خلاصه درس فصل ۴ ریاضی و آمار دهم؛ درسنامه و نکات مهم

نمودار چه می‌گوید؟

فرض کن می‌خواهی با یک نگاه بفهمی چه خطری در خانه بیشتر باعث آسیب‌دیدگی شده است. نمودار کمک می‌کند به‌جای خواندن یک فهرست طولانی، سهم علت‌ها را سریع مقایسه کنی.

برای خواندن نمودار، این مسیر را برو:

• عنوان را بخوان: موضوع این نمودار، علت‌های آسیب‌دیدگی در منزل است؛ نه مثلاً محل آسیب یا سن افراد.
• دسته‌ها را بشناس: افتادن، مسمومیت، سوختگی، تنگی نفس، موارد دیگر و جراحت، علت‌های ثبت‌شده‌اند.
• درصدها را مقایسه کن: افتادن با $32٪$ بیشترین سهم و جراحت با $7٪$ کمترین سهم را دارد. پس در میان افراد بررسی‌شده، افتادن از هر علتِ دیگر بیشتر گزارش شده است.

حواست باشد: بیشترین سهم لزوماً به معنی «بیش از نصف» نیست؛ $32٪$ از نصف کمتر است، اما از سهم تک‌تک دسته‌های دیگر بیشتر است.

انتخاب نمودار مناسب

فرض کن می‌خواهی علت‌های آسیب‌دیدگی در خانه را مقایسه کنی. «سوختگی»، «مسمومیت» و «افتادن» نامِ دسته‌ها هستند، نه مقدارهای عددی؛ به چنین متغیری متغیر اسمی می‌گوییم.

برای مقایسهٔ تعداد افراد در این دسته‌ها، نمودار میله‌ای مناسب است: هر دسته یک میله دارد و ارتفاع میله تعداد افراد را نشان می‌دهد. بین میله‌ها فاصله می‌گذاریم تا جدا بودن دسته‌ها روشن باشد. بافت‌نگاشت یا هیستوگرام برای دسته‌های اسمی انتخاب مناسبی نیست؛ آن را برای داده‌های عددیِ گروه‌بندی‌شده به کار می‌بریم.

اگر بخواهیم نشان دهیم هر علت چه سهمی از کل آسیب‌دیدگی‌ها دارد، نمودار دایره‌ای مناسب است؛ به‌ویژه وقتی تعداد دسته‌ها بیشتر از شش نباشد. کل دایره نمایندهٔ همهٔ موارد است و هر بخش، سهم یک دسته را نشان می‌دهد.

سادگی به خواندن دقیق کمک می‌کند. میله‌ها یا بخش‌های دایره را دوبعدی رسم کن؛ نمایش سه‌بعدی ممکن است اندازه‌ها را متفاوت از واقعیت جلوه دهد.

درصدِ کدام کل؟

فرض کن می‌شنوی کشوری بیشترین سهم را از کاربران اینترنت دارد. آیا می‌توان نتیجه گرفت که بیشتر مردم آن کشور به اینترنت دسترسی دارند؟ باید اول بپرسیم: درصدِ کدام کل؟

در نمودار اول کتاب، سهم کشور «پ» از مجموع کاربران اینترنتِ پنج کشور، $55\%$ است. این عدد می‌گوید از میان کاربران این پنج کشور، چه سهمی در «پ» زندگی می‌کنند؛ نه اینکه چه سهمی از مردم «پ» کاربر اینترنت‌اند.

اما در نمودار دوم، کاربران اینترنتِ هر کشور با کل جمعیت همان کشور مقایسه شده‌اند. در کشور «پ» فقط $8\%$ از جمعیت کاربر اینترنت‌اند، درحالی‌که این مقدار برای کشور «آ» برابر $50\%$ است. پس برای مقایسهٔ میزان استفادهٔ مردم هر کشور از اینترنت، درصدهای نمودار دوم مناسب‌اند.

در زندگی روزمره هم همین دقت لازم است: «سهم یک مدرسه از برندگان مسابقه» با «درصد دانش‌آموزان همان مدرسه که برنده شده‌اند» فرق دارد؛ چون کلِ مبنای مقایسه متفاوت است.

