خلاصه درس فصل ۵ ریاضی هفتم؛ درسنامه و نکات مهم

فرض کن می‌خواهی بچه‌های یک کلاس را به تیم‌هایی با تعداد نفرات برابر تقسیم کنی. مناسب بودن تعداد بچه‌ها یعنی پس از تیم‌بندی، هیچ‌کس بیرون نماند. در ریاضی هم اگر تقسیم یک عدد طبیعی بر عدد طبیعی دیگری باقی‌مانده نداشته باشد، عدد دوم را شمارندۀ عدد اول می‌نامیم. مثلاً $3$ شمارندۀ $12$ است، چون $12\div3=4$ و چیزی باقی نمی‌ماند. می‌توانیم همین رابطه را با ضرب بنویسیم: $12=3\times4$. پس هم $3$ و هم $4$ شمارندۀ $12$ هستند. دسته‌بندی، تقسیم بدون باقی‌مانده و ضرب، سه راه دیدن یک رابطه‌اند.

برای پیدا کردن همۀ شمارنده‌ها، ضرب‌های دو عدد طبیعی را پیدا کن که حاصلشان عدد موردنظر باشد. هر دو عددِ هر ضرب را در فهرست بگذار، اما عددهای تکراری را دوباره ننویس. در پایان، فهرست را از کوچک به بزرگ مرتب کن. برای هر عدد طبیعیِ مثبت، $1$ کوچک‌ترین شمارنده و خود عدد بزرگ‌ترین شمارنده است؛ بنابراین هیچ شمارنده‌ای از خود عدد بزرگ‌تر نیست. هر عدد بزرگ‌تر از $1$ دست‌کم دو شمارندۀ متفاوت دارد. یک رابطۀ مفید هم داریم: اگر $2$ شمارندۀ $4$ و $4$ شمارندۀ $12$ باشد، $2$ نیز شمارندۀ $12$ است؛ دسته‌های بزرگ‌تر را می‌توان به دسته‌های کوچک‌تر شکست.

حالا به تعداد شمارنده‌ها دقت کن. عددی را اول می‌نامیم که دقیقاً دو شمارندۀ متفاوت داشته باشد: $1$ و خودش. مثلاً شمارنده‌های $7$ فقط $1$ و $7$ هستند، پس $7$ اول است. اما اگر بتوان عددی را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعیِ بزرگ‌تر از $1$ نوشت، آن عدد اول نیست؛ چون شمارنده‌ای غیر از یک و خودش پیدا کرده‌ایم. برای رد کردن اول بودن، پیدا کردن همین یک شمارندۀ اضافی کافی است. در مقابل، پیدا نکردن شمارنده در اولین تلاش، دلیل اول بودن نیست؛ باید بررسی را کامل کنیم.

دو عدد کوچک، جلوی دو اشتباه مهم را می‌گیرند! عدد $1$ فقط یک شمارنده دارد؛ چون «یک» و «خودش» در اینجا همان یک عددند. پس $1$ اول نیست. عدد $2$ شمارنده‌های $1$ و $2$ را دارد، پس اول است؛ با اینکه زوج است. هر عدد زوجِ بزرگ‌تر از $2$، علاوه بر یک و خودش، شمارندۀ $2$ را هم دارد و اول نیست. همچنین حاصل‌ضرب دو عدد اول، اول نمی‌شود؛ چون هر یک از آن دو عدد، شمارنده‌ای غیر از یک و حاصل‌ضرب است. پس برای قضاوت، به تعریف برگرد، نه فقط ظاهر عدد.

حالا می‌توانی از میان شمارنده‌های یک عدد، آن‌هایی را که اول هستند جدا کنی؛ این‌ها شمارنده‌های اول آن عددند. مثلاً شمارنده‌های $12$ عبارت‌اند از $1،2،3،4،6،12$، اما فقط $2$ و $3$ اول‌اند. برای ساختن خود عدد از عددهای اول، می‌توانیم عامل‌های غیرِاول را باز هم به ضرب تبدیل کنیم تا فقط عددهای اول بمانند؛ این کار «تجزیه» است. در $12=2\times2\times3$، عامل $2$ تکرار شده است، ولی شمارنده‌های اولِ متفاوت همچنان فقط $2$ و $3$ هستند. پس فهرست شمارنده‌های اول با فهرست عامل‌های تکرارشده در تجزیه فرق دارد.

