تقسیم کنیم که مربعشان از $n$ بیشتر نیست. اگر حتی یک تقسیم بدون باقی‌مانده باشد، عدد مرکب است؛ اگر هیچ‌کدام نباشد، عددِ بزرگ‌تر از یک، اول است.

چرا این روش کافی است؟ اگر عددی مرکب باشد، می‌توان آن را به صورت حاصل‌ضرب دو عدد بزرگ‌تر از یک نوشت. این دو عامل نمی‌توانند هر دو از $\sqrt{n}$ بزرگ‌تر باشند؛ وگرنه حاصل‌ضربشان از $n$ بیشتر می‌شود. پس یک عامل کوچک و در نتیجه یک شمارندهٔ اولِ کوچک دارد.

لازم نیست جذر را دقیق حساب کنی؛ مقایسهٔ مربع عددهای اول کافی است. مرز را هم فراموش نکن: اگر $p^2=n$ باشد، تقسیم بر $p$ هنوز لازم است.

حالا ابزارهای فصل را به هم وصل کنیم. عدد مرکب را می‌توان با نمودار درختی به عامل‌های کوچک‌تر شکست تا همهٔ عامل‌ها اول شوند. این تجزیه نشان می‌دهد عدد از چه «قطعه‌های اولی» ساخته شده است؛ مثلاً $36=2^2\times3^2$. چنین نوشتنی در کار با توان‌ها به درد می‌خورد.

«نسبت به هم اول» را با «اول بودن» اشتباه نگیر. برای اول بودن، شمارنده‌های یک عدد را بررسی می‌کنیم؛ برای نسبت به هم اول بودن، شمارنده‌های مشترک دو عدد را. اگر تنها شمارندهٔ مشترکشان $1$ باشد، نسبت به هم اول‌اند، حتی اگر هر دو مرکب باشند.

تجزیه کمک می‌کند اشتراک را سریع ببینی: $12=2^2\times3$ و $20=2^2\times5$ عامل اول مشترک $2$ دارند؛ بنابراین نسبت به هم اول نیستند.