خلاصه درس فصل ۶ ریاضی دهم؛ درسنامه و نکات مهم

یکی از راه‌ها: اصل جمع

فرض کن می‌خواهی برای دوستت هدیه بخری: یا یک کتاب، یا یک بازی؛ قرار نیست از هر دو گروه خرید کنی. چطور بدون نوشتن فهرست همهٔ هدیه‌ها، تعداد انتخاب‌ها را پیدا می‌کنی؟

هر کتاب یک انتخاب است و هر بازی هم یک انتخاب دیگر. پس کافی است تعداد کتاب‌های قابل انتخاب را با تعداد بازی‌های قابل انتخاب جمع کنی. این همان اصل جمع است: اگر یک روش $m$ انتخاب و روش دیگر $n$ انتخاب داشته باشد، تعداد کل انتخاب‌ها برابر است با:

$m+n$

دو نکته را همیشه بررسی کن: در پایان فقط یکی از روش‌ها انجام می‌شود و روش‌ها حالت مشترک ندارند؛ یعنی هیچ انتخابی در هر دو گروه شمرده نمی‌شود. اگر یک انتخاب در هر دو فهرست باشد، جمع‌کردن ساده آن را دوبار می‌شمارد.

این اصل برای بیش از دو گروه هم کاربرد دارد؛ به شرط رعایت همین نکته‌ها، تعداد انتخاب‌های همهٔ گروه‌ها را جمع می‌کنیم.

همهٔ مرحله‌ها: اصل ضرب

فرض کن برای بیرون رفتن باید هم یک پیراهن انتخاب کنی و هم یک شلوار. اینجا انتخاب پیراهن به‌تنهایی کار را تمام نمی‌کند؛ هر دو مرحله باید انجام شوند.

اگر $3$ پیراهن و $2$ شلوار داشته باشی و هر پیراهن را بتوانی با هر دو شلوار بپوشی، برای هر انتخاب پیراهن، $2$ انتخاب شلوار داری. پس تعداد ترکیب‌های لباس برابر است با:

$3 \times 2 = 6$

این همان اصل ضرب است: اگر مرحلهٔ اول $m$ راه داشته باشد و برای هر انتخاب آن، مرحلهٔ دوم $n$ راه داشته باشد، کل کار $m \times n$ راه دارد.

نکتهٔ مهم این است که تعداد راه‌های مرحلهٔ دوم برای هر انتخاب مرحلهٔ اول همان $n$ باشد؛ لازم نیست خود گزینه‌ها یکسان باشند. برای کارهای چندمرحله‌ای هم همین قاعده ادامه پیدا می‌کند: تعداد راه‌های همهٔ مرحله‌ها را در هم ضرب می‌کنیم، به شرط آنکه این شرط در هر مرحله برقرار باشد.

جمع و ضرب در کنار هم

گاهی یک مسئله هم انتخاب بین چند روش دارد و هم درون هر روش، چند مرحله. در این حالت، لازم نیست فقط یکی از اصل‌های جمع یا ضرب را انتخاب کنی؛ هر کدام در جای خودش به کار می‌آید.

فرض کن برای رفتن به شهری، یا با خودرو از یک شهر میانی عبور می‌کنی، یا با قطار مستقیم می‌روی. در روش خودرو، باید هم مسیرِ رسیدن به شهر میانی و هم مسیرِ ادامهٔ سفر را انتخاب کنی؛ پس تعداد حالت‌های این روش با ضرب به دست می‌آید. در روش قطار، هر قطار مستقیم یک انتخاب است.

حالا چون در یک سفر فقط یکی از این دو روش را انجام می‌دهی و حالت مشترکی هم ندارند، تعداد حالت‌های خودرو و قطار را با جمع ترکیب می‌کنی.

پس راهنما این است: داخل هر روش، مرحله‌ها را بشمار؛ سپس تعداد حالت‌های روش‌های جدا را جمع کن. صرفِ دیدن واژهٔ «یا» یا «و» کافی نیست؛ باید ببینی یک انتخاب کامل شامل چه کارهایی است.

جایگاه‌ها و محدودیت‌ها

برای شمردن عددها و رمزها، به‌جای نوشتن همهٔ حالت‌ها، پرکردن هر جایگاه را یک مرحله در نظر بگیر. مثلاً ساختن یک عدد سه‌رقمی یعنی انتخاب رقم صدگان، دهگان و یکان.

