خلاصه درس فصل ۹ منطق دهم؛ درسنامه و نکات مهم

اگر… آنگاه…؛ مقدم و تالی

فرض کن دوستت می‌گوید: «اگر اینترنت وصل باشد، پیام را می‌فرستم.» او فرستادن پیام را به وصل بودن اینترنت وابسته کرده است. چنین جمله‌ای قضیهٔ شرطی متصل است؛ یعنی میان شرط و جواب آن پیوند برقرار می‌کند.

دو بخش آن را بشناس:

• مقدم: شرطِ جمله؛ در این مثال، «اینترنت وصل باشد».
• تالی: جواب شرط؛ در این مثال، «پیام را می‌فرستم».

حالا دوستت همان حرف را این‌طور می‌گوید: «پیام را می‌فرستم؛ اگر اینترنت وصل باشد.» آیا مقدم و تالی عوض شدند؟ نه! فقط جای بیانشان تغییر کرد. هنوز وصل بودن اینترنت شرط است و فرستادن پیام جواب آن.

پس برای پیدا کردن مقدم، بپرس: «چه شرطی مطرح شده؟» و برای پیدا کردن تالی بپرس: «با برقرار بودن آن شرط، چه چیزی گفته شده؟» به معنای جمله توجه کن، نه اینکه کدام بخش زودتر آمده است. گاهی هم به‌جای «اگر»، عبارت‌هایی مثل «هرگاه» یا «در صورتی که» می‌آیند.

منفصل حقیقی؛ دقیقاً یکی

فرض کن شمارهٔ نوبتت یک عدد طبیعی است. می‌گوییم: «این عدد یا زوج است یا فرد.» آیا ممکن است شماره‌ات هم زوج باشد و هم فرد؟ نه. آیا ممکن است نه زوج باشد و نه فرد؟ باز هم نه؛ عدد طبیعی حتماً یکی از این دو حالت را دارد.

به چنین قضیه‌ای شرطی منفصل حقیقی می‌گوییم. در آن، دقیقاً یکی از دو بخش صادق است؛ یعنی یکی درست و دیگری نادرست است. پس دو بخش نه می‌توانند هم‌زمان صادق باشند و نه هم‌زمان کاذب.

مثلاً دربارهٔ یک چراغ سالم در یک لحظه می‌گوییم: «چراغ یا روشن است یا خاموش.» با درست بودن هر بخش، بخش دیگر نادرست می‌شود؛ با نادرست بودن هر بخش نیز بخش دیگر درست می‌شود.

یادت باشد: فقط دیدن واژهٔ «یا» کافی نیست؛ در منفصل حقیقی، هم حالتِ «هر دو» و هم حالتِ «هیچ‌کدام» ناممکن است.

مانعة الجمع؛ هر دو نه

فرض کن در انتخاب نمایندهٔ کلاس، هر دانش‌آموز فقط حق دارد به یک نفر رأی بدهد و سه نامزد داریم: سارا، مریم و نرگس. حالا این قضیه را بررسی کنیم: «یا به سارا رأی می‌دهی یا به مریم.»

آیا می‌توانی به هر دو رأی بدهی؟ نه؛ چون فقط یک رأی داری. اما آیا ممکن است به هیچ‌کدام از این دو رأی ندهی؟ بله؛ می‌توانی نرگس را انتخاب کنی.

این نوع قضیه، منفصل مانعة الجمع نام دارد. «مانعة الجمع» یعنی درست بودنِ هم‌زمانِ دو بخش ممنوع است. ولی ممکن است هر دو بخش نادرست باشند؛ مثل وقتی که رأی تو به نرگس است.

پس برخلاف منفصل حقیقی، اینجا لازم نیست حتماً یکی از دو بخش درست باشد. عبارت کوتاهِ یادآوری‌اش این است: نه هر دو؛ شاید هیچ‌کدام.

مانعة الرفع؛ دست‌کم یکی

فرض کن سامانهٔ نمایش کارنامه می‌گوید: «یا شمارهٔ پرونده را وارد کن یا شمارهٔ ملی را.» در این مثال، برای دیدن کارنامه باید دست‌کم یکی از این دو شماره را وارد کنی؛ خالی گذاشتن هر دو کافی نیست. اما وارد کردن هر دو شماره هم مجاز است.