فریب ظاهر نمودار را نخوریم

فرض کن نموداری میله‌ای از کدوهای باغ چند نفر می‌بینی. پیش از مقایسهٔ میله‌ها، بپرس: «چه چیزی اندازه‌گیری شده؛ وزن یا تعداد؟ واحد چیست؟» بدون عنوان و برچسب محور، بلندی میله‌ها معنای روشنی ندارد.

بعد نقطهٔ شروع و فاصلهٔ عددهای محور را بررسی کن. مثلاً اگر وزن دو کدو $10$ و $12$ کیلوگرم باشد، با شروع محور عمودی از $0$، اختلافشان چندان بزرگ دیده نمی‌شود؛ اما اگر همان محور از $9$ شروع شود، بخشِ دیده‌شدهٔ یکی از میله‌ها سه برابر دیگری است! این به معنای سه برابر بودن وزن نیست؛ بخشی از میله‌ها نمایش داده نشده است.

برعکس، اگر بازهٔ محور را خیلی بزرگ کنیم، مثلاً از $0$ تا $150$، همین اختلاف کوچک‌تر به چشم می‌آید. داده‌ها عوض نشده‌اند؛ شیوهٔ نمایش تغییر کرده است. پس برای قضاوت، فقط به ظاهر میله‌ها تکیه نکن؛ عددها، واحد و مقیاس محور را هم بخوان.

اول محورها را بخوان!

فرض کن در یک تبلیغ، میلهٔ فروش امسال خیلی بلندتر از پارسال دیده می‌شود. آیا همین ظاهر کافی است تا بگویی فروش چند برابر شده؟ نه؛ اول باید محورها را بخوانی.

برای خواندن هر نمودار، سه چیز را بررسی کن:

• نام متغیر: نمودار چه چیزی را نشان می‌دهد؛ وزن، تعداد یا چیز دیگر؟
• واحد: مثلاً وزن بر حسب $\text{کیلوگرم}$ است یا $\text{گرم}$؟
• مقیاس محور: محور از کجا شروع می‌شود و فاصلهٔ عددهای پیاپی چقدر است؟

در نمودار کدو‌تنبل‌ها، اگر محور عمودی به‌جای $0$ از $9$ شروع شود، بخش پایینی میله‌ها نمایش داده نمی‌شود و تفاوت ارتفاعشان چشمگیرتر به نظر می‌رسد. برعکس، اگر همان وزن‌ها روی محوری از $0$ تا $150$ نمایش داده شوند، اختلاف‌ها کوچک‌تر دیده می‌شوند.

پس تغییر ظاهر نمودار لزوماً به معنی تغییر داده‌ها نیست. پیش از نتیجه‌گیری، عددهای روی محور را با هم مقایسه کن، نه فقط بلندی میله‌ها را.

تصویر بزرگ‌تر، برداشت نادرست

فرض کن وزن کدو‌تنبل تقی $20$ کیلوگرم و وزن کدو‌تنبل علی $10$ کیلوگرم باشد؛ یعنی وزن کدوی تقی دو برابر است. اگر برای نمایش این تفاوت، تصویر کدوی تقی را هم در ارتفاع و هم در پهنا دو برابر کنیم، آیا تصویر هم فقط دو برابر بزرگ‌تر دیده می‌شود؟

نه! مساحت تصویر با هر دو بُعد تغییر می‌کند. برای یک مستطیل داریم:

$\text{مساحت}=\text{طول}\times\text{عرض}$

پس با دو برابر شدن طول و عرض، مساحت $2\times2=4$ برابر می‌شود. در تصویرهای هم‌شکل هم همین رابطه برقرار است؛ بنابراین چشم ما ممکن است تفاوت وزن‌ها را بیش از مقدار واقعی برداشت کند.

راه روشن‌تر: از شکلک‌های هم‌اندازه استفاده کنیم و مقدار هر شکلک را مشخص کنیم؛ مثلاً اگر هر شکلک نشان‌دهندهٔ $10$ کیلوگرم باشد، برای علی یک شکلک و برای تقی دو شکلک بگذاریم. در تبلیغات هم مراقب باش: بزرگی تصویر یک محصول، به‌تنهایی اندازهٔ واقعی تفاوت را نشان نمی‌دهد.