پیش از شمردن گزینه‌های هر جایگاه، محدودیت‌ها را بررسی کن:

• آیا تکرار مجاز است؟ اگر بله، رقم انتخاب‌شده همچنان برای جایگاه بعد در دسترس است؛ اگر نه، باید آن را از گزینه‌های بعدی کنار بگذاری.
• آیا صفر می‌تواند اول بیاید؟ در عدد سه‌رقمی، صدگان نمی‌تواند صفر باشد؛ اما رمز ممکن است با صفر شروع شود، مگر اینکه خلافش گفته شده باشد.
• آیا عدد باید زوج یا فرد باشد؟ این شرط، گزینه‌های یکان را محدود می‌کند؛ پس بهتر است اول به یکان توجه کنی.

مثل ساختن رمز گوشی، مهم است بدانی چه چیزهایی اجازه دارند در هر خانه قرار بگیرند. بعد از تعیین تعداد گزینه‌های مجاز، از اصل ضرب استفاده می‌کنی.

چه وقت حالت‌بندی کنیم؟

گاهی نمی‌توان برای هر جایگاه، یک تعداد انتخاب ثابت نوشت؛ چون انتخاب یک رقم، تعداد گزینه‌های جایگاه دیگر را تغییر می‌دهد. در این موقع، حالت‌بندی کمک می‌کند.

فرض کن می‌خواهیم با رقم‌های $0، 2، 3، 7$ عدد سه‌رقمیِ زوج و بدون تکرار بسازیم. بهتر است اول سراغ یکان برویم، چون زوج‌بودن به آن بستگی دارد:

• یکان صفر باشد: صفر دیگر در دسترس نیست و هر رقم باقی‌مانده می‌تواند در صدگان بیاید.
• یکان دو باشد: صفر هنوز در دسترس است، اما نمی‌تواند در صدگان قرار بگیرد؛ پس تعداد گزینه‌های صدگان با حالت قبلی فرق دارد.

بنابراین این دو حالت را جدا می‌شماریم. درون هر حالت، از اصل ضرب استفاده می‌کنیم و در پایان، نتیجه‌ها را جمع می‌کنیم.

حالت‌بندیِ درست دو شرط دارد: همهٔ حالت‌های مجاز را پوشش دهد و هیچ نتیجه‌ای در دو حالت شمرده نشود. اینجا هر عدد زوج دقیقاً در یکی از دو گروهِ «یکان صفر» یا «یکان دو» قرار می‌گیرد.

جایگشت؛ ترتیب مهم است

سه فیش متفاوت و سه درگاه را تصور کن. برای درگاه اول $3$ انتخاب داری. با وصل‌کردن یکی از فیش‌ها، برای درگاه دوم فقط $2$ انتخاب می‌ماند و برای درگاه آخر، تنها $1$ انتخاب. چون برای کامل‌شدن اتصال باید همهٔ این مرحله‌ها انجام شوند، طبق اصل ضرب تعداد حالت‌ها برابر است با:

$3\times2\times1=6$

پس بدون امتحان‌کردن تک‌تک اتصال‌ها، تعدادشان را پیدا کردیم!

به هر چینشِ اشیای متمایز کنار هم، یک جایگشت می‌گوییم. متمایز یعنی بتوانیم اشیا را از هم تشخیص بدهیم؛ مثلاً یک کتاب داستان، یک کتاب ریاضی و یک فرهنگ لغت. عوض‌کردن جای دو کتاب، چینش تازه‌ای می‌سازد؛ پس ترتیب مهم است.

وقتی همهٔ اشیا را بدون تکرار می‌چینیم، با پرشدن هر جایگاه، یک انتخاب از انتخاب‌های باقی‌مانده کم می‌شود. برای شمارش، تعداد انتخاب‌های جایگاه‌ها را در هم ضرب می‌کنیم، نه اینکه آن‌ها را جمع کنیم.

فاکتوریل؛ یک نوشتار کوتاه

برای شمردن حالت‌های چیدن چند کتاب متفاوت، به ضرب تعداد انتخاب‌های هر جایگاه می‌رسیم. اگر کتاب‌ها زیاد باشند، نوشتن این ضرب طولانی می‌شود. فاکتوریل نام و نمادی کوتاه برای همین حاصل‌ضرب است:

$n!=n\times(n-1)\times\cdots\times2\times1$

نماد $n!$ را «اِن فاکتوریل» می‌خوانیم؛ علامت تعجب در اینجا معنای ریاضی دارد!