شمارندهٔ یک عدد، آن را بدون باقی‌مانده تقسیم می‌کند. حالا از میان شمارنده‌ها، فقط آن‌هایی را جدا کن که اول‌اند؛ این‌ها «شمارنده‌های اول» آن عدد هستند. یادت باشد عدد اول دقیقاً دو شمارندهٔ طبیعی دارد: یک و خودش. پس $1$ اول نیست و هیچ‌وقت در فهرست شمارنده‌های اول نمی‌آید. مثلاً اگر شمارنده‌ها را مثل کارت‌هایی روی میز بچینی، باید فقط کارت‌های عددهای اول را برداری، نه همهٔ کارت‌ها را. خودِ یک عدد اول هم شمارندهٔ اول خودش است؛ بنابراین هر عدد اول، فقط یک شمارندهٔ اول دارد.

برای تجزیهٔ یک عدد، آن را به‌صورت ضرب دو عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک بنویس. اگر عاملی مرکب بود، آن را هم به ضرب دو عدد بشکن. این کار شبیه بازکردن بسته‌هایی است که داخلشان بسته‌های کوچک‌تر قرار دارد؛ وقتی به عدد اول رسیدی، دیگر آن شاخه را ادامه نده. در پایان، حاصل‌ضرب همهٔ عامل‌های اول باید برابر عدد آغازین باشد. ممکن است یک عامل چند بار تکرار شود. در نوشتن حاصل‌ضرب، همهٔ تکرارها را نگه دار؛ اما هنگام نام‌بردن شمارنده‌های اول، هر عدد اول را فقط یک بار بگو.

تجزیهٔ اول فقط شمارنده‌های اول را نشان نمی‌دهد؛ با آن می‌توان همهٔ شمارنده‌ها را ساخت. عامل‌ها را مثل مهره‌های در دسترس تصور کن: می‌توانی تعدادی از آن‌ها را برداری و در هم ضرب کنی، اما حق نداری مهره‌ای بیشتر از موجودی برداری! از انتخاب هیچ عاملی، شمارندهٔ $1$ را در فهرست می‌گذاریم و با انتخاب همهٔ عامل‌ها، خودِ عدد به دست می‌آید. برای جا نماندن شمارنده‌ها، انتخاب‌ها را منظم انجام بده: بدون عامل، یک عامل، دو عامل و همین‌طور تا پایان. حاصل‌های تکراری را فقط یک بار بنویس.

برای ساده‌کردن کسر، صورت و مخرج را به عامل‌های اول تجزیه کن. سپس عامل‌های مشترک را جفت‌جفت پیدا کن: هر بار یک عامل از صورت و یک عامل مساوی از مخرج. کنارگذاشتن این جفت یعنی صورت و مخرج را بر یک عدد یکسان تقسیم کرده‌ای؛ پس مقدار کسر عوض نمی‌شود. اگر عاملی چند بار تکرار شده باشد، فقط به تعداد جفت‌های موجود می‌توان آن را ساده کرد. وقتی هیچ عامل اول مشترکی باقی نماند، کسر تا حد امکان ساده شده است. دقت کن که عامل‌های ضربی را ساده می‌کنیم، نه رقم‌های شبیه به هم را.

همین جفت‌کردن عامل‌ها برای پیدا کردن بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک هم کاربرد دارد؛ نام کوتاهش «ب.م.م» است. از تجزیهٔ دو عدد، عامل‌های اول مشترک را بردار و در هم ضرب کن. هر عامل را به تعداد دفعاتی بردار که در هر دو عدد وجود دارد، نه فقط در یکی از آن‌ها. حاصل، بزرگ‌ترین عددی است که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیرند. مثلاً برای چادرزدن دو کلاس، اگر تعداد افراد همهٔ چادرها برابر باشد، ظرفیت چادر باید شمارندهٔ تعداد دانش‌آموزان هر دو کلاس باشد؛ بیشترین ظرفیت ممکن همان ب.م.م است.

فرض کن می‌خواهی دانش‌آموزان را در گروه‌های هم‌اندازه جا بدهی و کسی بیرون گروه نماند. اندازهٔ هر گروه باید شمارندهٔ تعداد دانش‌آموزان باشد؛ یعنی آن تعداد را بدون باقی‌مانده تقسیم کند.

برای دو کلاس، اندازهٔ گروه باید شمارندهٔ هر دو تعداد باشد. به چنین عددی شمارندهٔ مشترک می‌گوییم. برای پیدا کردن بزرگ‌ترین آن‌ها، شمارنده‌های هر عدد را بنویس، مشترک‌ها را مشخص کن و بزرگ‌ترین را بردار.