هر داده، یک نقطه

فرض کن می‌خواهی امتیازهای یک بازیکن را طوری نمایش بدهی که هم امتیازها دیده شوند و هم تعداد دفعات کسب هر امتیاز. نمودار نقطه‌ای برای همین کار مناسب است.

ابتدا یک محور عددی با فاصله‌های مساوی رسم کن. سپس برای هر داده، یک نقطه بالای عدد مربوط به آن بگذار. اگر امتیازی تکرار شده باشد، نقطه‌هایش را روی هم قرار بده؛ آن‌ها را کنار هم نگذار، چون جای افقی هر نقطه باید مقدار همان داده را نشان دهد.

در داده‌های بازیکن ب، امتیاز $9$ دو بار ثبت شده است؛ پس بالای $9$ دو نقطه روی هم می‌گذاریم. امتیاز $7$ فقط یک بار ثبت شده، پس بالای آن یک نقطه قرار می‌گیرد.

با یک نگاه می‌توان فهمید کدام امتیاز بیشتر تکرار شده و داده‌ها چقدر روی محور پخش شده‌اند. همچنین، تعداد کل نقطه‌ها برابر تعداد داده‌هاست؛ این راه خوبی برای بررسی درست‌بودن رسم توست.

ساختن نمودار جعبه‌ای

فرض کن می‌خواهی زمان رسیدن هم‌کلاسی‌ها به مدرسه را خلاصه کنی؛ طوری که هم مقدار میانی دیده شود و هم میزان پخش‌شدن زمان‌ها. نمودار جعبه‌ای برای همین کار مفید است.

برای ساختن آن، این مسیر را دنبال کن:

• داده‌ها را از کوچک به بزرگ مرتب کن. بدون مرتب‌کردن، جای میانه و چارک‌ها درست مشخص نمی‌شود.
• پنج مقدار کلیدی را پیدا کن: کمترین مقدار، چارک اول $Q_1$، میانه، چارک سوم $Q_3$ و بیشترین مقدار. میانه داده‌های مرتب‌شده را به دو نیمه تقسیم می‌کند؛ چارک اول و سوم را نیز با پیدا کردن میانهٔ نیمهٔ پایین و نیمهٔ بالا به دست می‌آوریم. اگر تعداد داده‌ها فرد باشد، خود میانه را در این دو نیمه نمی‌آوریم.
• روی یک محور با فاصله‌گذاری یکنواخت، جعبه را از $Q_1$ تا $Q_3$ بکش و جای میانه را با خطی داخل آن مشخص کن.
• از دو سر جعبه، خط‌هایی تا کمترین و بیشترین مقدار بکش؛ این‌ها «سبیل‌های» نمودارند.

طول جعبه، دامنهٔ میان‌چارکی را نشان می‌دهد؛ فاصلهٔ کمترین تا بیشترین مقدار هم دامنه است. پهنای جعبه در جهت عمود بر محور، دلخواه است و تعداد داده‌ها را نشان نمی‌دهد.

کدام بازیکن باثبات‌تر است؟

فرض کن مربی هستی و برای یک مسابقهٔ حساس، بازیکنی می‌خواهی که امتیازهایش کمتر بالا و پایین شود. آیا دانستن میانه کافی است؟

میانهٔ امتیازهای هر دو بازیکن الف و ب برابر با $10$ است؛ اما امتیازهای الف از $3$ تا $30$ و امتیازهای ب از $7$ تا $13$ تغییر می‌کند. پس مرکز یکسان، به معنی ثبات یکسان نیست. در این داده‌ها، بازیکن ب نوسان کمتری دارد و برای مربی‌ای که عملکرد قابل‌پیش‌بینی‌تر می‌خواهد، انتخاب مناسب‌تری است.

برای مقایسه، هم خط میانه را ببین و هم گستردگی جعبه و سبیل‌ها را. دامنه، فاصلهٔ کمترین تا بیشترین مقدار را نشان می‌دهد؛ دامنهٔ میان‌چارکی هم گستردگی نیمهٔ میانی داده‌ها را نشان می‌دهد.