اگر عامل اول را جدا کنیم، بقیهٔ حاصل‌ضرب همان $(n-1)!$ است؛ پس برای $n\geq1$ داریم:

$n!=n\times(n-1)!$

این رابطه کمک می‌کند برای ساده‌کردن کسرهای فاکتوریلی، همهٔ ضرب‌ها را باز نکنیم. کافی است فاکتوریل بزرگ‌تر را تا جایی باز کنیم که عامل مشترکِ صورت و مخرج پیدا شود؛ سپس آن عامل را ساده کنیم. حواست باشد خودِ علامت‌های فاکتوریل را نمی‌توان حذف کرد!

یک قرارداد مهم هم داریم: $0!=1$. پس فاکتوریلِ صفر، صفر نیست. این قرارداد با رابطهٔ بالا نیز سازگار است، چون $1!=1\times0!$.

چیدن بخشی از اشیا

تا اینجا همهٔ اشیا را می‌چیدیم؛ اما اگر بخواهیم فقط چندتای آن‌ها را انتخاب کنیم و بچینیم، چه؟ مثلاً از میان چند کتاب متفاوت، فقط بعضی را در یک ردیف روی میز بگذاریم. اینجا هم انتخاب کتاب‌ها مهم است و هم ترتیب چیدنشان؛ جابه‌جایی دو کتاب، یک حالت تازه می‌سازد.

اگر از میان $n$ شیء متمایز، $r$ شیء را بدون تکرار بچینیم، برای جایگاه اول $n$ انتخاب داریم. برای جایگاه دوم یک انتخاب کمتر داریم و این روند تا پرشدن $r$ جایگاه ادامه دارد. پس در حاصل‌ضرب، دقیقاً $r$ عامل داریم:

$\mathrm{P}(n,r)=n\times(n-1)\times\cdots\times(n-r+1)$

برای کوتاه‌نویسی همین حاصل‌ضرب از فاکتوریل کمک می‌گیریم:

$\mathrm{P}(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$

در این فرمول، $n$ تعداد اشیای در دسترس و $r$ تعداد جایگاه‌هایی است که پر می‌کنیم؛ بنابراین $0\le r\le n$. پیش از استفاده از آن، بپرس: «آیا ترتیب مهم است و تکرار ممنوع؟»

جایگاه‌های ثابت و آزاد

فرض کن چند کتاب متفاوت را در قفسه می‌چینی، اما جای یکی از کتاب‌ها از قبل تعیین شده است. آن کتاب دیگر حق انتخاب جایگاه ندارد؛ پس فقط باید چینش کتاب‌های باقی‌مانده را بشماری.

در مسئله‌های جایگشت هم اول جایگاه‌های مشخص را پر کن، بعد سراغ جایگاه‌های آزاد برو. مثلاً اگر با همهٔ حروف «جهانگردی» کلمه بسازیم و حرف آخر حتماً «ی» باشد، «ی» را در پایان ثابت می‌گذاریم. حالا هفت حرف متمایز برای هفت جایگاه آزاد داریم؛ بنابراین تعداد حالت‌ها $7!$ است، نه $8!$.

اگر چند حرف با ترتیب مشخص در پایان آمده باشند، همهٔ آن جایگاه‌ها ثابت‌اند. این حرف‌ها نه جابه‌جا می‌شوند و نه دوباره در جایگاه‌های آزاد به کار می‌روند، چون تکرار ممنوع است.

نکتهٔ مهم: «پایان کلمه دقیقاً «گردی» باشد» با «چهار حرف آخر از حروف «گردی» باشند» فرق دارد؛ در اولی ترتیب این حروف مشخص است، اما در دومی می‌توانند بین خودشان جابه‌جا شوند.

کنار هم؛ روش بسته‌بندی

فرض کن می‌خواهی چند کتاب متفاوت را در یک ردیف بچینی، اما دو کتاب مشخص حتماً کنار هم باشند. چطور این شرط را هنگام شمردن رعایت کنیم؟

آن دو کتاب را موقتاً یک بسته در نظر بگیر. حالا بسته مثل یک شیء در کنار کتاب‌های دیگر جابه‌جا می‌شود؛ پس هیچ کتابی بین دو عضو آن قرار نمی‌گیرد. تعداد اشیایی را که پس از بسته‌بندی داری بشمار و تعداد چینش‌هایشان را با فاکتوریل بنویس.