مثلاً برای $18$ و $24$، فهرست‌ها این‌اند:

$18: 1,2,3,6,9,18$

$24: 1,2,3,4,6,8,12,24$

به بزرگ‌ترین عدد مشترک این دو فهرست، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک یا ب.م.م می‌گوییم. نماد $(18,24)$ هم همین معنا را دارد.

نوشتن همهٔ شمارنده‌ها همیشه سریع نیست. راه دیگر این است که هر عدد را به ضرب شمارنده‌های اول تجزیه کنیم و عامل‌های مشترک را جفت کنیم:

$18=2\times3\times3$

$24=2\times2\times2\times3$

هر جفت باید یک عامل از عدد اول و یک عامل همسان از عدد دوم داشته باشد. اینجا فقط یک جفت $2$ و یک جفت $3$ داریم. حاصل‌ضرب عامل‌های مشترک، ب.م.م را می‌دهد.

نکتهٔ مهم، تعداد تکرارهاست: نمی‌توانیم هر دو عامل $3$ در تجزیهٔ عدد اول را برداریم، چون در عدد دوم فقط یک عامل $3$ وجود دارد. برای هر عامل اول، تعداد کمترِ تکرار در دو تجزیه را انتخاب می‌کنیم.

ب.م.م در مسئله‌های چیدن و اندازه‌گیری هم به کار می‌آید. برای پوشاندن یک مستطیل با کاشی‌های مربعیِ هم‌اندازه، بدون بریدن کاشی‌ها، ضلع کاشی باید هم طول و هم عرض مستطیل را تقسیم کند. در این درس، اندازهٔ ضلع را عددی طبیعی برحسب $\text{سانتی‌متر}$ در نظر می‌گیریم.

اگر کاشی کمتری بخواهیم، باید بزرگ‌ترین ضلع مناسب را انتخاب کنیم؛ یعنی ب.م.م طول و عرض. اما برای پیدا کردن تعداد کاشی‌ها، تعداد کاشی در هر ردیف را در تعداد ردیف‌ها ضرب می‌کنیم.

در چیدن جعبه‌ها داخل کارتن نیز، وقتی لبه‌های متناظر هم‌جهت باشند و ابعاد دقیقاً تقسیم شوند، تعداد جعبه‌ها در طول، عرض و ارتفاع را جدا پیدا می‌کنیم و در هم ضرب می‌کنیم. پس «اندازهٔ مناسب» و «تعداد قطعه‌ها» دو پرسش متفاوت‌اند.

گاهی اندازهٔ یک قطعه باید با سه عدد سازگار باشد. مثلاً برای پر کردن یک مکعب مستطیل با مکعب‌های هم‌اندازه، ضلع مکعب کوچک باید طول، عرض و ارتفاع را بدون باقی‌مانده تقسیم کند. بزرگ‌ترین ضلع ممکن، ب.م.م هر سه بُعد است.

روش تجزیه تغییری نمی‌کند: هر سه عدد را به عامل‌های اول تجزیه کن. فقط عامل‌هایی را نگه دار که در هر سه تجزیه وجود دارند. تعداد تکرار هر عامل هم باید کمترین تعداد تکرارش در میان هر سه عدد باشد.

اگر عاملی در دو تجزیه باشد ولی در سومی نباشد، نمی‌توان آن را انتخاب کرد. ب.م.م باید شمارندهٔ تک‌تک عددهای داده‌شده باشد؛ وگرنه در یکی از جهت‌ها فضای خالی می‌ماند.

چند رابطه کمک می‌کنند جوابمان را بررسی کنیم. ب.م.م همیشه شمارندهٔ هر دو عدد است و نمی‌تواند از عدد کوچک‌تر بزرگ‌تر باشد. اگر عدد بزرگ‌تر بر کوچک‌تر بخش‌پذیر باشد، خود عدد کوچک‌تر بهترین انتخاب است.

همچنین $(n,n)=n$، چون هر عدد خودش را تقسیم می‌کند. اگر دو عدد اول متفاوت باشند، تنها شمارندهٔ مشترکشان $1$ است؛ متفاوت بودن مهم است، چون دو عدد برابر ب.م.می برابر خودشان دارند.

یک کاربرد مهم دیگر، ساده‌کردن کسر است. صورت و مخرج را بر ب.م.م آن‌ها تقسیم کن. ارزش کسر عوض نمی‌شود، اما همهٔ عامل‌های مشترک حذف می‌شوند و کسر به ساده‌ترین شکل می‌رسد. تقسیم فقط صورت یا فقط مخرج، ارزش کسر را تغییر می‌دهد.