این نوع ارتباط را منفصل مانعة الرفع می‌نامیم: دو بخش نمی‌توانند هم‌زمان کاذب باشند، ولی می‌توانند هم‌زمان صادق باشند. «رفع» در این نام یعنی کنار گذاشتن؛ پس نمی‌توانیم هر دو بخش را کنار بگذاریم.

برای نمونه‌ای روزمره، فرض کن برای ورود به یک برنامه، داشتن شمارهٔ تلفن یا نشانی ایمیل ضروری است و داشتن هر دو هم مجاز است. اینجا نیز دست‌کم یکی لازم است، نه دقیقاً یکی. پس دیدن واژهٔ «یا» نباید ما را به این نتیجه برساند که حتماً داشتن هر دو ممنوع است.

تشخیص با دو سؤال

برای تشخیص نوع قضیهٔ منفصل، دیدنِ واژهٔ «یا» کافی نیست. هر بار این دو سؤال را از خودت بپرس:

• آیا ممکن است هر دو بخش با هم صادق باشند؟
• آیا ممکن است هر دو بخش با هم کاذب باشند؟

بعد، پاسخ‌ها را کنار هم بگذار:

مثلاً در جملهٔ «یا امروز شنبه است یا یکشنبه»، هر دو بخش نمی‌توانند با هم درست باشند؛ امروز دو روزِ متفاوت نیست! اما ممکن است هر دو نادرست باشند، چون شاید امروز دوشنبه باشد. پس این قضیه مانعة الجمع است.

نکتهٔ مهم این است: با پاسخ دادن به سؤال اول توقف نکن. «هر دو نمی‌توانند درست باشند» هم دربارهٔ حقیقی درست است و هم دربارهٔ مانعة الجمع؛ پاسخ سؤال دوم این دو را از هم جدا می‌کند.

شناخت قیاس استثنایی

فرض کن می‌خواهی با نگاه به آسمان، دربارۀ باریدن باران داوری کنی. این استدلال را بخوان:

اگر باران می‌بارد، هوا ابری است.
هوا ابری نیست.
پس باران نمی‌بارد.

دو جملۀ نخست مقدمه‌اند؛ یعنی جمله‌هایی که نتیجه بر پایۀ آنها به دست می‌آید. مقدمۀ اول شرطی است، چون میان باریدن باران و ابری بودن هوا رابطه برقرار می‌کند. مقدمۀ دوم حملی است: ابری بودن را از هوا نفی می‌کند. پس این استدلال یک مقدمۀ شرطی و یک مقدمۀ حملی دارد.

چرا به آن قیاس استثنایی می‌گوییم؟ به نتیجه نگاه کن: «باران نمی‌بارد». نقیض آن، یعنی «باران می‌بارد»، در مقدمۀ اول آمده است. نشانۀ قیاس استثنایی همین است: خودِ نتیجه یا نقیض آن در یکی از مقدمات ذکر می‌شود. نقیض، صرفاً یک عبارت متفاوت نیست؛ مثلاً نقیض «باران می‌بارد»، «هوا آفتابی است» نیست، بلکه «باران نمی‌بارد» است.

وضع مقدم: از شرط به نتیجه

فرض کن این رابطۀ شرطی را پذیرفته‌ایم: «اگر از بخاری برقی استفاده کرده باشد آنگاه اتاق گرم شده است.» در این جمله، «از بخاری برقی استفاده کرده باشد» مقدم و «اتاق گرم شده است» تالی است.

حالا می‌فهمیم که واقعاً از بخاری برقی استفاده کرده است. پس شرط برقرار شده و می‌توانیم با اطمینان نتیجه بگیریم: اتاق گرم شده است.

این روش را وضع مقدم می‌نامیم؛ «وضع» در اینجا یعنی اثبات یا پذیرفتن. بنابراین، با اثبات مقدمِ یک رابطۀ شرطیِ پذیرفته‌شده، تالی را نتیجه می‌گیریم.

مثلاً اگر بپذیریم «اگر کتاب را به‌موقع پس بدهی، جریمۀ دیرکرد نمی‌پردازی» و بدانیم کتاب را به‌موقع پس داده‌ای، نتیجه می‌گیریم جریمۀ دیرکرد نمی‌پردازی. دقت کن: تنها دانستن جملۀ شرطی کافی نیست؛ باید برقرار بودن مقدم را هم بدانیم.

رفع تالی: نبودِ نتیجه

فرض کن این رابطۀ شرطی را پذیرفته‌ایم:

اگر از بخاری برقی استفاده کرده باشد، آنگاه اتاق گرم شده است.