اما این دو معیار همه‌چیز را نمی‌گویند: از روی آن‌ها به‌تنهایی نمی‌فهمیم امتیازهای خیلی کم یا خیلی زیاد چند بار تکرار شده‌اند. برای تصمیم دقیق‌تر، به خود داده‌ها و تکرارشان هم نگاه کن؛ نه فقط به خلاصهٔ جعبه‌ای.

سه ویژگی در یک نگاه

فرض کن می‌خواهی جمعیت، مساحت و درصد آب‌های چند کشور را یک‌جا مقایسه کنی. در پراکنش‌نگاشت، جای هر نقطه دو ویژگی را نشان می‌دهد: مثلاً جای افقی، مساحت کشور و جای عمودی، جمعیت آن را مشخص می‌کند. پس درصد آب‌ها را کجا نشان بدهیم؟

راهش این است که به‌جای نقطه‌های هم‌اندازه، حباب‌هایی با اندازه‌های متفاوت بکشیم و اندازهٔ هر حباب را به درصد آب‌های آن کشور مربوط کنیم. حالا هر حباب، هم با جای خود و هم با اندازه‌اش اطلاعات می‌دهد. به این نمایش، نمودار حبابی می‌گوییم.

مثلاً اگر حباب کشوری بالاتر باشد، جمعیت بیشتری دارد؛ اما بزرگ‌تر بودن حبابش یعنی درصد آب‌های آن بیشتر است، نه لزوماً جمعیتش! بنابراین برای خواندن نمودار، باید اول بدانیم هر محور و اندازهٔ حباب، کدام ویژگی را نشان می‌دهد.

خواندن نشانی هر حباب

هر حباب دو جور اطلاعات به ما می‌دهد: مرکزش کجاست؟ و مساحتش چقدر است؟ برای مرتب‌کردن این اطلاعات، از سه‌تایی مرتبِ $(v_1, v_2, v_3)$ استفاده می‌کنیم:

• $v_1$: جای مرکز حباب روی محور افقی؛
• $v_2$: جای مرکز حباب روی محور عمودی؛
• $v_3$: مقدار متغیری که با مساحت دایره نمایش داده می‌شود.

در نمودار کشورها، محور افقی مساحت کشور و محور عمودی جمعیت آن است؛ مساحت حباب هم درصد آب‌های کشور را نشان می‌دهد. پس حبابی که بالاتر است، کشور پرجمعیت‌تری را نشان می‌دهد، نه لزوماً کشوری با درصد آب بیشتر!

برای خواندن نمودار، اول از مرکز حباب به محور افقی و عمودی نگاه کن؛ بعد اندازهٔ حباب را بررسی کن. درست مثل مقایسهٔ کالاها در یک فروشگاه: اگر قیمت روی محور افقی، وزن روی محور عمودی و میزان فروش با مساحت حباب نمایش داده شود، راست‌تر بودن با بزرگ‌تر بودن معنای متفاوتی دارد.

اندازهٔ درست، نه گمراه‌کننده

در نمودار حبابی، چشم ما بزرگی حباب را با مساحت دایره می‌سنجد، نه فقط شعاع آن. پس برای اینکه مقایسه درست باشد، مساحت حباب‌ها باید متناسب با مقدار متغیر سوم باشد.

نکته اینجاست که مساحت دایره از رابطهٔ $A=\pi r^2$ به دست می‌آید؛ یعنی با دو برابر شدن شعاع، مساحت چهار برابر می‌شود! بنابراین اگر مقدار متغیر سوم دو برابر شد، نباید شعاع را هم دو برابر کنیم؛ این کار تفاوت داده‌ها را بزرگ‌تر از واقعیت نشان می‌دهد.

راه درست: شعاع را متناسب با جذر مقدار متغیر سوم انتخاب می‌کنیم تا مساحت، نسبت درست را نشان دهد. مثلاً در نمودار فروش فروشگاه‌ها، فروش بیشتر باید با مساحت بیشتر نمایش داده شود، نه با شعاعی که به همان نسبت بیشتر شده است.

طبق قاعدهٔ این درس، مقدار متغیر سوم باید مثبت باشد؛ صفر یا مقدار منفی برای آن مجاز نیست.