اما هنوز کار تمام نشده! داخل بسته هم ممکن است ترتیب‌های متفاوتی داشته باشیم. مثلاً در حروف «جهانگردی»، بستهٔ شامل «د» و «ی» می‌تواند «دی» یا «ید» باشد. اگر فقط چینش‌های بیرون بسته را بشماریم، بعضی حالت‌ها جا می‌مانند.

پس با اصل ضرب داریم:

تعداد چینش‌های مجاز = تعداد چینش‌های بسته و اشیای دیگر × تعداد ترتیب‌های مجاز داخل بسته.

دقت کن: «کنار هم بودن» لزوماً به معنی «داشتن ترتیب ثابت» نیست. اگر ترتیب داخل بسته هم مشخص شده باشد، فقط همان ترتیب مجاز است.

آیا ترتیب مهم است؟

فرض کن چند کتاب مختلف داری و می‌خواهی سه کتاب را به یک دوست هدیه بدهی. اگر همان کتاب‌ها را با ترتیب دیگری داخل ساک بگذاری، هدیه‌ات عوض نمی‌شود؛ هنوز همان مجموعهٔ کتاب‌ها را انتخاب کرده‌ای.

اما اگر بخواهی این کتاب‌ها را در قفسه بچینی، جابه‌جا کردن دو کتاب، چیدمان تازه‌ای می‌سازد. پس مهم است که سؤال دربارهٔ انتخاب اعضا باشد یا جایگاه آن‌ها.

برای تشخیص، از خودت بپرس:
«اگر فقط جای دو عضو انتخاب‌شده را عوض کنم، آیا نتیجهٔ موردنظر مسئله تغییر می‌کند؟»

• اگر بله، ترتیب مهم است و با جایگشت سروکار داریم.
• اگر نه، ترتیب مهم نیست و با ترکیب سروکار داریم؛ یعنی فقط اعضای انتخاب‌شده اهمیت دارند.

حواست باشد: فقط دیدن واژهٔ «انتخاب» کافی نیست! انتخاب افراد برای مسئولیت‌های متفاوت، مثل مدیر و معاون، با جابه‌جایی افراد نتیجهٔ متفاوتی می‌دهد.

فرمول ترکیب از کجا می‌آید؟

فرض کن می‌خواهی از میان چند عکس متفاوت، سه عکس را برای چاپ انتخاب کنی. ترتیب کلیک‌کردن روی عکس‌ها مهم نیست؛ فقط مهم است در پایان کدام عکس‌ها انتخاب شده‌اند.

اگر ابتدا انتخاب‌های ترتیب‌دار را بشماریم، هر گروه سه‌عکسی را $3!$ بار حساب می‌کنیم؛ چون همان سه عکس را می‌توان به $3!$ ترتیب انتخاب کرد. پس برای شمردن گروه‌ها باید تعداد انتخاب‌های ترتیب‌دار را بر $3!$ تقسیم کنیم.

به همین شکل، هر گروه شامل $r$ عضو متمایز، $r!$ ترتیب دارد. بنابراین تعداد انتخاب‌های بدون ترتیبِ $r$ عضو از $n$ عضو متمایز برابر است با:

نماد $\binom{n}{r}$ را «ترکیبِ $r$ از $n$» می‌خوانیم؛ $n$ تعداد کل اعضا و $r$ تعداد اعضای انتخاب‌شده است و باید $0\le r\le n$ باشد.

نکتهٔ اصلی: تقسیم بر $r!$ اثر ترتیب‌های متفاوتِ یک انتخاب را حذف می‌کند؛ چون هیچ‌کدام گروه تازه‌ای نمی‌سازند.