حالا می‌دانیم اتاق گرم نشده است. چه نتیجه‌ای می‌گیریم؟ اگر از بخاری برقی استفاده شده بود، طبق مقدمۀ شرطی باید اتاق گرم می‌شد. پس در این استدلال، از بخاری برقی استفاده نشده است.

این روش رفع تالی نام دارد: «رفع» یعنی نفی کردن؛ تالی را نفی می‌کنیم و نفی مقدم را نتیجه می‌گیریم. دقت کن که اعتبار این نتیجه به پذیرفتن همان رابطۀ شرطی وابسته است.

یک مثال روزمره: «اگر این گوشی در حال شارژ باشد، نشانۀ شارژ روی صفحه دیده می‌شود.» اگر این شرط را درست بدانیم و نشانۀ شارژ دیده نشود، نتیجه می‌گیریم گوشی در حال شارژ نیست.

پس مسیر رفع تالی را این‌طور به خاطر بسپار: نفی تالی، سپس نفی مقدم.

دو راهِ نامعتبر

فرض کن پذیرفته‌ایم: «اگر از بخاری برقی استفاده شده باشد، اتاق گرم شده است.» آیا می‌توانیم این رابطه را از هر طرف به کار ببریم؟ نه!

مغالطۀ رفع مقدم: می‌گوییم «از بخاری برقی استفاده نشده است» و نتیجه می‌گیریم «اتاق گرم نشده است». این نتیجه قطعی نیست؛ شاید شوفاژ اتاق را گرم کرده باشد. نبودن یک وسیلۀ گرمایش، به معنای نبودن همۀ راه‌های گرم‌کردن نیست.

مغالطۀ وضع تالی: می‌گوییم «اتاق گرم شده است» و نتیجه می‌گیریم «پس از بخاری برقی استفاده شده است». باز هم نتیجه قطعی نیست؛ شاید گرما از شومینه باشد.

نکتۀ مهم این است که نامعتبر بودن استدلال، لزوماً به معنای نادرست بودن نتیجه نیست؛ یعنی این مقدمات برای قطعی دانستن آن نتیجه کافی نیستند. برای تشخیص این دو مغالطه، بپرس: «آیا راه دیگری هم برای رخ‌دادن تالی وجود دارد؟»

حقیقی؛ دقیقاً یکی

فرض کن عددی طبیعی را انتخاب کرده‌ای، اما هنوز آن را نمی‌بینیم. می‌دانیم این عدد یا زوج است یا فرد؛ نه می‌تواند هر دو باشد و نه می‌تواند هیچ‌کدام باشد. به چنین قضیه‌ای «منفصل حقیقی» می‌گوییم: دقیقاً یکی از دو طرف درست است.

حالا اگر بفهمیم عدد زوج است، نتیجه می‌گیریم فرد نیست. این یعنی از اثبات یک طرف، نفی طرف دیگر به دست می‌آید. برعکس، اگر بفهمیم عدد زوج نیست، نتیجه می‌گیریم فرد است؛ یعنی از نفی یک طرف، اثبات طرف دیگر به دست می‌آید.

جای زوج و فرد را هم که عوض کنیم، همین نتیجه‌گیری‌ها معتبرند. پس برای رسیدن به نتیجه، کافی است یکی از دو طرف را اثبات یا نفی کنیم.

نکتۀ مهم این است: صرفِ دیدن واژۀ «یا» کافی نیست؛ باید مطمئن باشیم دو طرف نه با هم درست می‌شوند و نه با هم نادرست.

مانعة‌الجمع؛ نه هر دو

فرض کن پولت برای خرید یک خودکار یا یک مداد کافی است، اما نمی‌توانی هر دو را بخری. اگر خودکار بخری، معلوم است که مداد نخریده‌ای؛ ولی اگر خودکار نخری، آیا حتماً مداد خریده‌ای؟ نه! شاید اصلاً چیزی نخریده باشی.

در قضیۀ منفصل مانعة‌الجمع، دو طرف نمی‌توانند با هم درست باشند، اما ممکن است هر دو نادرست باشند. پس در قیاسی که با این قضیه می‌سازیم:

• اثبات یک طرف، برای نفی طرف دیگر کافی است.
• نفی یک طرف، برای اثبات طرف دیگر کافی نیست.