رنگ و طرح هم حرف می‌زنند

فرض کن نمودار حبابی کشورها را رسم کرده‌ای: جای افقی هر حباب مساحت کشور، جای عمودی آن جمعیت و مساحت دایره درصد آب‌ها را نشان می‌دهد. حالا می‌خواهی مخاطب بفهمد هر کشور در کدام قاره است؛ آیا باید جای حباب‌ها یا اندازه‌شان را تغییر بدهی؟ نه! می‌توانی برای هر قاره یک رنگ مشخص انتخاب کنی؛ مثلاً کشورهای آسیایی را آبی و کشورهای اروپایی را سبز نشان بدهی.

اگر بخواهی زبان رسمی کشورها را هم مشخص کنی، می‌توانی از طرح داخل حباب‌ها کمک بگیری؛ مثلاً برای گروه‌های زبانی مختلف، طرح‌های راه‌راه، نقطه‌چین یا ساده بگذاری. به این ترتیب، رنگ و طرح هر کدام پیام جداگانه‌ای دارند، بدون اینکه معنای جایگاه و اندازهٔ حباب عوض شود.

حتماً کنار نمودار راهنما بگذار تا خواننده بداند هر رنگ و طرح چه معنایی دارد. بدون راهنما، این تفاوت‌ها ممکن است فقط تزئینی به نظر برسند!

چند متغیر روی پرّه‌های رادار

فرض کن می‌خواهی وضعیت خودت را در چند درس، مثل ریاضی، فارسی، زبان و علوم، یک‌جا ببینی. نمودار راداری راهی برای نمایش سه متغیر کمّی یا بیشتر روی یک صفحه است.

شکل چرخ دوچرخه را تصور کن: چند محور مانند پرّه، از یک مرکز مشترک بیرون می‌آیند و زاویه‌های بین محورهای کنار هم برابر است. هر محور نمایندهٔ یک متغیر است و درجه‌بندی خودش را دارد. برای خواندن نمرهٔ ریاضی، باید سراغ محور ریاضی بروی و مقدار مشخص‌شده را با درجه‌بندی همان محور بخوانی.

نکتهٔ مهم این است که بالا یا پایین بودن یک محور، یا زاویهٔ آن، معنای خاصی ندارد؛ مثلاً قرارگرفتن محور ریاضی در بالای نمودار، نشانهٔ مهم‌تر بودن آن نیست.

برای آسان‌تر خواندن مقدارها می‌توان خطوط راهنما رسم کرد، به شرط آنکه نمودار شلوغ نشود. این راهنماها ممکن است خط‌های راست یا دایره‌ای باشند؛ پس لازم نیست هر نمودار راداری دقیقاً شبیه یک دایره باشد.

پره‌هایی برای چند متغیر

فرض کن می‌خواهی نمره‌های چند درس خودت را یک‌جا ببینی. در نمودار راداری، برای هر درس یک محور از مرکز به بیرون می‌کشیم؛ درست مثل پره‌های چرخ دوچرخه. هر محور نمایندهٔ یک متغیر کمّی، مثل نمرهٔ ریاضی، است. به این محورها شعاع‌های نمودار می‌گوییم.

نمودار راداری برای نمایش هم‌زمان دست‌کم سه متغیر کمّی به کار می‌رود. همهٔ شعاع‌ها از یک نقطه شروع می‌شوند و زاویه‌های بین شعاع‌های مجاور برابرند. می‌توان روی هر شعاع درجه‌بندی گذاشت تا مقدار داده را نشان دهیم.

حواست به تفاوت جای محور و جای داده باشد: اینکه محور ریاضی بالای نمودار باشد یا سمت راست، چیزی دربارهٔ نمرهٔ تو نمی‌گوید. زاویهٔ محورها هم نشانهٔ بیشتر یا کمتر بودن مقدارها نیست؛ این ویژگی‌ها فقط به چیدمان نمودار مربوط‌اند. برای خواندن مقدار، باید به جای نقطهٔ داده روی شعاعِ درجه‌بندی‌شده نگاه کنیم.