انتخاب با شرط

فرض کن می‌خواهی از میان چهار عضو گروه نمایش و پنج عضو گروه موسیقی، یک تیم پنج‌نفره انتخاب کنی. همهٔ افراد متمایزند و در تیم هم سمت متفاوتی ندارند؛ پس ترتیب مهم نیست. شرط مسئله تعیین می‌کند انتخاب‌ها را چگونه بشماریم:

• «دقیقاً دو نفر از نمایش»: باید دو نفر از نمایش و سه نفر از موسیقی انتخاب شوند. هر انتخاب بخش اول با هر انتخاب بخش دوم همراه می‌شود؛ پس طبق اصل ضرب داریم: $\binom{4}{2}\times\binom{5}{3}$.
• «حداقل سه نفر از نمایش»: تعداد اعضای نمایش می‌تواند سه یا چهار نفر باشد. این دو حالت هم‌پوشانی ندارند؛ بنابراین تعدادشان را جمع می‌کنیم: $\binom{4}{3}\binom{5}{2}+\binom{4}{4}\binom{5}{1}$.
• «حداقل یک نفر از نمایش»: می‌توان همهٔ تیم‌ها را شمرد و تیم‌های بدون عضو نمایش را کم کرد: $\binom{9}{5}-\binom{5}{5}$.

پس قبل از محاسبه بپرس: آیا چند بخشِ یک انتخاب باید با هم انجام شوند، یا چند حالتِ جدا داریم؟ برای کم‌کردن از کل هم دقیق مشخص کن کدام انتخاب‌ها نامطلوب‌اند.

مراقب دوباره‌شماری باش!

فرض کن از میان دو مدرس ریاضی، دو مدرس فیزیک و دو مدرس شیمی، یک گروه دونفره می‌خواهیم که اعضایش هم‌رشته نباشند. کسی می‌گوید: «برای نفر اول $6$ انتخاب و برای نفر دوم $4$ انتخاب داریم؛ پس تعداد گروه‌ها $6\times4$ است.»

اما یک لحظه صبر کن! اگر اول مریم از ریاضی و بعد علی از فیزیک را انتخاب کنیم، آیا با انتخاب اول علی و بعد مریم، گروه تازه‌ای ساخته‌ایم؟ نه؛ اعضای گروه همان‌اند و نقش متفاوتی هم ندارند.

پس این روش هر گروه را دقیقاً $2!=2$ بار می‌شمارد. برای رسیدن به تعداد گروه‌ها، باید حاصل ضرب را بر تعداد تکرار هر گروه تقسیم کنیم.

این اتفاق هنگام انتخاب یک گروه از دوستان هم پیش می‌آید: ترتیب صداکردن نام‌ها نباید تعداد گروه‌ها را بیشتر کند. پیش از تقسیم، همیشه بپرس: «آیا هر حالت به تعداد یکسان تکرار شده است؟» اگر نقش‌ها متفاوت باشند، مثلاً سرگروه و گزارشگر، جابه‌جایی افراد می‌تواند واقعاً حالت تازه‌ای بسازد.

رابطه‌ها با نگاه به انتخاب‌ها

برای فهم این رابطه‌ها لازم نیست فقط به فرمول فاکتوریل تکیه کنی؛ کافی است بپرسی «چه زیرمجموعه‌هایی را می‌شمارم؟»

انتخاب هیچ عضو یا یک عضو: از یک مجموعهٔ $n$ عضوی، فقط یک انتخابِ بدون عضو داریم: مجموعهٔ تهی. برای انتخاب یک عضو هم به تعداد اعضا حق انتخاب داریم؛ پس:

$\binom{n}{0}=1 \qquad \binom{n}{1}=n$

انتخاب‌شده‌ها و باقی‌مانده‌ها: وقتی از $n$ بازیکن، $r$ نفر را برای ورود به زمین انتخاب می‌کنی، هم‌زمان مشخص می‌شود کدام $n-r$ نفر بیرون بمانند. هر انتخابِ گروه اول دقیقاً یک گروهِ باقی‌مانده دارد؛ بنابراین:

$\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}$

بودن یا نبودن یک عضو مشخص: حالا یکی از بازیکنان، مثلاً سارا، را در نظر بگیر. گروه‌های $r$ نفره دو دسته‌اند: اگر سارا باشند، باید $r-1$ نفر دیگر از $n-1$ نفر انتخاب کنیم؛ اگر نباشد، باید هر $r$ نفر را از همان $n-1$ نفر انتخاب کنیم. این دو دسته هم‌پوشانی ندارند و همهٔ گروه‌ها را پوشش می‌دهند؛ پس برای $1\le r\le n-1$:

$\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$