برای ساختن مضرب‌های یک عدد، آن را به‌ترتیب در عددهای طبیعیِ مثبت ضرب می‌کنیم. مثلاً مضرب‌های $5$ این‌طور شروع می‌شوند: $5،10،15،20،\ldots$. علامت سه‌نقطه یعنی این فهرست ادامه دارد؛ هر بار می‌توانیم یک مضرب دیگر بسازیم، پس تعداد مضرب‌ها بی‌نهایت است.

مضرب‌های صحیح گسترده‌ترند و صفر و عددهای منفی را هم در بر می‌گیرند؛ اما در این درس، وقتی می‌گوییم «مضرب»، منظور مضرب طبیعیِ مثبت است. فرق مضرب و شمارنده را هم به یاد بسپار: در $20=4\times5$، عدد $20$ مضربِ $4$ است و $4$ شمارندهٔ $20$. مثل بسته‌های مدادِ $5$تایی؛ تعداد کل مدادها مضربِ تعداد مدادهای هر بسته است.

اگر مضرب‌های دو عدد را کنار هم بنویسیم، بعضی عددها در هر دو فهرست پیدا می‌شوند. اینها «مضرب مشترک» هستند؛ یعنی بر هر دو عدد بخش‌پذیرند. اولین و کوچک‌ترینِ آنها «کوچک‌ترین مضرب مشترک» یا ک.م.م است. ک.م.مِ دو عدد $a$ و $b$ را با $[a,b]$ نشان می‌دهیم.

در بازیِ ابتدای درس، $[6,4]=12$ است. با داشتن همین عدد، همهٔ مضرب‌های مشترک را پیدا می‌کنیم: $12،24،36،\ldots$. پس مضرب‌های مشترک هم بی‌نهایت‌اند. دقت کن که صفر را انتخاب نمی‌کنیم؛ در اینجا دنبال اولین مضرب مشترکِ مثبت هستیم. این فکر برای رویدادهای تکراری، مثل هم‌زمان روشن‌شدن دو چراغ، به کار می‌آید.

نوشتن فهرست مضرب‌ها همیشه سریع نیست. راه دیگر این است که هر دو عدد را به شمارنده‌های اول تجزیه کنیم. برای ساختن ک.م.م، باید از هر شمارندهٔ اول، به تعدادِ بیشترِ تکرارش در یکی از دو تجزیه برداریم؛ نه اینکه تعداد تکرارهای دو طرف را با هم جمع کنیم.

مثلاً در $12=2\times2\times3$ و $18=2\times3\times3$، برای عاملِ $2$ به دو بار تکرار و برای عاملِ $3$ هم به دو بار تکرار نیاز داریم. این انتخاب باعث می‌شود عدد ساخته‌شده بر هر دو عدد بخش‌پذیر باشد، بدون اینکه عامل اضافی داشته باشد. مثل آماده‌کردن یک جعبهٔ ابزار است که باید ابزار لازم برای هر یک از دو کار را داشته باشد.

برای جمع یا تفریق دو کسر، مخرج‌ها باید یکسان شوند. هر مضرب مشترکِ مخرج‌ها می‌تواند مخرج مشترک باشد، اما ک.م.م کوچک‌ترین انتخاب است و معمولاً محاسبه را ساده‌تر می‌کند. پس اول ک.م.م مخرج‌ها را پیدا می‌کنیم؛ بعد، صورت و مخرج هر کسر را در یک عدد یکسان ضرب می‌کنیم تا مقدار کسر عوض نشود.

همین ایده در مسئله‌های زمان هم کاربرد دارد. اگر دو رویداد با هم شروع شوند و هر کدام پس از فاصله‌ای ثابت تکرار شوند، اولین تکرار هم‌زمانِ بعدی با ک.م.مِ آن دو فاصله پیدا می‌شود. تفاوت مهم این است: در مسئلهٔ زمان، ک.م.م «مدت گذشته از شروع» را می‌دهد، نه لزوماً ساعت روی ساعت را.

گاهی بدون فهرست‌نویسی و تجزیه هم می‌توان ک.م.م را پیدا کرد. اگر عدد بزرگ‌تر بر عدد کوچک‌تر بخش‌پذیر باشد، خودِ عدد بزرگ‌تر پاسخ است؛ چون مضرب هر دو عدد است و هیچ مضرب مثبتِ خودش از آن کوچک‌تر نیست. به همین دلیل $[n,1]=n$ و $[n,n]=n$ برای عدد طبیعیِ مثبتِ $n$.