جای هر مقدار روی شعاع

فرض کن می‌خواهی نمرهٔ درس و تعداد کتاب‌های خوانده‌شده‌ات را روی نمودار راداری نشان بدهی. این دو متغیر مقیاس یکسانی ندارند؛ پس نباید مقدارهای خامشان را با یک درجه‌بندی مشترک روی شعاع‌ها بگذاری.

برای تعیین جای هر مقدار، آن را با بیشینهٔ همان متغیر می‌سنجیم:

$\text{نسبت روی شعاع}=\dfrac{\text{مقدار متغیر برای یک مشاهده}}{\text{بیشینهٔ همان متغیر}}$

این نسبت نشان می‌دهد نقطه چه سهمی از فاصلهٔ مرکز تا انتهای شعاع را طی می‌کند. اگر مقدار برابر بیشینه باشد، نسبت برابر $1$ است و نقطه در انتهای شعاع قرار می‌گیرد؛ اگر مقدار نصف بیشینه باشد، نقطه در نیمهٔ شعاع قرار می‌گیرد.

می‌توان درجه‌بندی را درصدی هم نوشت؛ کافی است نسبت را در $100$ ضرب کنیم. در این حالت، انتهای شعاع با $100$ مشخص می‌شود.

حواست باشد: مخرج هر نسبت، بیشینهٔ همان متغیر است؛ مثلاً تعداد پاس گل را نباید بر بیشینهٔ تعداد گل تقسیم کنیم.

از نقطه‌ها تا مقایسه

تا اینجا جای مقدار هر متغیر را روی شعاع مربوط به آن مشخص کرده‌ای. حالا نقطه‌های روی شعاع‌های مجاور را به‌ترتیب به هم وصل کن و در پایان، نقطهٔ آخر را به نقطهٔ اول برسان. شکل بسته‌ای که می‌سازی، نمودار راداری یک «مشاهده» است.

مشاهده یعنی مجموعهٔ داده‌های مربوط به یک عضو؛ مثلاً نمره‌های چند درسِ تو، یک مشاهده است، نه چند مشاهدهٔ جداگانه.

برای مقایسهٔ نمره‌هایت با دوستت، نقطه‌های او را هم روی همان محورها و با همان درجه‌بندی مشخص کن و با رنگ دیگری به هم وصل کن. حالا روی شعاع هر درس می‌توانی ببینی نقطهٔ کدام‌یک از شما از مرکز دورتر است؛ آن فرد در همان درس نمرهٔ بیشتری دارد. نزدیک‌بودن شکل‌ها هم می‌تواند شباهت الگوی نمره‌هایتان را نشان دهد.

پس لازم نیست بین دو نمودار جدا چشم بچرخانی؛ با قرارگرفتن هر دو شکل روی محورهای مشترک، مقایسه آسان‌تر می‌شود.

خواندن نقاط قوت و ضعف

آیا بازیکنی که بیشتر گل می‌زند، حتماً از همه بهتر است؟ نمودار راداری کمک می‌کند چند ویژگی را کنار هم ببینیم، نه اینکه فقط به یک ویژگی توجه کنیم.

در داده‌های کتاب، بازیکن $A$ در ضربه به سمت دروازه برجسته است و بازیکن $B$ در گل‌زنی می‌درخشد. در مقابل، بازیکن $C$ در پاس و دریبل توانایی بیشتری نشان می‌دهد. تفاوت شکل نمودار او با دو بازیکن دیگر، با نقش متفاوتش در زمین ارتباط دارد: او بیشتر گل‌ساز است تا گلزن.

پس برای خواندن نمودار، ببین کدام بخش‌ها نسبت به بقیه به بیرون کشیده شده‌اند؛ سپس بپرس این ویژگی‌ها برای چه نقشی مهم‌اند؟ بزرگ‌تر بودن یک بخش، به‌تنهایی برتری کلی را ثابت نمی‌کند.

مثلاً برای انتخاب عضو تیم مدرسه، اگر به گل‌ساز نیاز داشته باشی، پاس‌دادن و دریبل اهمیت بیشتری پیدا می‌کنند؛ اما برای انتخاب گلزن، معیارها فرق می‌کنند. نمودار شواهد مقایسه را نشان می‌دهد؛ قضاوت نهایی به هدف انتخاب هم بستگی دارد.