مثلاً اگر در انتخابات فقط حق انتخاب یک نامزد را داشته باشی، رأی دادن به نامزد الف یعنی به نامزد ب رأی نداده‌ای. اما رأی ندادن به الف ثابت نمی‌کند که به ب رأی داده‌ای؛ شاید نامزد دیگری را انتخاب کرده باشی.

یادت بماند: مانعة‌الجمع یعنی با هم نمی‌شوند، نه اینکه حتماً یکی از آن دو رخ می‌دهد.

مانعة‌الرفع؛ نه هیچ‌کدام

فرض کن دانش‌آموزی تکلیفش را فرستاده است و می‌دانیم «یا از پیام‌رسان فرستاده یا از ایمیل»؛ شاید هم از هر دو راه فرستاده باشد. اینجا دست‌کم یکی از دو طرف درست است؛ نمی‌شود هر دو نادرست باشند. به چنین رابطه‌ای «مانعة‌الرفع» می‌گوییم؛ یعنی نفی هم‌زمان دو طرف ممکن نیست.

حالا اگر بفهمیم تکلیف را از پیام‌رسان نفرستاده، مطمئن می‌شویم که از ایمیل فرستاده است؛ چون راه سومی در فرض ما وجود ندارد و تکلیف هم حتماً ارسال شده است. پس نفی یک طرف، طرف دیگر را اثبات می‌کند.

اما اگر بدانیم از پیام‌رسان فرستاده، آیا می‌توانیم بگوییم از ایمیل نفرستاده؟ نه؛ شاید برای اطمینان از هر دو راه فرستاده باشد! بنابراین، اثبات یک طرف، برای نفی طرف دیگر کافی نیست.

یادآوری کوتاه: مانعة‌الرفع «هیچ‌کدام» را کنار می‌گذارد، نه «هر دو» را.

منطق در دنیای رایانه

منطق فقط برای بررسی استدلال‌های گفت‌وگوهای ما نیست؛ در ساخت رایانه و دستگاه‌های پردازشگر هم کاربرد دارد. اما یک مدار الکترونیکی چگونه با «درست» و «نادرست» کار می‌کند؟

در مدارهای منطقی، این دو وضعیت با $1$ و $0$ نمایش داده می‌شوند: $1$ نمایندۀ صادق و $0$ نمایندۀ کاذب است. در توضیح سادۀ کتاب، وجود برق در سیم معادل $1$ و نبود برق معادل $0$ در نظر گرفته می‌شود.

مثلاً وقتی با گوشی کار می‌کنی، پشت پردازش‌های آن مدارهای منطقی قرار دارند. این مدارها بر اساس قواعد مشخص، وضعیت‌های ورودی را پردازش می‌کنند و خروجی می‌دهند. قواعد قضایای شرطی متصل و منفصل مانعة‌الرفع از قواعدی هستند که در ساخت مدارهای منطقی کاربرد دارند.

پس پیوند منطق و فناوری اتفاقی نیست: قواعدی که به ما در استدلال کمک می‌کنند، در طراحی دستگاه‌های خودکار و فناوری‌های هوشمند نیز به کار می‌روند.

از اعتبار قیاس تا سنجشگری

آیا هر استدلالی که شکل درستی دارد، حتماً نتیجۀ قابل‌اعتمادی هم دارد؟ نه؛ باید درستی مقدمات آن را هم بررسی کنیم. همچنین گاهی کسی به‌جای پاسخ‌دادن به یک ادعا، با حرف‌هایش بر احساسات ما اثر می‌گذارد.

برای سنجش یک استدلال، به دو دستۀ خطا توجه کن:

• خطای صوری: شکل استدلال نامعتبر است؛ مثلاً در قیاس مانعة‌الجمع، از نفی یک طرف، طرف دیگر را اثبات کنیم.
• خطای غیرصوری: مشکل از مقدمات غلط یا عوامل روانی است، نه صرفاً شکل استدلال.

فرض کن به دوستت می‌گویی: «این برنامۀ درسی فرصت کافی برای استراحت ندارد.» او پاسخ می‌دهد: «تو همیشه دنبال تنبلی هستی!» این پاسخ نشان نمی‌دهد برنامۀ درسی مناسب است؛ فقط توجه را از سخن تو به شخصیت تو می‌برد.

پس هنگام شنیدن پاسخ بپرس: «آیا دلیلی برای رد حرفم ارائه شد، یا فقط خودم هدف قرار گرفتم؟»