یک میان‌بُر دیگر: اگر ب.م.مِ دو عدد برابر $1$ باشد، ک.م.م برابر حاصل‌ضرب آنهاست؛ این حالت برای دو عدد اولِ متفاوت هم برقرار است. رابطهٔ کلی نیز چنین است: $a\times b=\text{ب.م.م}\times\text{ک.م.م}$. همچنین ب.م.مِ دو عدد همیشه شمارندهٔ ک.م.مِ آنهاست. این رابطه‌ها برای بررسی پاسخ‌ها مفیدند؛ اما نباید حاصل‌ضرب را بدون بررسی، ک.م.م بدانیم.

اول باید واژه‌ها را از هم جدا کنیم. شمارندهٔ یک عدد، آن را بدون باقی‌مانده تقسیم می‌کند. اگر $12=4\times3$، هم $3$ و هم $4$ شمارندهٔ $12$ هستند؛ از طرف دیگر، $12$ مضرب هر دوی آنهاست. پس «شمارنده بودن» و «مضرب بودن» دو نگاه به یک رابطه‌اند.

عدد اول دقیقاً دو شمارندهٔ مثبت دارد: $1$ و خودش. بنابراین $1$ اول نیست. شمارندهٔ اول یک عدد، شمارنده‌ای است که خودش اول هم باشد؛ مثلاً هر شمارندهٔ یک عدد لزوماً اول نیست.

دو واژهٔ مهم دیگر هم داریم: ب.م.م یعنی بزرگ‌ترین شمارندهٔ مشترک، و ک.م.م یعنی کوچک‌ترین مضرب مشترکِ مثبت. برای اشتباه نکردن، از خودت بپرس: «دنبال عددی هستم که هر دو عدد را تقسیم کند، یا عددی که خودش بر هر دو بخش‌پذیر باشد؟»

برای نوشتن همهٔ شمارنده‌ها، جفت‌های ضربی را منظم پیدا کن؛ هر جفت باید حاصلش همان عدد باشد. برای تجزیه به شمارنده‌های اول هم، عدد را به عامل‌های کوچک‌تر بشکن و تا جایی ادامه بده که همهٔ عامل‌ها اول شوند. ترتیب نوشتن عامل‌ها مهم نیست، اما هیچ عامل تکراری نباید گم شود.

تجزیه مثل فهرست قطعه‌های سازندهٔ عدد است. مثلاً در $18=2\times3^2$، یک عامل $2$ و دو عامل $3$ داریم. برای ساختن شمارنده‌های این عدد، از هر عامل اول، از صفر بار تا تعداد موجود انتخاب می‌کنیم و عامل‌های انتخاب‌شده را ضرب می‌کنیم. انتخاب نکردن هیچ عاملی، شمارندهٔ $1$ را می‌دهد.

برای پیدا کردن عددهای اول هم، بخش‌پذیری را بررسی کن. در بازهٔ $50$ تا $80$، آزمایش عددهای اول $2$، $3$، $5$ و $7$ کافی است؛ چون اگر عددی در این بازه مرکب باشد، دست‌کم یک عامل اول کوچک‌تر از $9$ دارد و $9^2>80$ است.

بعد از تجزیهٔ دو عدد، عامل‌های اول را کنار هم مقایسه کن. برای ب.م.م فقط عامل‌های اول مشترک را بردار؛ از هرکدام به تعداد تکرار کمتر. چرا؟ چون حاصل باید بتواند هر دو عدد را تقسیم کند. اگر عامل اول مشترکی نباشد، ب.م.م برابر $1$ است.

برای ک.م.م همهٔ عامل‌های اولی را که در یکی از دو عدد دیده می‌شوند بردار؛ از هرکدام به تعداد تکرار بیشتر. این بار حاصل باید بر هر دو عدد بخش‌پذیر باشد. برداشتن تعداد کمتر، ممکن است برای ساختن یکی از دو عدد کافی نباشد.

کاربرد این تفاوت را در کسرها می‌بینی: تقسیم صورت و مخرج بر ب.م.م آنها، کسر را در یک مرحله کاملاً ساده می‌کند. برای انتخاب کوچک‌ترین مخرج مشترک هم، ک.م.م مخرج‌ها را می‌یابیم. پس پیش از حساب کردن، مشخص کن مسئله «تقسیم کردن» می‌خواهد یا «مضرب مشترک ساختن».